ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 5, 2012
УДК 539.3
© 2012 г. А. В. Коломиец-Романенко, В. Н. Кукуджанов
ПОВРЕЖДЕННОСТЬ И РАЗРУШЕНИЕ ТОЛСТЫХ ОДНОРОДНЫХ И ДВУСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЖЕСТКОГО ШТАМПА
Проведено численное моделирование процесса реологической потери устойчивости и локализации пластических деформаций с образованием полос адиабатического сдвига и растяжения при изгибе однородных пластин (плоскодеформированное состояние) под действием жесткого штампа. Рассмотрены модели идеальноупругопластической среды и упругопла-стической среды с учетом зарождения и роста пор. Исследовано образование полос локализации пластических деформаций в однородных свободно опертых пластинах при разных условиях контактного взаимодействия между образцом, штампом и опорами. Определен механизм образования полос локализации в зонах растяжения материала под штампом. В результате сравнения поведения идеальноупругопластической и пористой пластины при разных коэффициентах трения в области контакта показано, что внешнее трение приводит к существенному увеличению пористости и разупрочнению поврежденного материала; для идеальноупругопластического материала влияние трения на предельную нагрузку несущественно. В свободно опертой пластине пористость локализуется в нижних волокнах в области под штампом, а в верхних слоях, где материал испытывает сжатие, он ведет себя как идеальноупругопластический. При замене граничных условий на жесткое защемление на торцах пластины при больших прогибах происходит продольное растяжение пластины. Полосы локализации пор образуются около жестких заделок по всей толщине пластины, что приводит к потери несущей способности. Проведено исследование процесса реологической потери устойчивости, разупрочнения, локализации пластической деформации, основанное на континуальном моделировании разрушения.
Л.А. Галин [1, 2] был одним из первых, кто рассматривал задачу о растяжении упру-гопластической пластины с некруговым отверстием. Он предложил упругопластиче-скую аналогию, которая заключалась в том, что упругопластическая задача о растяжении пластины с отверстием эквивалентна задаче о контакте между изгибаемой упругой пластиной, заделанной вдоль такого же плоского контура, как и контур отверстия, и твердыми телами, опирающимися на этот контур. При сложной форме отверстия решение задачи встречает значительные математические трудности. Л.А. Галин предложил аналогию, которая позволяет экспериментально решать такие задачи с неизвестной заранее границей между упругой и пластической областями. В дальнейшем линейные и нелинейные задачи контактного взаимодействия успешно решались численно-аналитическими методами и методом конечных элементов. К настоящему времени сложилась новая область механики — фрикционное взаимодействие тел и конструкций, имеющая разнообразные приложения в технике и технологии [3].
Рассматривается поврежденность и разрушение толстых однородных и двуслойных пластин при изгибе под действием жесткого штампа (плоская деформация), переме-
щение которого задано. Материал пластин принимается упругопластическим при учете образования в нем микродефектов в виде трещин или пор, которые, эволюционируя, приводят к полному разрушению пластины. Между штампом, пластиной и опорами, поддерживающими пластину, действует сила трения, подчиняющаяся закону Кулона—Амонтона с коэффициентом трения ^ в пределах от 0.01 до 0.9. Принимается, что штамп и опоры — абсолютно твердые тела. Исследование процесса реологической потери устойчивости, разупрочнения, локализации пластической деформации основано на континуальном моделировании разрушения [4—6].
В зоне упругости материал подчиняется закону Гука, в пластической области принята аддитивность скоростей деформаций и ассоциированный закон пластического течения с учетом образования дефектов:
а = В : £е1, 8 =8е1 +8р1, 8р1 дф (1)
да
где о — тензор напряжений, £е1 — тензор упругой деформации, Б — тензор упругих модулей материала, £е1 — скорость упругой деформации, £р1 — скорость пластических деформаций, А — изменение параметра нагружения, р, а у, /) — поверхность нагруже-ния.
Рассматриваемый материал описывается пластически несжимаемой матрицей и континуальной пористостью, наличие которой приводит к зависимости поверхности нагружения типа Мизеса не только от интенсивности напряжений, но и от первого инварианта тензора напряжения и пористости материала. Введена декартова система координат. Условие пластичности для рассматриваемого материала было предложено [4, 5] на основании решения задачи о сферически симметричном деформировании сферической поры в идеальнопластическом материале:
ф=Й)2+2/ИЙ-(1+^!)-«(2)
где 8 = р1 + а — девиатор тензора напряжений Коши, q — интенсивность касательных напряжений, р = - (я : I)/3 — гидростатическое давление, f — пористость материала, оу — предел текучести материала матрицы, зависит от интенсивности пластических деформаций матрицы ё^1. Постоянные q1, q2, q3 введены в модель для лучшего согласования с экспериментальными данными [5].
