ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2004, том 97, № 6, с. 3-8
^^^^^^^^^^^^^^^^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.611.2
ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ СПИНОВЫХ ВОЛН В ОДНООСНЫХ МАГНЕТИКАХ С ДЕФЕКТОМ ОБМЕНА
© 2004 г. Ю. И. Горобец, С. Ä. Решетняк
Институт магнетизма НАН Украины, 03142 Киев, бул. Вернадского, 36-6 Поступила в редакцию 29.07.2003 г.
В формализме спиновой плотности рассчитывается показатель преломления поверхностных спиновых волн, распространяющихся в ферромагнитной среде с неоднородным распределением параметров обменного взаимодействия и одноосной магнитной анизотропии. Вычислены коэффициенты отражения и прохождения спиновых волн на границе двух однородных магнетиков с отличающимися константами обменного взаимодействия, одноосной анизотропии, а также намагниченности насыщения. Получены зависимости интенсивности отраженной волны и показателя преломления от частоты волны и величины внешнего постоянного однородного магнитного поля при различных значениях параметра межслойного обмена на границе контактирующих материалов.
ВВЕДЕНИЕ
Стремительный прогресс в области нанотех-нологий и наноэлектроники, наблюдающийся на протяжении последнего десятилетия, вызывает необходимость разработки новых материалов и устройств, в которых реализуется возможность использования преимуществ высокочастотных волн. В частности, представляет интерес прикладное использование характерных особенностей спиновых волн.
Как правило, при теоретическом описании особенностей распространения спиновых волн традиционно используется волновой подход, который с успехом применяется, например, для определения спектральных и некоторых других характеристик магнитных материалов [1-5].
В настоящей работе осуществляется приложение математического аппарата геометрической оптики к описанию поведения поверхностных спиновых волн, распространяющихся в ферромагнитной среде с неоднородным распределением магнитных параметров. Использование этого подхода дает возможность получать необходимое изменение направления распространения спиновых волн (в частности, фокусировку) с помощью создания искусственных неоднородностей магнитных параметров среды заданной конфигурации, а также путем изменения величины внешнего магнитного поля.
В работах [6, 7] был рассчитан показатель преломления объемного и поверхностного спиновых лучей и исследовалось их поведение на границе раздела двух однородных магнетиков с отличающимися параметрами обменного взаимодействия и одноосной магнитной анизотропии. В настоящей работе исследуется случай непрерывного распределения этих параметров. Кроме того, рас-
считывается показатель преломления и интенсивность отражения поверхностной спиновой волны на границе двух однородных ферромагнетиков с отличающимися значениями параметров одноосной магнитной анизотропии, обменного взаимодействия и намагниченности насыщения с учетом дефекта обменного взаимодействия на границе раздела.
1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАГНИТНОГО МОМЕНТА
Рассмотрим неограниченный ферромагнетик, состоящий из двух полубесконечных частей, контактирующих вдоль плоскости уОг, и имеющих в соответствующих полупространствах величину намагниченности насыщения соответственно М01 и М02, а также непрерывно (или кусочно-непрерывно) медленно изменяющиеся параметры обменного взаимодействия а и одноосной магнитной анизотропии р. Легкая ось магнетика и внешнее постоянное магнитное поле направлены вдоль оси Ог.
Плотность энергии магнетика описанной конфигурации в обменном приближении имеет вид
2
w = ^0[(-1) ух ] wJ + А 8( х) М1 М2, (1)
у = 1
где
^ = а (дЭ2+2 (т2*+ту) - н° (2)
0(х) - ступенчатая функция Хэвисайда; А - параметр, характеризующий обменное взаимодействие между полупространствами при х = 0; Му = = М0уШу, ту - единичные векторы в направлении намагниченности, = 1, 2.
