УДК 551.24+539.3
ПРЕЛОМЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И СКАЧКИ НАПРЯЖЕНИЙ НА РАЗЛОМАХ И ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗДЕЛА. 1. НЕСТЕСНЕННЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
© 2014 г. Ш. А. Мухамедиев
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 29.01.2014 г.
В массивах горных пород повсеместно встречаются разномасштабные неоднородности, которые или границы которых являются поверхностями разрыва некоторых характеристик напряженного состояния, в частности ориентации осей главных напряжений. Выявление закономерностей, которым подчиняются эти разрывы, является важнейшим необходимым элементом для понимания процессов, протекающих на границах неоднородностей, а также для разработки корректных процедур реконструкции и теоретического моделирования тектонических напряжений. В настоящей работе выводятся локальные правила преломления осей экстремальных главных напряжений 7\ (максимального растяжения в девиаторном смысле) и Т3 (максимального сжатия) тензора напряжений Коши при переходе через элементарную площадку разрыва, ориентированную единичной нормалью п. Предполагается, что на площадке разрыва п осуществляется контакт с трением. Никаких гипотез об определяющих соотношениях среды не выдвигается и никаких априорных ограничений на ориентацию осей напряжений не накладывается. Различаются две области "+" и "—", примыкающие к площадке п с разных сторон. При 2Б напряженном состоянии ось любого главного напряжения, переходя из области "—" в область "+", остается в том же квадранте плоскости, что и продолжение этой оси в область "+". Знак и величина угла преломления оси зависят от знака и величины скачка нормального напряжения, тангенциального к поверхности разрыва. В 3Б-случае необходимо анализировать преломление осей Т1 и Т3 одновременно. Для каждой из сторон "+" и "—" проекции осей Т1 и Т3 на площадку п общего положения образуют однозначно определяемые секторы сдвига и S—, внутренности которых принадлежат возможные направления p+ и p— векторов касательного напряжения. Для статической совместимости осей экстремальных напряжений Т, Т3+ и 7] , Т3- на площадке п общего положения необходимо, чтобы секторы и имели непустое пересечение. Направляющие единичные векторы p+ и p— определяются единственным образом, если помимо осей 7] ,
Т3- и Т+, Т3+ известны коэффициенты вида напряженного состояния К+ и К- (0 < К± < 1), что эквивалентно заданию редуцированных тензоров напряжений Т+ и Тд. Необходимым условием статической совместимости тензоров ТД и Тд на площадке п является равенство p+ = p—.
В статье разработаны простые методы решения обратной задачи построения множества ориентаций осей экстремальных напряжений как по известному на площадке п направлению p вектора касательного напряжения, так и по данным о секторе сдвига. На основе этих методов и установленных необходимых условий локального равновесия на площадке п определяются все возможные ориентации осей Т], Т3+, если со стороны "-" заданы проекции осей 7 , Т3 . Угол между проекциями на
площадку осей Т+ и Т{ и/или Т3+ и Т3- может достигать 90°. Помимо общего случая подробно исследованы частные случаи контакта вырожденных напряженных состояний и специального положения площадки п относительно осей главных напряжений. Обобщение полученных результатов позволяет построить локальную диаграмму ориентаций осей Т], Т3+ при заданном секторе 5Г. Диаграмма представляет собой так называемую сферу ориентации напряжений, которая разделена на 3 пары областей: растяжения, сжатия и сжатия-растяжения. Областям растяжения не могут принадлежать
полюсы осей Т3+, областям сжатия — полюсы осей Т+ В областях сжатия-растяжения может содержаться полюс оси Т+ или полюс оси Т3+, но не оба полюса одновременно. При реализации со стороны "-" частного случая напряженного состояния, когда вектор касательного напряжения имеет единственное направление p-, области сжатия-растяжения исчезают, а сама диаграмма упрощается до диаграммы "пляжного мяча", характерной для решения фокального механизма землетрясения. Если площадка п является площадкой общего положения и ориентация пар статически совмести-
мых осей Т , Т3 И Т+, Т3+ задана, то по известным величинам напряжений со стороны "—" однозначно определяются величины напряжений со стороны "+". По величине Я- рассчитывается коэффициент Я+, по величинам главных напряжений со стороны "-" определяется полный тензор напряжений Т+ со стороны "+".
