МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 533.72
© 2014 г. В. С. ГАЛКИН, С. В. РУСАКОВ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАРНЕТТОВСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ
ПЕРЕНОСА В ГАЗЕ
Известные выражения для барнеттовских составляющих тензора напряжений и вектора теплового потока одноатомного газа преобразуются к более эффективному виду. Наибольшие упрощения получены для тензора напряжений при использовании обычно применяемых приближенных значений барнеттовских коэффициентов переноса (точных для газа из максвеллов-ских молекул).
Ключевые слова: уравнения Барнетта, продольный поток энергии в течении Куэтта.
Уравнения Барнетта получаются методом Чепмена—Энскога решения кинетического уравнения Больцмана при малых значениях числа Кнудсена [1, 2]. В соотношения переноса (т.е. в формулы для напряжений и тепловых потоков) кроме линейных навье-стоксовых членов входят слагаемые, содержащие парные произведения первых производных и вторые производные от газодинамических переменных по координатам. Их применению посвящена значительная литература, доказано существование эффектов, полностью или частично определяемых барнеттовскими членами уравнений сохранения [3—7]. Соотношения переноса имеют громоздкий вид, и необходим поиск их полезных преобразований и возможных упрощений. В качестве примеров в данной статье рассмотрены имеющие самостоятельное значение вопросы о напряжениях в неподвижном газе между разнонагретыми параллельными стенками и продольном потоке энергии в течении Куэтта. Показана принципиальная зависимость решений от законов межмолекулярного взаимодействия и точности задания барнет-товских коэффициентов переноса [3].
1. Постановка задачи. Запишем выражения для компонент тензора вязких напряжений и вектора теплового потока одноатомного газа в виде
(1) , (2) (1) , (2) • • , о
Ру = Ру + Ру, п = п + п ; ] = 1,2,3
(1)
(1.1)
Первые слагаемые формул (1.1) определяются приближением Навье—Стокса
Р(1) - Ом Р п(1) - \д1
(1.2)
(1.3)
Оператор ( ) от некоторой величины Ау задан следующим выражением:
Ш = 2(Ау + у-35уАк =1,2,3
где Ъу — компонента единичного тензора и используется обычное правило суммирования по повторяющимся индексам. Вторая формула (1.3) связывает коэффициенты
теплопроводности X и вязкости ^, для максвелловских молекул множитель / = 1, для молекул-упругих сфер / = 2.522/2.5 « 1.009 [1]; щ — компоненты скорости газа, Т — его температура, р = (к\т) рТ — давление, р — массовая плотность, к — постоянная Больцмана, т — масса молекулы.
Вторые члены формул (1.1) содержат барнеттовские составляющие соотношений переноса
Р2 щ= е,+ ХА 2',- 2елр) +
2
ди
Р дхк
-Р/ д2Т
дик ди.
ди.
+ + ХА
рТ \дх ¡дх^ рТ \дх , дх
дхI дх, дх,
и ^ м+^ дТ ^+х6 м
рТ2 \дxiдxJ
2
(2) И д' = —к,.
рТ !
К =01 ^ дТ + 202 дх, дх 1
1_д_
3 дх I
г^ди,
Т—-
ди, дТ
дх, I дх 1 дх
] J
0з Т ^Р + 05 дТ ] + 04т д,
р дх, дх, I дх,
В (1.4) тензор 2 , определяется по следующей формуле:
2 , =
дх1
X,
1 др
т рдх,
(1.4)
(1.5)
где Х1 — компоненты внешней силы, действующей на молекулу.
