ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2009, том 45, № 3, с. 87-105
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ, ПОЛЕЗНОСТЬ И МЕРЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
© 2009 г. Р. Е. Саркисян
(Москва)
Для описания и исследования явления убывающей эффективности (или полезности), присущего прикладным многокритериальным задачам, построены меры чувствительности и функции дифференциальной полезности, которые характеризуют динамические свойства предпочтений и полезности многокритериальных альтернатив. На их основе сформулирована задача внутренней оптимизации, решение которой порождает полезные соотношения и связи для оптимизации и выбора. Ряд важных свойств этих соотношений иллюстрируется и оценивается на примере квадратичной аппроксимации функции полезности.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи многокритериальной оптимизации и принятия решения относятся к тем разделам современной математики, которые Ж.-П. Обен (Обен, 1988) называет мотивированными. Постоянно растущий интерес к этим математическим схемам, на наш взгляд, главным образом обусловлен потребностями системных задач, связанных с выдвижением идеи, проектированием, созданием, эксплуатацией и совершенствованием систем и их компонентов в технике, экономике, военном деле, организационном управлении. Необходимость всестороннего обоснования разрабатываемых плановых, проектных и/или управленческих решений системно-сложных задач с учетом наиболее значимых последствий их реализации и приводит к постановке задачи многокритериальной (или векторной) оптимизации, составляющей по существу основу современной исследовательской практики в названных областях науки и техники.
Практически любая интерактивная модель многокритериальной оптимизации хотя бы в своей финальной стадии выработки предпочтительных вариантов решения исследуемой проблемы предполагает сравнение альтернатив и все более адекватное выявление и описание предпочтений лиц, принимающих решения (ЛПР). Однако эти предпочтения характеризуются убывающей эффективностью (или полезностью), поэтому искомые оптимальные решения, которые удовлетворяют определенному уровню предпочтений, проявляют разную чувствительность по отношению к возможным изменениям желательных качеств выбираемых моделей систем и их компонентов.
Другая важная особенность указанных предпочтений относительно системных решений была отмечена еще в 1950-х годах Нобелевским лауреатом по экономике Г. Саймоном. Исследовав проблемы принятия людьми профессиональных решений, на основе обширных эмпирических фактов в области экономики, психологии и других значимых областях знаний он пришел к выводу, что обычно люди редко стремятся к максимизации полезности, а предпочитают выбрать удовлетворительные решения, более надежные и адаптируемые к реальным ситуациям. Г. Саймон сформулировал принцип, согласно которому: "человек — удовлетворяющее существо, которое решает проблему путем поиска, исследования для того, чтобы удовлетворить определенный уровень потребности, а не максимизирующее существо, которое при разрешении проблемы пытается найти наилучшую (на основе определенного критерия) альтернативу" (Саймон, 1995). Эта точка зрения в принципе созвучна с научной парадигмой, исходящей из необходимости "примирения" рационального выбора с ключевыми особенностями проблемной ситуации, обусловленными динамикой, сложностью, неопределенностью и риском. Драматически изменяющийся мир своими факторами нестабильности, неопределенности и случайности существенно снижает эффективность применения принципа рационального выбора, предписывающего оптимизирующее поведение человека в принятии системных решений. Такое видение проблемы стимулировало развитие методов планирования сценариев для решения глобальных проблем (Поппер, Лемперт, Банкс, 2005), внедрение в повседневную практику корпоративного управления комплексного риск-менеджмента для снижения потерь организации до приемлемого уровня, поиск более эф-
фективных путей и механизмов выработки решений в социально-гуманитарном познании (Ру-завин, 2003).
Необходимость учета фактора убывающей эффективности многокритериальных альтернатив приводит нас к поиску действенных мер чувствительности предпочтений и описывающей их числовой функции полезности, которая в интерактивных процедурах оптимизации и выбора позволяет предельно уменьшить неопределенность и несравнимость альтернатив и сделать правильный выбор (Руа, 1976).
Возможность представления предпочтений с помощью функции полезности многокритериальных альтернатив по существу превращает математическую теорию полезности в общетеоретическую основу исследования и решения этого важного класса задач современной практики. Своими корнями, методологией и инструментарием она тесно связана с теорией рационального выбора и широко применяется в аналитических схемах по конструированию (или выработке) системно-сложных решений. В историческом плане твердый фундамент для построения теории полезности был заложен еще в работах английского экономиста и статистика Ф. Эджворта, итало-швейцарского социолога и экономиста В. Парето, американского экономиста и статистика И. Фишера. В 1930-х годах благодаря трудам Р. Аллена и Дж. Хикса она приобрела завершенную каноническую форму, стала общепринятой и поныне остается одним из мощных аналитических инструментов для решения системных задач. Ряд важных результатов в этой области знаний получен во второй половине прошлого столетия благодаря работам Г. Дебре, Дж. Неймана, О. Мор-генштерна и П. Фишберна (Гальперин, Игнатьев, Моргунов, 1997). Несмотря на известные трудности, которые обычно возникают при моделировании предпочтений в терминах функции полезности, тем не менее именно концепция полезности позволяет выявить и описать весьма устойчивые отношения и пропорции, отражающие внутреннюю согласованность и совместность решений, а их учет способствует повышению жизнеспособности систем и эффективности их функционирования.