Полученные результаты подтверждаются лабораторными экспериментами и данными бурения. Эти результаты позволяют, в частности, вскрыть принципиальные дефекты некоторых устоявшихся представлений и методов, в рамках которых возможное преломление осей напряжений безосновательно игнорируется или учитывается некорректно. Например, с подвижкой по существующему разлому, вообще говоря, нельзя связывать ориентацию какого-либо триэдра главных осей напряжений. Реконструкции подлежат потенциально статически совместимые оси главных напряжений, по разному ориентированные с обеих сторон от поверхности разлома. Другим примером является невозможность по ориентации главных внутриплитных напряжений в основании литосферы судить об активном или пассивном воздействии мантийных течений на движение литосферных плит. Полученные в работе соотношения, связывающие величины напряжений по разные стороны от площадки разрыва при известных ориентациях осей главных напряжений, свидетельствуют о некорректности существующих методов, в которых редуцированные тензоры напряжений реконструируются в материальных объемах без учета динамического взаимодействия этих объемов со смежными. Кроме того, полученные результаты позволяют обобщить понятие области динамического влияния разлома на случай существования разрывов в этой области, а также проанализировать перенос напряжений поперек системы разломов.
DOI: 10.7868/S0002333714040139
1. ВВЕДЕНИЕ
Траектории главных напряжений (ТГН) — это линии, касательные к которым в каждой точке ориентированы по направлению действия одного из главных напряжений. ТГН поставляют существенную информацию о напряженном состоянии (НС) среды и поэтому возможность их экспериментального или теоретического построения следует рассматривать как весьма благоприятную для проблемы определения поля напряжений. Впервые систематически ТГН стали использоваться в фотоупругости [Фрохт, 1948]. Здесь в нагруженной прозрачной модели в условиях обобщенного плоского НС непосредственно наблюдаются изохромы (фактически линии постоянного значения максимального касательного напряжения Tmax), и изоклины — линии, вдоль которых главные напряжения сохраняют неизменное направление. ТГН получаются из изоклин с помощью графического перестроения. Поля величин главных напряжений с учетом экспериментальной информации о Tmax и граничных условиях определяются с помощью интегрирования уравнений равновесия вдоль ТГН [Фрохт, 1948].
Принципиальная возможность построения полей ТГН существует и при реконструкции НС земной коры. Общеупотребительный метод получения экспериментальной информации о напряжениях in situ в земной коре сводится к анализу натурных индикаторов напряжений, в качестве которых часто рассматриваются различного типа структуры разрушения. На основе тех или иных представлений о характере проявления упомянутых индикаторов под воздействием напряжений локально реконструируются главные оси напря-
жений, а иногда и вид НС. К настоящему времени считающиеся надежными сведения об ориентации напряжений в земной коре обобщены и собраны в мировую базу данных WSM [Heidbach et al., 2008].
При достаточной плотности пространственно дискретных реконструированных главных осей в исследуемой области можно, независимо от реологии, построить картину ТГН, например, в плоском случае по алгоритму работы [Hansen, Mount, 1990]. Полученное поле ТГН является одним из возможных предельно редуцированных полей, еще позволяющих реконструировать поле полного тензора напряжений T с помощью уравнений равновесия. При наличии поля ТГН существует, по крайней мере, два способа последующего расчета равновесного поля тензора T, представляющие возможность радикальным образом избавиться от стандартных атрибутов постановки классических краевых задач, которые, вообще говоря, плохо приспособлены для решения прикладных задач геодинамики. При использовании первого способа отпадает необходимость в постулировании определяющих соотношений. Полное поле напряжений, при задании корректных граничных условий, получается интегрированием условий равновесия. Эти условия в данном случае предстают замкнутой системой дифференциальных уравнений гиперболического типа относительно неизвестных величин главных напряжений [Мухамедиев, 1991]. Во втором способе, наоборот, определяющие соотношения задаются, но при этом для статически определимых задач удается обойтись без выставления граничных условий. Задача перестает быть краевой и имеет решение только при совместимости реологии и
поля ТГН. Приложение второго способа к определению упругого 2Э-поля напряжений (с точностью до нормировки и давления) подробно исследовано в работах [Мухамедиев, Галыбин, 2004; Mukhamediev, Galybin, 2007]. Привлекательность отмеченных способов заключается в том, что постулирование определяющих соотношений и выставление граничных условий представляются весьма субъективными процедурами, когда дело касается не технических, а геолого-геофизических приложений.
Сказанное далеко не исчерпывает возможности прямого подхода, в котором пространственно дискретные данные об ориентации главных напряжений используются не как ограничения на искомое поле напряжений, а непосредственно в качестве входной информации. Если входная информация расширена за счет дополнительных экспериментальных данных о НС или за счет теоретических представлений о свойствах среды, то поле ТГН с использованием уравнений равновесия определяется одновременно с полями некоторых других характеристик НС. Результатом решения не обязательно является поле полного тензора напряжений. Так, согласно алгоритму работы [Galybin, Mukhamediev, 2004] в упругой среде в 2Э-случае по дискретным данным об ор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.