ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2009, том 49, № 10, с. 1868-1884
УДК 519.634
ПРЕДОБУСЛОВЛИВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА И НАВЬЕ-СТОКСА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ НИЗКОСКОРОСТНЫХ ТЕЧЕНИЙ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
© 2009 г. К. Н. Волков
(Университет Суррея, Гилфорд, GU2 7XH, Великобритания) e-mail: k.volkov@surrey.ac.uk Поступила в редакцию 21.08.2008 г.
Переработанный вариант 18.03.2009 г.
Рассматривается моделирование низкоскоростных течений невязкой и вязкой жидкости на основе сжимаемой формы уравнений Эйлера и Навье—Стокса и особенности их конечно-объемной дискретизации на неструктурированной сетке. Для ускорения сходимости итерационного процесса применяется метод блочного предобусловливания. Обсуждаются структура матрицы предобусловливания для схем различного порядка и способ учета граничных условий. Возможности подхода демонстрируются на примере решения задачи обтекания профиля низкоскоростным потоком невязкой жидкости. Библ. 16. Фиг. 6. Табл. 1.
Ключевые слова: моделирование низкоскоростных невязких и вязких течений, уравнения Эйлера, уравнения Навье—Стокса, численное решение методом конечных объемов.
1. ВВЕДЕНИЕ
При моделировании течений при низких числах Маха (при M < 0.3) обычно используется модель несжимаемой жидкости (поле скорости является соленоидальным Vv = 0), а решение стационарной задачи получается при помощи метода установления.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости содержит лишь составляющие скорости, в связи с чем нет прямой связи с давлением, которая для сжимаемых течений осуществляется через плотность (см. [1], [2]). Для преодоления этой трудности используется метод искусственной сжимаемости, связанный с введением производной по времени от давления в уравнение неразрывности, а также методы, основанные на процедуре коррекции давления (их общей чертой является формулировка разностной схемы относительно приращений искомых функций и решение уравнения Пуассона для поправки давления на каждом шаге по времени) или принципе расщепления неизвестных (метод проекции и его модификации).
Многие задачи механики жидкости и газа, представляющие практический интерес, характеризуются изменением скорости потока от существенно дозвуковой (течение во входном участке канала, циркуляционные зоны) до сверхзвуковой (сопловый участок течения, локальные сверхзвуковые зоны при обтекании профиля). Во избежание разделения расчетной области на подобласти в зависимости от значения характерного числа Маха и применения в каждой подобласти упрощенных математических моделей, соответствующих этим значениям (модель вязкой несжимаемой жидкости при M <§ 1, модель вязкой сжимаемой жидкости при M < 1 и модель невязкой сжимаемой жидкости при M > 1), используется математическая модель, основанная на решении полных (сжимаемых) уравнений Навье—Стокса. Реализация такого подхода требует некоторых дополнительных усилий, направленных на повышение устойчивости вычислений и ускорение сходимости итерационного процесса.
Характерная черта моделирования низкоскоростных течений на основе сжимаемой формы уравнений Эйлера или Навье—Стокса состоит в возникновении неустойчивости численного решения, а также в уменьшении скорости сходимости итерационного процесса в связи с малой разницей между скоростями акустических и конвективных волн (см. [3]—[13]). Шаг интегрирования по времени определяется скоростью наиболее быстрой волны, а время достижения стационарного состояния зависит от скорости наиболее медленной волны. При использовании явных конечно-разностных схем и растянутых сеток в пограничном слое шаг по времени ограничивается акустическими модами решения и шагом сетки в направлении, нормальном к стенке
1868
(см. [3]—[5]), At = O(Ay/c). Это условие является на несколько порядков величины более ограничивающим, чем условия, необходимые для надлежащего разрешения конвективных мод решения, At = O(Ax/vx) = O(Ax/vy).
Предобусловливание (preconditioning) позволяет модифицировать разностные уравнения таким образом, что собственные значения якобиана (скорости распространения волн) модифицированной системы уравнений имеют одинаковый порядок величины (см. [6], [7]). Физическое предобусловливание, которое широко используется при решении уравнений Эйлера на структурированных сетках, достаточно трудно реализуется на неструктурированных сетках, в связи с чем находит применение численное предобусловливание (см. [3], [4], [7]).
В [8]—[10] разработаны методы полунеявного (semi-implicit preconditioning) и полностью неявного предобусловливания (implicit preconditioning), поскольку явные методы не обеспечивают демпфирования низкочастотных мод решения. Для решения системы разностных уравнений применяется многосеточный метод, а огрубление сетки производится одновременно по всем координатным направлениям (см. [8]). Для успешного использования многосеточного метода предлагается также подход, основанный на последовательном огрублении сетки в каждом координатном направлении (см. [9], [10], semi-coarsening algorithm).
