РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2011, том 56, № 4, с. 423-431
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
УДК 533
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ НЕОДНОРОДНОГО ПЛАЗМЕННОГО СЛОЯ
В ВОЛНОВОДЕ © 2011 г. М. В. Кузелев, Н. Г. Хунджуа
Поступила в редакцию 07.07.2010 г.
Исследованы поверхностные волны плавно неоднородного слоя плазмы в волноводе. Аналитически и численно определены комплексные спектры частот и структуры поля поверхностных волн. Показано существование поверхностных волн различного типа. Установлено, что поверхностные волны плазменного слоя с резкими границами при размытии границ изменяются и даже вообще пропадают.
1. Продолжен цикл исследований [1—4], посвященных поверхностным волнам изотропной плазмы, имеющей плавно неоднородные границы. Поверхностными называют волны, амплитуды которых экспоненциально спадают при удалении от границ плазмы. Размытость границ плазмы сказывается на свойствах поверхностных плазменных волн: появляется бесстолкновительное затухание поверхностных волн, возникают поверхностные волны нового типа, сужается диапазон длин волн, в котором существуют обычные поверхностные волны. Эти эффекты подробно исследованы в работах [1—4] для полуограниченной плазмы. В слое плазмы из-за наличия двух границ имеются две поверхностные волны, которые будем называть нечетной и четной поверхностными волнами [5]. При размытии границ плазменного слоя свойства нечетной и четной поверхностных волн существенно меняются, что и исследуется в данной работе. Кроме того, учитывается наличие волновода, заключающего в себе слой плазмы.
2. Напомним основные свойства поверхностных волн плазмы с резкими границами в волноводе [5]. Предположим, что плазма имеет вид плоского слоя, расположенного в области -а < х < а. Внутри слоя плазма однородна, а границы плазмы х = ±а резкие. Плазма соседствует с вакуумными областями -Ь < х < -а и Ь > х > а; при х = ± Ь расположены проводящие стенки плоского волновода. Зависимость плотности плазмы от координат у и , отсутствует, движение ионов не учитываем, тепловым движением электронов пренебрегаем.
Исследуем волны, распространяющиеся по волноводу в направлении оси 02. Зададим следующее распределение диэлектрической проницаемости:
6(х) =
1, - Ь < х <-а; 6р0, - а < х < а; 1, а < х < Ь.
(1)
Здесь бр0 = 1 - юр0/ю2 — диэлектрическая проницаемость плазмы в слое. В потенциальном приближении напряженность электрического поля удовлетворяет известному уравнению
< & (х = (х)Е, ах ах
(2)
а на границах плазмы х = ±а и волновода х = ±Ь выполняются следующие граничные условия:
1 х = ±а
= 0 е = ±ь = 0. (3)
Поскольку рассматриваемый плазменный волновод симметричен относительно плоскости х = 0, можно ограничиться решением уравнения (2) только при х > 0, дополнив его помимо условий (3) при х = а и х = Ь еще и граничными условиями в нуле
Е2\х = 0 = 0, Е, - нечетная функция х;
йЕ,
йх
= 0, Ег - четная функция х.
(4)
х = 0
Решение уравнения (2), учитывающее граничные условия (3) и (4), имеет вид
БИ (к,х), 0 < х < а;
БИ (ка) йЬ (к1 (х - Ь))/яЪ (к, (а - Ь)), (5) а < х < Ь,
Е, = А
а частоты исследуемых поверхностных волн оказываются следующими:
ю2 = ю
[к, (Ь - а)]
Ш [к,^ (Ь - а)] + ТИ (ка)
(6)
Здесь
Рис. 1. Профиль плотности плазменного слоя в волноводе.
РЬ {к,х) =
{к Iх),
Ег - нечетная функция х; сЬ {кгх),
Ег - четная функция х,
(7)
а ТИ (кх) = БИ (к^х)/БЬ (к^х), где штрихом обозначено дифференцирование по всему аргументу. Две формы записи функции (7) означают существование двух поверхностных волн плазменного слоя в волноводе, которые будем называть нечетной и четной волнами соответственно. При ^ да частоты
обеих волн стремятся к ю = юр/л/2, а при к7Ь < 1 из (6) и (7) для частот имеем
ю = ю
р0
Ь _ а (1, нечетная волна;
Ь 1 к?4аЬ, четная волна.
