научная статья по теме ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ С ПЛАВНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ Физика

Текст научной статьи на тему «ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ С ПЛАВНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 4, с. 345-351

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

УДК 533.9

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ С ПЛАВНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

© 2014 г. М. В. Кузелев, Н. Г. Орликовская

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Россия

е-таП:ки1е1еу@таП.ги Поступила в редакцию 05.11.2013 г.

Изложена теория цилиндрических поверхностных волн в плавно неоднородной плазме, находящейся в волноводе с круговым поперечным сечением. Для специально подобранной зависимости плотности плазмы от радиуса аналитически получены дисперсионные уравнения для комплексных частот поверхностных волн. Дисперсионные уравнения решены аналитически (в длинноволновом пределе) и численно. Показано существование двух типов поверхностных волн, одна из которых при переходе к плазме с резкой границей переходит в обычную поверхностную волну, а другая — становится сильно затухающей.

БО1: 10.7868/80367292114040039

1. Настоящая работа продолжает цикл наших исследований [1—4], посвященных поверхностным волнам в плазме, имеющей размытые (плавные) границы. Необходимость таких исследований, начатых еще в монографии [5], диктуется следующими свойствами поверхностных волн в

плазме1: во-первых, частота поверхностных волн всегда меньше максимальной ленгмюровской частоты плазмы ю0; во-вторых, поверхности разрыва нормальной составляющей напряженности электрического поля волны совпадают с границами плазмы. В реальных условиях резких границ у плазмы нет. Обычно имеется пространственная область, в пределах которой плотность плазмы изменяется от нуля до некоторого максимального значения. Возникает вопрос, к каким точкам размытой границы плазмы "привязана" поверхностная волна и может ли она вообще существовать. Другими словами, при какой степени размытости границы плазмы поверхностная волна в плазме становится невозможной. Понятно, что для теории поверхностных волн в плазме поставленные вопросы имеют принципиальное значение. Далее, ленгмюровская частота электронов плазмы юе(х, у, г) в пределах размытой границы плазмы изменяется от нуля до ю 0. Поскольку частота волны ю < ю 0, то где-то внутри границы имеется особая точка ю = юДх, у, г) — точка плазменного резонанса. Возникает вопрос о поведении поля в точке плазменного резонанса и появляется связанная с этим математическая проблема правильного учета (обхода) особой точки. В работах [2—4] проведено последовательное рассмотрение поставленных вопросов для плоской геометрии различных электродинамических систем с плаз-

менным заполнением. В настоящей работе рассмотрен осесимметричный плазменный волновод, т.е. случай цилиндрической геометрии. Рассмотрение основано на том, что при специальном выборе зависимости плотности плазмы от координат дифференциальные уравнения теории поверхностных волн допускают аналитические решения. Мы не затрагиваем вопрос о создании и поддержании плазмы с пространственно неоднородным профилем плотности, поскольку для основной темы статьи такой вопрос является второстепенным. Заметим только, что существенная поперечная неоднородность плазмы типична в условиях газового разряда, например, в плазме положительного столба. В любом случае, время жизни плазмы должно быть больше периода тех волн, которые рассматриваются в настоящей работе.

В цилиндрической системе координат в ази-мутально-симметричном случае потенциал электрического поля волны, распространяющейся вдоль волновода, имеет вид

ф(?, г, г) = Яе [ф(ю; г) ехр (-/ю ? + /кгг) ], (1)

где кг — продольное волновое число. Из уравнений Пуассона и холодной гидродинамики электронной плазмы следует, что комплексная функция ф(ю; г) удовлетворяет следующему уравнению [6]:

1 й (гв(ш; г) ^ гйг\ йг)

= кг а(а>; г)ф,

(2)

Имеется в виду холодная электронная изотропная плазма.