Будем использовать формализм спиновой плотности [8], согласно которому намагниченность можно представить в виде
Ы;(Г, г) = Мо ;Т+(г, г)(г, г), ; = 1,2, (3)
где Ту - квазиклассические волновые функции, играющие роль параметра порядка спиновой плотности, г - радиус-вектор декартовой системы координат, г - время, ст - матрицы Паули.
Уравнения Лагранжа для Ту имеют вид
дТ (г t)
ih у - = -^0Hj г, t) г, t),
(4)
Hej -
д Wj
"Щ
где - магнетон Бора,
д д Wj +-----
д xk д(д M j / д xk)
Учитывая, что в основном состоянии материал намагничен параллельно ez, и считая Mj (r, t) - const в каждом из полупространств, будем искать решение (4) в виде
Т j (г, t) = exp (i^o Ho t/h)
1
Xj(r, t)
(5)
где х;(г, г) - малая добавка, характеризующая отклонение намагниченности от основного состояния. Линеаризуя уравнения (4) с учетом (5), получаем
i h дх j ( г, t )
~2[ioMoj дt
= (а( г )А - Р( г) - Ho j )х j (г, t), (6)
где Но; = Яо/Мо;, ; = 1, 2.
На поверхности г = 0 должно выполняться граничное условие [9]:
^(л, у, о, г) - ь}X;(х, у, 0, г) = 0,
где Ь; - параметр закрепления спинов на поверхности магнетика. Тогда, проводя преобразование Фурье, получаем для поверхностной спиновой волны, экспоненциально затухающей вглубь магнетика вдоль оси Ог, дисперсионное соотношение
Q j = а( г±) k]_( г±) + р( г±) + Ho j - а( г±) L2, j = 1, 2,
(7)
где Qj - fflh/2^0M0y, ю - частота, k - (k±, kz) - волновой вектор, r± - (x, у).
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Чтобы упростить уравнение (6), воспользуемся методом ВКБ, следуя [10, 11].
Представим в (6) X; (г±, г) = С ехр[г'(к05;(г±) - юг)], где к0 - модуль волнового вектора поверхностной волны, например, на бесконечно большом расстоянии от границы х = 0 со стороны падающей волны (определенность этой величины, как будет показано ниже, необходима только в целях относительного измерения к(г±) при определении показателя преломления), С - медленно меняющаяся амплитуда. Как следует из (7),
к\(г±) = (О; - в(г±) - Но; + а(г±)Ь2)/а(г±).
Если длина спиновой волны X удовлетворяет условию перехода к геометрической оптике
X < а, (8)
где а - характерный размер имеющихся в среде неоднородностей, то из (6) получаем аналог классического уравнения Гамильтона-Якоби:
где - ex дХ + еУ д у'
(V±sj (г±))2 = nj ( г±), д
n (г±) = k2: (г±) / k2.
(9)
(10)
Как и в оптике [12], будем считать, что правая часть уравнения (9) представляет собой квадрат показателя преломления, определяемый выражением
п;(г±) = 1 (О; - Р(г±) - Но; + а(г±)Ь2))(г±). (11)
ко
Записав уравнение (9) в виде
Н = 2[Р2- п (г±)] = о,
где р = У±5, получаем уравнения лучей в гамиль-тоновой форме:
I1 = р;
р = 22 у±п2( г1). Из (9) следует, что |Уя±(г±)| = йя(г±)/йт = п(г±),
где йт = *]йх2 + йу2 - элемент траектории луча. Поэтому функцию 5 можно определить как криволинейный интеграл вдоль траектории луча:
в
5 = | пйт. (12)
A
Минимизируя (12) с помощью принципа Ферма [13], получаем уравнение траектории луча [10]:
Т (п Тт) = •
3. ПРЕЛОМЛЕНИЕ СПИНОВОГО ЛУЧА НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ОДНОРОДНЫХ МАГНЕТИКОВ
Используем формулу (12) в приложении к примеру полубесконечного магнетика, состоящего из двух контактирующих однородных частей.