В настоящей работе мы ограничились лишь исследованием проблемы чувствительности многокритериальных альтернатив применительно к базовой модели задачи математического программирования. Результаты исследования применимы и к другим схемам многокритериальной оптимизации, в том числе и относящимся к неопределенному программированию (Лю, 2005). Построение общей и частных мер чувствительности многокритериальных альтернатив является развитием идеи, обсуждавшейся в работе (Саркисян, 2005) относительно интерактивных методов и процедур аппроксимации решений многокритериальных задач, отвечающих требованию равной чувствительности (или эластичности). Меры чувствительности позволяют описать динамические свойства предпочтений и соответствующей функции полезности, строить устойчивые и инвариантные соотношения между критериями, которые могут быть положены в основу построения гибких и адаптируемых процедур внутренней и внешней оптимизации многокритериальных решений.
1. ПРЕДПОЧТЕНИЯ, ПОЛЕЗНОСТЬ И МЕРЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
Рассмотрим проблему чувствительности решений задачи многокритериальной оптимизации и выбора применительно к классической постановке задачи математического программирования
(D, f): f(x) ^ max, xeD. (1)
Здесьf: En ^ Em — векторный критерий качества, значение которого желательно максимизировать; D с En, D Ф 0, — заданное множество решений; x е D — допустимое решение (вектор управления); En и Em — евклидовы пространства размерностей n и m, соответственно. Во избежание трудностей будем предполагать, что множество D замкнуто и ограничено, а компоненты вектора f являются непрерывно дифференцируемыми функциями из En в E1. Эти предположения гарантируют существование подмножества компромиссных (или оптимальных по Парето) решений n(D) с D с соответствующим подмножеством эффективных оценок n(F) с F, где F = {f е Em/f= =f (x), x е D} — множество оценок, так что f: n(D)^ n(F). В приложениях предполагается, что D — подмножество более широкого множества Х с En, в котором определены функции fx), а Fпринадлежит декартову произведению F0 = F1x... xFm, где составляющие Fi — замкнутые выпуклые отрезки числовой оси E1, из которых функции f(x), i = 1, ..., m, принимают свои значения
(Подиновский, Ногин, 1982). Ниже всюду будем предполагать, что множество F0 принадлежит
Т-гК
неотрицательному ортанту E+.
Пусть на множестве F0 определено отношение предпочтения Щ с F0 х F0, обладающее свойствами:
а) рефлексивности, т.е. f V f е F0;
б) транзитивности, т.е. fl^Kf2 и f2Щр ^ f1Щ/3 V f1, f2, f3 е F0;
в) полноты, т.е. для любыхf1 иf2 из F0 имеет место либо f 1Kf2, либо f2^Rf1, либо и то и другое;
г) монотонности, т.е. для произвольного неотрицательного приращения 8 > 0 имеет место (f+ 8)ЩТ VfeFo;
д) непрерывности, т.е. для произвольной фиксированной оценки ф е F0 множества {f ffRty} и {ф/фRф} замкнуты, другими словами, для произвольной последовательности {fk}, k = 1, 2, ..., для которой^Щф Vk, и lim fk = f при k ^ да, справедливо fRф, а для последовательности {фк}, k = = 1, 2, ..., для которой фЩфЛ: Vk, и lim фk = ф при k ^ да, справедливо qRф;
е) строгой выпуклости, т.е. если f Ry и f Ф ф, то оценка af + (1 — а)ф строго предпочтительна ф для всех а из интервала (0, 1).
Отношение предпочтения со свойствами а) — е) может быть представлено непрерывной монотонно возрастающей вогнутой функцией полезности u: Em ^ E1, удовлетворяющей условию
f ^ф о u(f) > и(ф) Vf, ф е F0, (2)
а поверхности ее уровней (уровни предпочтений) u=const являются кривыми безразличия для отношения Щ, т.е.
u(f) = и(ф) о f/ф Vf, ф g F0, (3)
где I — отношение безразличия (симметричная часть Щ) или эквивалентности (так как Щ транзи-тивно) и не содержит отрезков прямых (Экланд, 1983).
Как отмечалось в работах (Руа, 1976; Кини, Райфа, 1981), выявление и описание отношения предпочтения Щ являются центральной задачей любой модели выбора. И то обстоятельство, что при выполнении определенных условий отношение Щ допускает представление в виде функции полезности u: Em ^ E1, позволяет распространить концепцию иерархии на любую модель выбора D, F, R, содержащую множество альтернатив
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.