где б(ю; г) = 1 - ®2(г)/ю2 — диэлектрическая проницаемость холодной электронной плазмы (столкновения не учитываем). Если положить

6 = С(г0-1 - г_1), где С и г0 — постоянные, то общее решение уравнения (2) запишется в виде

ф = СЛ[кг(г, - г)] + С2К0[Кг - г)], (3)

1

юе/ю0 1

0

Рис. 1. Распределение плотности плазмы в волноводе: а — сплошной цилиндр, б — полый цилиндр, в — трубчатая плазма.

где 10(х) и К0(х) — модифицированные функции Бесселя. Этим обстоятельством мы и воспользуемся.

2. Рассмотрим круглый металлический волновод радиуса Я, в котором находится плазменный цилиндр, электронная ленгмюровская частота которого определена формулой (рис. 1а)

2/ \ 2 ю , ( г) = ю 0

1,

г2 0,

-2 - 1 г 1 V г

0 < г < г 1

г 1 < г < г2

г 2 < г < Я.

(4)

Вне области неоднородности плазмы решение уравнения (2), с учетом условия ограниченности в нуле и граничного условия на стенке волновода, имеет вид:

ф(ю; г) =

Ф110 (V),

Ф2 [ 1,(к,г)К)(М) - К,(к,г) 1,(к,Я) ],

(5)

0 < г < г 1 г2 < г < Я.

При г1 < г < г2 уравнение (2), используя (4), запишем следующим образом:

где

1 й (г -1

I г(г0 ■

гагV

г0 =

1 = к2(

2, -1

г_1 )ф,

2

г 1 г2 ю 0

(6)

(7)

г 1Ю0 + (г2 - г 1)Ю

Решая уравнение (6), следует иметь в виду, что

2 2

при ю < ю0 особая точка г = г0 находится внутри области г1 < г < г2.

Воспользуемся тем, что в длинноволновом пределе (при к1 ^ 0) правую часть уравнения (6) можно положить равной нулю. Тогда, для нахождения ф требуется двукратное элементарное интегрирование. Выполняя его с обходом полюса по правилу Ландау [7], находим решение уравнения (6) при к1 ^ 0

ф(ю; г) = А(ю)Дг - г0) + В(ю),

Р( г - г0 ) = -

Ъ (г0 - г), г < г0

Дп(г - г0) - /п sign(ю'), г > г0,

(8)

где г0' = Яе(г0). При записи (8) учтено, что sign(r0,,) =

= -sign(ш' ш''), где г0'' = 1т(г0). Единственной функцией вида (3), имеющей при к1 ^ 0 асимптотику (8), является следующая функция:

ф(ю; г) = А(ю)К[к1 (г - г0)] +

+ В(ю) 10[к,(г - г0)],

г 1 < г < г2

К0[К(г - г0)] = К[К(г0 - г)] , К0[к,(г- г0)] + /пsign(ю')/0[к,(г- г0)] ,

(9)

г < г0, г > г0,

которая и есть искомое решение уравнения (6) в области г1 < г < г2.

2

Сшивая далее решения (5) и (9) в точках г1э 2 2 и исключая постоянные А, В, Ф12, находим дисперсионное уравнение поверхностных волн цилиндрического плазменного волновода

^2(г2,Я)К1[к1 г - гс)] - К0[кг(г2 - г0)]

Ж2(г2, Я)/1[к,(г2 - г0)] + /0к(г2 - г0)] _ ^|(г,)К,|к:(р - г1)] - К{)\к7(р - п)] Ж^)/1[кг(г0 - г1)] + 10[к,г - г1)] - /п sign(ю') = 0,

(10)

' Поскольку функция (4) непрерывна, условия сшивки сводятся к непрерывности потенциала и его производной.

где

»1(г) =

Iо(У) I ¿Кг )'

Щ(г, К) =

^ (11) Ко (к,г)1о (КК) - 1о (к,г)Ко (кК) ' '

К ^ г)1о (к,К) + I \(к, г )Ко (к,К)'

3. В длинноволновом пределе (к1К < 1) уравнение (10) преобразуется к виду

2

г2

-1п К =

г2 -го г2 к,го(го - п)

+ /П ') -

1п г2 -го го- г1

(12)

Чп[к1 (го - п)].