6 (х) =
1, - Ь < х <-Ь
6 (х ), - Ь < х <-а;
6 р0, - а < х < а;
6 (х), а < х < Ь;
1, Ь < х < Ь.
(9)
Здесь б(х) = 1 - ®2 (х)/ю2 — диэлектрическая проницаемость плазмы в областях неоднородности. Поскольку области неоднородности плазмы являются симметричными относительно точки х = 0, можно по-прежнему ограничиться рассмотрением только области х > 0.
В общем случае уравнение (2) с диэлектрической проницаемостью (9) аналитически не решается. Поэтому для получения аналитических решений ограничимся случаем линейного профиля невозмущенной плотности плазмы пр (х), когда квадрат
: ®2 (х) = 4пе 2пр (х)/т .
плазменной частоты
линейно
(8) убывает от юр0 при х = а до нуля при х = Ь, т.е.
Ниже мы исследуем, каким образом изменяются поверхностные волны с частотами (6) при размытии резких границ плазменного слоя.
3. Пусть нерезкие границы плазмы расположены в областях -Ь < х < -а и а < х < Ь (Ь > а), а в области х е [-а, а] плазма по-прежнему является однородной (рис. 1). Области -Ь < х < -Ь и Ь > х > Ь являются вакуумными; при х = ±Ь расположены проводящие стенки волновода. Распределение диэлектрической проницаемости в данном случае имеет вид
юр (х) = юро (Ь - х)/(Ь - а).
(10)
При этом уравнение (2) в разных областях поперечного сечения волновода записывается в виде
0 < х < а: - = 0,
Их
я ИЕ п
а < х < Ь: —{%-х-к2(%-х)Е7 = 0, (11) Их Их
т И 2Е7 ,2Г „ Ь < х < Ь: -^ - к2Е. = 0,
Их
2
где
= (1 -ю2/Юр0) (Ь - а) + а.
(12)
х "л
Рис. 2. К пояснению процедуры обхода полюса при интегрировании выражения (14).
В областях однородности плазмы решения уравнений (11) с учетом третьего условия (3) и условий (4) имеют следующий вид:
0 < х < а: Е, = А¥Ъ (к1х), Ь < х < Ь: Ег = [ (Ь - х)],
(13)
где А и В — постоянные. Чтобы записать решение в области неоднородности плазмы а < х < Ь, следует учесть во втором уравнении (11) наличие особой точки х = 2,. Для правильного обхода особой точки рассмотрим длинноволновый предел |кг| Ь < 1, в котором второе уравнение в (11) после однократного интегрирования сводится к следующему:
С1
йх Ъ,- х
(14)
где С1 — произвольная постоянная. Функция Е, = Е, (ю, х) в (14), как образ Лапласа компоненты поля Е, (?, х), является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной плоскости ю (нижней полуплоскости комплексной плоскости 2, при Яе ю > 0). Для аналитического продолжения Е, (ю, х) на всю комплексную плоскость ю (комплексную плоскость £,) действуем, как в теории затухания Ландау [6], а именно: интегрирование соотношения (14) производим по контуру С (х) комплексной плоскости х, начинающемуся в точке х = а, заканчивающемуся на действительной оси в точке х < Ь, и обходящему
особую точку х = 2, сверху (рис. 2). Тогда интегрирование соотношения (14) дает
Е = С I- 1Пх), х < Яе^ 1 + С
г 1 1п(х -%) + П х > Яе2
(15)
где С1,2 — постоянные. Последняя формула предполагает, что Яе ю > 0.
Обобщением формулы (15) на случай произвольных к, является следующее решение второго уравнения (11) [3]:
а < х < Ь:
Е1 = СХК, (к, (( - х)) + С21й (к, (( - х)),
К (к, (%-х)) = (16)
Ко (к, (%-х)), х <Яе%;
К0 (к, (х - %)) + мп10 (кг (х -%)), х > Яе %.