Обычно применяются приближенные значения барнеттовских коэффициентов переноса, получаемые в низшем приближении по полиномам Сонина [1, 2]
к =
(7 - 5Т ц), к2 = 2, к3 = 3, к4 = 0, к5 = 35Т, к6 = 8
4/7
3
01 = 145(7-8тЦ), 02 =-45, 03 =-3, 04 = 3, 05 = 3(35 + , 5Т = ^^
(1.6) (1.7)
Они — точные для газа из максвелловских молекул (5Т ц = 1). Для газа из молекул-упругих сфер (5Тц = 1/2) известны следующие практически точные значения [1, 2]:
К, = 4.056, Х2 = 2.028, Х3 = 2.418, Х4 = 0.681,
1 2 4 (1.8)
К5 = 0.219, К6 = 7.424
е1 = 11.644, е2 =-5.822, е3 =-3.090, е4 = 2.418, е5 = 25.157 (1.9)
2. Преобразования барнеттовских соотношений переноса. Упростим последний член (1.4)
м=К+1()-Кк, &
' дх,
3
дх„
(2.1)
Второе и третье слагаемые выражения (2.1) с учетом равенства екк = 0; к = 1,2,3 приводятся к виду
1(е1к диЛ=Ц ди. диЛ+1/дик диЛ -1 е.. дит
2\ ' дх,/ 4\дх, дх,/ 4\ дх, дх,/ 6 4 дх„,
(2.2)
+
- ±< ^ = -1 еу^
3 дхт 3 дх„
т = 1,2,3
С учетом вторых формул (1.2) и (1.3) запишем
К3 = -К3 ±-^[Щ - К3 -М!§-МдЛ
р Т \dxidxjl 15 Р /\ дх1 I рТ \дх1 дху /
Подставляя соотношения (2.1)—(2.4) в выражения (1.4), найдем
= К*еуд-Цт + к*(Zу> + К* /ек Ц + К* ^ - К* -1 /^ дхт \ дху/ \дх1 дхк/ /^\дху /
+К
* к/ _дР д—\ + К * 1дТ .г *
рТ \дх,- дх
у
рТ2 \дх(- дх
у
+ К*
у
дх(- дхк! ди1 диу, дхк дхк/
(2.3)
(2.4)
(2.5)
К* = К1 -1К 6, К* = K2, К 3* = — 2К 2 + 2 К 6 = 2Kt, К6* = K4, К7 = К5 - К3§ТК8* = 1К6
4
К* = — К 3
5 15 3
(2.6)
Преимущество записей (2.5) и (2.6) состоит, в частности, в том, что при использовании выражений (1.6) несколько коэффициентов (2.6) обращаются в ноль. При этом получаем
, = 3 (2 _8т„) еу дь + 2< - + 2(£ £
дхт дхт
(2.7)
При использовании "точных" значений рассматриваемых коэффициентов для мо-лекул-упругих сфер (1.8) имеем
К* = 0.344, К * = 2.028, К* = -0.344, К4* = -0.172 К5* = 0.645, К* = 0.681, К* = -0.990, К* = 1.856 Преобразуем выражение (1.5). С учетом первой формулы (1.2)
(2.8)
1 д „(1) 1
дТ
-— еу = -Ру -^ЪТЦ —
дх
2цдх
дху
Применяя это соотношение, найдем
диу —
дху дх1
К =01^7^ + 292
1 _д_
3 дх1
(
г^ди,
Т—у-
дх
у У
ди- дТ
дх I дху
о Т дР
+ 93 - еу + Р дху
+ (05 -045т^ — ел — 04 Т-д- $
дху 2ц дху
(2.9)
Приближенные значения коэффициентов соотношения (2.9) определяются из (1.7), "точные" для молекул-упругих сфер — выражениями (1.9).
3. Задача о теплопередаче. Обратимся к стационарным примерам при отсутствии внешних сил (X1 = 0). С целью демонстрации эффективности результатов предложенных преобразований и анализа принципиальных особенностей решений продолжим, в частности, направление исследований [3]. В качестве простейшего показательного примера рассмотрим задачу о теплопередаче между разнонагретыми параллельными
стенками. Оси x, z параллельны им, ось у — перпендикулярна. Скорость газа равна нулю, давление p = const, плотность р ~ 1/T. Температура T = T(у) определяется уравнением энергии с заданными условиями на стенках
dqy
(1)
= 0 (3.1)
ау
Согласно приближению Навье—Стокса вязкие напряжения р® = 0. Однако диагональные барнеттовские составляющие тензора напряжений отличны, вообще говоря, от нуля. В данном случае из выражения (2.5) получаем
/дда)\ + к * _р_ /дТ дЛ •
= + ; i = x,у,Z (3.2)
f p\dxi I pT2 \dxi dxil
В силу уравнения энергии (3.1) первое слагаемое формулы (3.2) равно нулю. В при-
ближении (1.6) коэффициент K* = 0 и, следовательно, диагональные напряжения
Pii = 0; i = x, у, z.