Рассматриваемая модель описывает поведение металлов с не слишком большой по-ристостью:0 < / < 0.5. При f = 0 (сплошной материал) условие пластичности Гарсона переходит в условие текучести Мизеса. При сжатии материал упрочняется, так как поры уменьшаются, а при растяжении разупрочняется из-за роста пористости /%х и зарождения новых пор /пис. В качестве пластического потенциала принимается условие пластичности (2).
Упрочнение материала матрицы описывается зависимостью ау = ау (е^'). Исходя из того, что работа пластических деформаций выполняется только материалом матрицы, получим уравнение, описывающие эволюцию е^ эффективного материала
(1 - /)ауЕ^1 = о : ё£ (3)
где е т — тензор пластической деформации материала матрицы, — интенсивность скорости пластической деформации.
Изменение пористости материала происходит вследствие роста существующих пор /%г и зарождения новых/ = /пис + /д.. Из уравнения неразрывности в случае, когда материал матрицы пластически несжимаемый, следует уравнение для роста пор
Лг = (1 -/)р1 :1- Зарождение пор происходит вследствие относительного движения
зерен и зависит от интенсивности скорости пластических деформаций е р1:
|-?тр1. А-А(-рЛ - _ ехр
/пис - А£Р; А - А (£Ш)
42П
^р1 V
£ш - £ N
(4)
Интенсивность деформаций, при которой зарождаются поры, подчиняется нормальному распределению со средней величиной еN с дисперсией ^. Объемная доля зарождающихся пор равна /к. Поры зарождаются только при растяжении (объемная
пластическая деформация ер1 > 0).
Результаты численного исследования. Рассматривается задача об изгибе полосы упругопластического материала, свободно опертой на жесткие сферические опоры или имеющей жестко заделанные торцы. Снижение предела текучести связано с ростом пористости материала. В случае, когда / = 0 (пористость только начинает зарождаться), наблюдаются полосы скольжения, которые образуются под штампом. При достижении определенного прогиба в материале одновременно с появлением пластичности зарождаются поры, что ведет к падению эффективного предела текучести и разупрочнению за счет поврежденности, а не пластической деформации. Поэтому критерий Дракера не нарушается и не приводит к реологической потере устойчивости материала. Реализуется сценарий развития поврежденности, разупрочнения и разрушения, совпадающий с тем, который наблюдался при растяжении стержня [7, 8]1.
В зоне растяжения под штампом почти одновременно возникает периодическая система полос скольжения, но с увеличением нагружения пластические деформации локализуются только в двух крайних полосах, в которых деформация больше, чем в соседних точках. В дальнейшем в этих полосах пластические деформации растут, а в соседних точках происходит разгрузка, и в них пластические деформации замораживаются. На следующем этапе проявляется влияние неоднородности напряженно-деформированного состояния, и в полосах локализации, расположенных вблизи концов контактной области, сосредотачивается практически весь рост пластической деформации; по этим полосам и происходит разрушение конструкции при полной симметрии задачи.
При решении задач применялась конечно-элементная аппроксимация. Моделируемая область разбивалась как однородной, так и неоднородной сеткой. Неоднородная сетка строилась таким образом, чтобы максимальное сгущение сетки было в контактной зоне. При разбиении моделируемой области применялись билинейные четырехугольные и треугольные элементы.
Чтобы полностью проследить процесс потери несущей способности пластины, в модель необходимо явно вводить параметр, характеризующий разрушение. Иначе слишком большие сдвиги или растяжение элементов приведут к таким искажениям сетки, которые не допустимы для продолжения расчета. Тогда необходимо вводить модель разрушения материала, основанную на континуальном подходе Майнчена-Сака, при котором зоны разрушения моделируются свободными дискретными частицами. В качестве критерия разрушения принимается критическая величина интенсивности пластических деформаций [9]. Если в лагранжевой ячейке выполняется крите-
'См. также: Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. О разрушении и локализации деформаций. Препринт № 746. М.: ИПМех РАН, 2004. С. 1-34.
рий разрушения, то связи между узлами в таких ячейках освобождаются и напряжения либо релаксируют к нулю, либо сопротивление сохраняется только по отношению к сжатию. Лагранжевы узловые массы при разрушении превращаются в свободные частицы, движущиеся по инерции как жесткое целое и не взаимодействующие с неразрушенными частицами. Они уносят массу, импульс и энергию из очага разрушения.
Чтобы убедиться, что описанный эффект локализации пластических деформаций соответствует физическому процессу, а не является результатом дефекта расчета, были проведены расчеты с варьированием размеров сетки, формы и числа конечных элементов. Они показали, что чем большее количество точек интегрирования в конечном элементе закладывается в расчет, тем яснее проявляется описанная картина полос локализации. В верхней части фиг. 1 приведено распредел
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.