Здесь 5 = sgn (Яе ю), 10 (х) — функция Инфельда, а К0 (х) — функция Макдональда. В длинноволновом пределе решение (16) переходит в решение (15). Формула (16) справедлива на всей комплексной плоскости % (т.е. для любой комплексной частоты ю).
Для получения дисперсионного уравнения, определяющего спектры частот волн в исследуемой плазме, решения (13) и (16) следует подставить в
условия непрерывности Ег на границах области неоднородности плазмы х = а и х = Ь. Исключая да-
лее произвольные постоянные А, В, С1,2, получаем искомое дисперсионное уравнение
К [ a)]-Th {kza)Kl [ (S -a)]
Ко [ (b - S)] + isnI0 [ (b - S)] - th [ (L - b)) [[ [ (b - S)] - isnli [ (b - S)]] = Iо [ (S- a)] + Th (kza)It [k, (S- a)] Iо [ (S - b)] - th [k, (L - b)] 11 [k, (S - b)]'
(17)
где
Th (k,a) =
th (k,a), нечетная волна; cth (k,a), четная волна.
Структура продольной составляющей напряженности электрического поля в волноводе со слоем неоднородной плазмы определяется выражени-(18) ями (13) и (16), в которых постоянные В и С1,2 даются формулами
C1 = A-
B = A
+
Fh (k,a) It [k, - a)] + Fh' (k,a) I0 [k, - a)] Ко [k, ( - a)] Ii [k, ( - a)] + К [k, ( - a)] ] [k, ( - a)]' C = A Fh (k,a) К [k, ( - a)] - Fh' (k,a) Ко [k, ( - a)] 2 Ко [k, ( - a)] Ii [k, ( - a)] + Кi [k, ( - a)] Iо [k, ( - a)]' "[Fh (k,a) It [k, ( - a)] + Fh' (k,a) Iо [k, (%- a)]] [[ [k, (b - - ¿sn^ [k, (b -_ Ко [k, ( - a)] Ii [k, ( - a)] + К [k, ( - a)] Iо [k, ( - a)]
[Fh (k,a) К [k, ( - a)] - Fh' (k,a) Ко [k, ( - a)]] I0 [k, b)]" Ко [k, ( - a)] Ii [k, ( - a)] + К [k, ( - a)] Iо [k, ( - a)] _
(19)
sh [k, (L -b)]
4. В длинноволновом приближении \к^Ь < 1 дисперсионное уравнение (17) преобразуется к следующему виду (для случая Яе ю > 0):
kz | ln b—- - in
\ --a
Th (kza) th [kz (L - b)]
- - a
b--
(20)
Дисперсионное уравнение (20) также можно получить сшивая приближенное решение (15) с решениями (13) на границах области неоднородности плазмы. Решая дисперсионное уравнение (20), имеем
ю
ю
2 [ th [k, (L - b)] [Th (kza) + th [ (L - b)]
- inkz (b - a)
Th (k,a) th [ (L - b)] (Th (kza) + th [ (L - b)])3
(21)
резкой границей, когда Ь = а, решение (21) переходит в (6). Строго говоря, формула (21) применима только в длинноволновой области, в которой она преобразуется к следующему виду:
ю2 = ю
2
>о
L - b
(
1 - in-
(b - a) a
L - (b - a) [L - (b - a)]2 нечетная волна; k^ (L - b)a(l - ink, (b - a)a),
(22)
При получении формулы (21) предполагалось, что левая часть в уравнении (20), определяющая затухание волн, является малой. В случае плазмы с
четная волна.
Выражения (22) дают длинноволновые асимптотики комплексных спектров частот поверхностных волн плазменного слоя с размытыми границами. Бесстолкновительное затухание волн (22) обусловлено возбуждением в плазме локальных ленгмю-ровских волн в точке плазменного резонанса ю = юр (х) [1—4]. При Ь = а формулы (21) и (22) переходят в (6) и (8) соответственно.
5. Обсудим теперь численные решения точного дисперсионного уравнения (17), которые удобно представить в виде комплексных безразмерных дисперсионных кривых О (kz) = ю (kz )/юр0. Для
\
О 1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.