Однако согласно (2.8) в газе из молекул-упругих сфер коэффициент K* = 0.990, поэтому
(2W„п Ц (dT^\ ^ п (2) (2) l (2) ,,
Pxx = 0.33^^-— I — I Ф 0, Pxx = Pzz = Pyy (3.3)
pT21dy ) 2
Таким образом, в покоящемся неоднородном по температуре газе между пластинами диагональные напряжения, вообще говоря, не равны нулю, их отношения к давлению порядка Kn < l. Действие этих температурных напряжений компенсируется слабыми возмущениями давления того же порядка [4].
В курсах механики газа как сплошной среды при феноменологическом выводе уравнений Навье—Стокса постулируется, что в неподвижном газе вязкие напряжения отсутствуют. Следует отметить, что согласно кинетической теории в неподвижном неоднородном по температуре (а также концентрациям) газе напряжения, вообще говоря, не равны нулю. Однако при исчезающе малых значениях числа Кнудсена они малы, и при решении большинства задач механики газа несущественны. В общем случае температурные напряжения вызывают термострессовую конвекцию — один из важнейших примеров барнеттовских эффектов [4, 5]. В газе, заключенном между изотермическими концентрическими сферами, соосными круговыми цилиндрами и параллельными плоскостями, нагретыми (охлажденными) до различных температур, конвекция отсутствует, газ неподвижен.
Важно подчеркнуть "чувствительность" барнеттовских эффектов к характеру межмолекулярных взаимодействий и к точности задания коэффициентов Kn, n = 1 - 6 [3].
Действительно, в газе из максвелловских молекул напряжения pi2 = 0; i = x, у, z, а в газе из молекул—упругих сфер — отличны от нуля в силу (3.3). Для молекул—упругих сфер (8Tp. = 1/2) в приближении (1.6) коэффициент K* = 0, при более точном подходе (2.8) он отличен от нуля и pu ф 0.
4. Течение Куэтта. В отличие от предыдущей задачи одна из стенок движется в своей плоскости относительно другой. Скорость газа ux = u (у), плотность р и температура T также зависят только от поперечной координаты у. В навье-стоксовском приближении из уравнения импульса следует
(1) du p = const, р\у = -ц— = const dy
Уравнение энергии принимает вид
d х dT + du
dy dy ^ dy j
= 0
(4.1)
В приближении Навье—Стокса снова диагональные вязкие напряжения р® = 0, i = x, у, z. В приближении (2.7) с учетом уравнения (4.1) находим
pxx _ _4 и d хdT+4 и! ( du)2 _8 и! Г du)2 _ const
15 pdy dy 3 p ^ dy ) 5 p ^ dy )
(2) _ _ 1 (2) pzz _ 4 pxx ,
(2) _ _ 3 (2)
pyy _ л pxx
4
В общем случае при помощи выражений (1.2), (2.5) и (4.1) получим
„(1) / / _ \2
- + K *-L d
dX„
3nX2X =-K*emk ^ + K*^ ^ - K*^1 or I + 2K* I du | =
/Ц dy
= 1 - 2 K * + /K* + 2K * 11 ]2 -
I dT
„2
_P pT
pT 21 dy 2 K * i f
I du к dy
3"S=K k * - * - k* )( du.12k* If )2,
(2) (2) (2) п = -п - П >CZZ xx >cyy
(4.2)
Отсюда с использованием значений (4.1) для молекул-упругих сфер находим
f„ (2) А
(2) Pyy (2) Pzz
f 1.510 А -1.163 -0.347
И2 f du*1
P \ dy.
f 0.330 А -0.660 0.330
2 f \ 2 И2 f dT
pT2 ^ dy
(4.3)
Таким образом, получен убедительный пример "чувствительности" барнеттовских эффектов к виду межмолекулярных взаимодействий и точности задания барнеттов-ских коэффициентов переноса: в отличие от (4.2) выражение (4.3) включает слагаемое, пропорциональное (dT/dy)2.
По определению [2] продольный поток энергии в течении Куэтта равен
mm j J jZxxd$ydÇz = 2(5p + p u2)ux + PxxUx + q
(4.4)
где и = их, % — скорость молекулы, f — функция распределения. В приближении Навье—Стокса диссипативные поправки, т.е. второй и третий члены формул (4.4), равны нулю. Асимптотически (по числу Кнудсена Кп ^ 0) главные значения этих поправок
даются барнеттовскими слагаемыми соот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.