В другой реализации подхода (см. [8], line-implicit J-Jacobi preconditioner) матрица предобу-словливания строится с учетом невязких и вязких слагаемых в направлении, нормальном к направлению потока. Преимущество модифицированного подхода из [8] состоит в том, что его стоимость остается одинаковой при решении как двух-, так и трехмерных задач (огрубление сетки производится по одному координатному направлению).
Недостатки подходов из [8]—[10] связаны с увеличением сложности и с трудностями паралле-лизации неявных алгоритмов. Несмотря на то, что для дискретизации уравнений Навье—Стокса широко используются разностные схемы высокого порядка (2-го и выше), для дискретизации модифицированных уравнений обычно применяется схема 1-го порядка, что приводит к недооценке шага по времени (см. [11]). Дополнительный недостаток имеющихся подходов из [3]— [11] состоит в их ориентации на решение узкого круга задач внешней аэродинамики, что накладывается ограничение на выбор ограничителя и критерия перехода.
Модификация исходных уравнений (умножение на матрицу предобусловливания) произво-
2
дится тогда, когда число Маха внутри расчетной области оказывается ниже значения пМ„ , где Мш — число Маха в невозмущенном потоке, п — некоторый коэффициент (п > 1). Несмотря на успешное использование на практике в случае структурированных сеток (см. [4], [12], [13]), глобальное предобусловливание неприменимо в тех случаях, когда число Маха на входной границе является неизвестным (внутренние течения) или его выбор представляет собой сложную задачу. Выход состоит в использовании ограничителя, рассчитанного при помощи локального числа Маха или локального поля давления (локальное предобусловливание).
В данной работе рассматривается метод блочного предобусловливания уравнений Эйлера и Навье—Стокса на структурированных и неструктурированных сетках. Показывается, что в случае неструктурированной сетки матрица предобусловливания имеет различный вид для схем 2-го и 4-го порядка. Возможности подхода демонстрируются на примере задачи обтекания профиля при малых числах Маха. Проводится сравнение эффективности вычислительного алгоритма при использовании скалярного и блочного предобусловливания, а также при выключенной опции предобусловливания.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ
В консервативных переменных уравнения, описывающие нестационарное трехмерное течение вязкого сжимаемого газа, записываются в виде
Щ + V • Дп, О, У0 = Н(О, УО). (1)
д ?
Здесь 0(х, 1), Дп, 0, У0, И(0, — вектор консервативных переменных в точке х в момент времени 1, вектор потока через поверхность, ориентация которой задается внешней единичной нормалью п, и источниковый член соответственно. Неинерциальность системы отсчета учитывается при помощи введения в источниковый член кориолисовой и центробежной силы.
Уравнение (1) дополняется уравнением состояния совершенного газа, а при моделировании турбулентных течений — уравнениями модели турбулентности (вместо молекулярных коэффициентов переноса используются их эффективные значения).
(а)
(б)
Фиг. 1.
Для нормальной скорости на стенке используется граничное условие непротекания (у„ = 0), а для касательной — условие прилипания (ут = 0). Имеются разнообразные граничные условия, выставляемее для температуры на стенке, а также граничные условия на входной и выходной границах расчетной области. Однако особых трудностей в их формулировке и реализации нет, а для дискретизации уравнений Навье—Стокса их тип не является принципиальным.
Для дискретизации уравнения (1) используется метод конечных объемов на неструктурированной сетке (см. [14], [15]). Интегрируя уравнение (1) по контрольному объему V■ с границей д V и применяя теорему Гаусса—Остроградского, получаем соотношение
дг
Преобразуем уравнение (2) к виду
д \QdQ- + £ Е(п, & VQ)dS = а VО)йО. (2)
У дУ: V ,
+ О) = 0. (3)
Сеточная величина, определенная в центре контрольного объема, представляет собой среднее интегральное значение соответствующей непрерывно распределенной величины
О: = I |ОйО.
Вектор невязки в уравнении (3) находится из соотношения
1
«® = у
£ Е( п, О, V О) - |Н( О, V О) йО
(4)
-д у у
В качестве контрольного объема используется среднемедианный контрольный объем, центрированный относительно узла сетки (см. [16] и фиг. 1). Весовые множители (площади граней) внутренних граней контрольного объема являются антисимметричными (Д,/ = — Д/ V/ е Е), а весовые множители его граничных граней — симметричными (Д% = Д,к1 Ук е В). При этом имеет место следующее соотношение (см. [16]):
X ПА% + X п«Дя к = 0, (5)
1 е Е: к е В:
где Е; — множество внутренних граней (фиг. 1а), связанных с узлом /, В ■ — множество граничных граней, связанных с узлом I, п/ — внешняя единичная нормаль, задающая ориентацию грани ( /, /), Д, / — площадь грани ( ¡, /). Под граничной гранью понимается грань контрольного объема (фиг. 1б), у которой оба узла лежат на границе расчетной области (в отличие от внутренней грани, у которой только один или вообще ни один узел не лежат на границе области).
Нев
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.