го - г1 го

Легко видеть, что при к1 ^ о последними двумя слагаемыми в правой части уравнения (12) можно пренебречь. При этом для частоты ю имеем

ю = к7у/ г1г2

72

1п К

1 - /П к2^2(г2 - п)

(13)

При г1 = г2 = го действительная часть (13) совпадает с известным выражением для частоты поверхностной волны плазменного цилиндра с резкой границей в волноводе в длинноволновом пределе [6, 7], а мнимая часть дает декремент затухания этой волны, обусловленный размытостью границы плазмы. Напомним, что затухание связано с плазменным резонансом ш = ше (г), при котором происходит трансформация поверхностной плазменной волны в локальную объемную ленгмю-ровскую волну непрерывного спектра — псевдоволну [8]

ф( г,,) ~ 5[г - го (со) ] ехр [-те (г)) + /к,,]. Волну со спектром (13) будем называть нормальной поверхностной волной, потому что, как будет видно из дальнейшего, имеется еще одна, неизвестная ранее, поверхностная волна.

4. Для численного решения дисперсионного уравнения (10) введем безразмерное волновое число к = к1К, безразмерную частоту Q = ш/шо, зафиксируем К = о.5 и рассмотрим несколько значений параметра г2/ К. На рис. 2 представлены дисперсионные кривые поверхностных волн для случая г2/К = о. 55 (т.е. граница плазмы почти резкая — ее относительная толщина равна 0.05). Вещественные части частот проведены жирными линиями, мнимые части — простыми линиями (знак "минус" при построении мнимой части опущен). Символом "н" на рисунке обозначены дисперсионные кривые нормальной поверхностной волны — в длинноволновой области они описываются формулой (13). Видим, что помимо нормальной поверхностной волны в рассматриваемом волноводе имеется еще одна поверхностная волна, которую назовем аномальной поверхностной волной (на рисунке обозначена символом "а"). В длинноволновой области аномальная

О 2.0

1.5

1.0

0.5

✓ а

- у

\— 1 1 | 1

0

10

15

20 к

Рис. 2. Дисперсионные кривые поверхностных волн сплошного плазменного цилиндра в волноводе при г1/К = о.5, г2/К = о.55: Н — нормальная волна, а — аномальная волна.

волна является сильнозатухающей (см. ниже), но в коротковолновой области ее декремент затухания даже меньше, чем декремент нормальной поверхностной волны.

На рис. 3 для случая г2/К = о.55 показаны координаты точек плазменного резонанса поверхностных волн сплошного плазменного цилиндра

в волноводе — величины Ко = го' / К, где го определена в (7). В случае нормальной волны (жирная линия) точка плазменного резонанса, как и должно быть, находится между границами области неоднородности плазмы г = 2 (на рисунке эти границы изображены линиями Ко = о.5 и Ко = о.55). В случае же аномальной волны в длинноволновой области (примерно при к < 2.5) точка плазменного резонанса выходит за границу плазмы г = г2, т.е. плазменный резонанс оказывается невозможным, а само уравнение (10) теряет смысл. В этом случае при выводе дисперсионного уравнения во всей области неоднородности плазмы решение следует записывать в форме (3). Полученное таким образом дисперсионное уравнение оказывается следующим:

»2^2, К)К[К(го - г2)] + Кок(го - г2)]

Щ(г2, К)1АК(го - г2)] - Iок(го - г2)] Щл)К (го - п)] - Кок (го - п)]

(14)

= о.

l[kz(го - г1)] + Iок(го - г1)] Учитывая монотонность модифицированных функций Бесселя от вещественного аргумента, несложно показать, что последнее уравнение в

области го'' = о и г

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»