Пусть на границу раздела двух магнетиков с параметрами аь рь М01, Ь1 и а2, Р2, М02, Ь2 соответственно, соприкасающихся вдоль плоскости уОг, со стороны первого магнетика падает спиновая волна. Луч распространяется из точки (хь уь гд, расположенной в среде 1, имеющей показатель преломления п0 = 1, к точке (х2, у2, г2) в среде 2 с показателем преломления (см. (11)):
n =
/«! Q2 - Р2 - Ho2 + a2 L2
la2Q1 - p1 -H01 + a1L1
2
пересекая границу раздела сред в точке (0, у, г). В этом случае из условий экстремума функции 5 следует
sin 01 к 2 la1 Q2 — р2- Ho2 + a2 L2
sin 02 к o л/ a2 Q1- p1- H 01 + a1 L1
= n, (13)
к 1 x = -J(к 1 )_L - kly,
к2x = 7(k2)L - к
(минус в выражении для к1х соответствует уходящей от границы раздела волне), и на границе раздела к0у = k1y = k2y, получаем, что падающая, отраженная и прошедшая волна, а также нормаль, восставленная в точке падения, лежат в одной плоскости, при этом угол падения равен углу отражения. Это утверждение аналогично закону отражения световых волн в оптике [12].
При вещественных к2х, т.е. при выполнении условия
(к2 )L> к2 у,
что эквивалентно
a1 Q2- р2- #02 + a2L2 . 2 — —2-—-:-2-2 > Sin 01,
a2 Q1 - p1 - #01 + a2 L2
получаем формулу (13).
Если же (к2)L < к2у (сюда же относится случай к2 > 0, к2 < 0), то
где 0! - угол падения, 02 - угол преломления.
Этот же результат можно получить, сопоставив в (6) падающей волне
X; = ехр (г( ко г - ш г)), (14)
отраженной волне -
Xк = Я ехр(г(к г - шг)), (15)
прошедшей волне -
XВ = В ехр(г(к2г - шг)), (16)
где Я - комплексная амплитуда отраженной спиновой волны от границы раздела, В - амплитуда пройденной волны, а к0, к! - волновые векторы падающей и отраженной волн соответственно, к2 -волновой вектор прошедшей волны. В силу того, что
(к о)! = (к 1 )2 = («1- р1- #01 + а1 Ь21)/а1,
(к 2 )2 = («2- Р2- Но2 + а2 ь\) / а2;
где
к2х = -Чк 1 у - (к2)± = -г/2 Л, Хв (г±, г) = В ехр (- х /2 Л) ехр (г (к2 уу - ш г)),
т.е. величина Л играет роль глубины проникновения спиновой волны вглубь второго материала и равна
1
h =
(ко )±Л/ sin2 01 - n2
Предельный угол полного отражения определяется выражением
sin00 =
Г ~ 2\ 1/2
a1 Q2 - р2 - #02 + a2 L2
a2 Q1 - p1 - H01 + a2 L
2
4. ОТРАЖЕНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ОДНОРОДНЫХ СРЕД
Во всех случаях, когда речь идет о процессах отражения и преломления волн произвольной природы, представляется важным оценить соотношение интенсивностей прошедшей и отраженной волн. Если интенсивность отраженной волны намного превосходит интенсивность волны прошедшей, то структуру, являющуюся объектом исследований, можно применять в качестве основы для конструирования зеркал различного типа (имеются в виду плоские, выпуклые или вогнутые зеркала типа сферических, цилиндрических и т.п.). В противном же случае, когда интенсивность про-
шедшей волны гораздо больше интенсивности [Aу(х2-х) + ах'1 ] -о = о;
отраженной, структура может послужить осно- x = ' (17)
вой для создания линз с необходимыми парамет- [A(х1 - Х2) - уа2х2]x = о = о. рами.
Получим выражения для амплитуд отражения Здесь У =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.