научная статья по теме ПРЕОБРАОВАНИЯ БАРНЕТТОВСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ГАЗЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ПРЕОБРАОВАНИЯ БАРНЕТТОВСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ГАЗЕ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014

УДК 533.72

© 2014 г. В. С. ГАЛКИН, С. В. РУСАКОВ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАРНЕТТОВСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

ПЕРЕНОСА В ГАЗЕ

Известные выражения для барнеттовских составляющих тензора напряжений и вектора теплового потока одноатомного газа преобразуются к более эффективному виду. Наибольшие упрощения получены для тензора напряжений при использовании обычно применяемых приближенных значений барнеттовских коэффициентов переноса (точных для газа из максвеллов-ских молекул).

Ключевые слова: уравнения Барнетта, продольный поток энергии в течении Куэтта.

Уравнения Барнетта получаются методом Чепмена—Энскога решения кинетического уравнения Больцмана при малых значениях числа Кнудсена [1, 2]. В соотношения переноса (т.е. в формулы для напряжений и тепловых потоков) кроме линейных навье-стоксовых членов входят слагаемые, содержащие парные произведения первых производных и вторые производные от газодинамических переменных по координатам. Их применению посвящена значительная литература, доказано существование эффектов, полностью или частично определяемых барнеттовскими членами уравнений сохранения [3—7]. Соотношения переноса имеют громоздкий вид, и необходим поиск их полезных преобразований и возможных упрощений. В качестве примеров в данной статье рассмотрены имеющие самостоятельное значение вопросы о напряжениях в неподвижном газе между разнонагретыми параллельными стенками и продольном потоке энергии в течении Куэтта. Показана принципиальная зависимость решений от законов межмолекулярного взаимодействия и точности задания барнет-товских коэффициентов переноса [3].

1. Постановка задачи. Запишем выражения для компонент тензора вязких напряжений и вектора теплового потока одноатомного газа в виде

(1) , (2) (1) , (2) • • , о

Ру = Ру + Ру, п = п + п ; ] = 1,2,3

(1)

(1.1)

Первые слагаемые формул (1.1) определяются приближением Навье—Стокса

Р(1) - Ом Р п(1) - \д1

(1.2)

(1.3)

Оператор ( ) от некоторой величины Ау задан следующим выражением:

Ш = 2(Ау + у-35уАк =1,2,3

где Ъу — компонента единичного тензора и используется обычное правило суммирования по повторяющимся индексам. Вторая формула (1.3) связывает коэффициенты

теплопроводности X и вязкости ^, для максвелловских молекул множитель / = 1, для молекул-упругих сфер / = 2.522/2.5 « 1.009 [1]; щ — компоненты скорости газа, Т — его температура, р = (к\т) рТ — давление, р — массовая плотность, к — постоянная Больцмана, т — масса молекулы.

Вторые члены формул (1.1) содержат барнеттовские составляющие соотношений переноса

Р2 щ= е,+ ХА 2',- 2елр) +

2

ди

Р дхк

-Р/ д2Т

дик ди.

ди.

+ + ХА

рТ \дх ¡дх^ рТ \дх , дх

дхI дх, дх,

и ^ м+^ дТ ^+х6 м

рТ2 \дxiдxJ

2

(2) И д' = —к,.

рТ !

К =01 ^ дТ + 202 дх, дх 1

1_д_

3 дх I

г^ди,

Т—-

ди, дТ

дх, I дх 1 дх

] J

0з Т ^Р + 05 дТ ] + 04т д,

р дх, дх, I дх,

В (1.4) тензор 2 , определяется по следующей формуле:

2 , =

дх1

X,

1 др

т рдх,

(1.4)

(1.5)

где Х1 — компоненты внешней силы, действующей на молекулу.

Обычно применяются приближенные значения барнеттовских коэффициентов переноса, получаемые в низшем приближении по полиномам Сонина [1, 2]

к =

(7 - 5Т ц), к2 = 2, к3 = 3, к4 = 0, к5 = 35Т, к6 = 8

4/7

3

01 = 145(7-8тЦ), 02 =-45, 03 =-3, 04 = 3, 05 = 3(35 + , 5Т = ^^

(1.6) (1.7)

Они — точные для газа из максвелловских молекул (5Т ц = 1). Для газа из молекул-упругих сфер (5Тц = 1/2) известны следующие практически точные значения [1, 2]:

К, = 4.056, Х2 = 2.028, Х3 = 2.418, Х4 = 0.681,

1 2 4 (1.8)

К5 = 0.219, К6 = 7.424

е1 = 11.644, е2 =-5.822, е3 =-3.090, е4 = 2.418, е5 = 25.157 (1.9)

2. Преобразования барнеттовских соотношений переноса. Упростим последний член (1.4)

м=К+1()-Кк, &

' дх,

3

дх„

(2.1)

Второе и третье слагаемые выражения (2.1) с учетом равенства екк = 0; к = 1,2,3 приводятся к виду

1(е1к диЛ=Ц ди. диЛ+1/дик диЛ -1 е.. дит

2\ ' дх,/ 4\дх, дх,/ 4\ дх, дх,/ 6 4 дх„,

(2.2)

+

- ±< ^ = -1 еу^

3 дхт 3 дх„

т = 1,2,3

С учетом вторых формул (1.2) и (1.3) запишем

К3 = -К3 ±-^[Щ - К3 -М!§-МдЛ

р Т \dxidxjl 15 Р /\ дх1 I рТ \дх1 дху /

Подставляя соотношения (2.1)—(2.4) в выражения (1.4), найдем

= К*еуд-Цт + к*(Zу> + К* /ек Ц + К* ^ - К* -1 /^ дхт \ дху/ \дх1 дхк/ /^\дху /

* к/ _дР д—\ + К * 1дТ .г *

рТ \дх,- дх

у

рТ2 \дх(- дх

у

+ К*

у

дх(- дхк! ди1 диу, дхк дхк/

(2.3)

(2.4)

(2.5)

К* = К1 -1К 6, К* = K2, К 3* = — 2К 2 + 2 К 6 = 2Kt, К6* = K4, К7 = К5 - К3§ТК8* = 1К6

4

К* = — К 3

5 15 3

(2.6)

Преимущество записей (2.5) и (2.6) состоит, в частности, в том, что при использовании выражений (1.6) несколько коэффициентов (2.6) обращаются в ноль. При этом получаем

, = 3 (2 _8т„) еу дь + 2< - + 2(£ £

дхт дхт

(2.7)

При использовании "точных" значений рассматриваемых коэффициентов для мо-лекул-упругих сфер (1.8) имеем

К* = 0.344, К * = 2.028, К* = -0.344, К4* = -0.172 К5* = 0.645, К* = 0.681, К* = -0.990, К* = 1.856 Преобразуем выражение (1.5). С учетом первой формулы (1.2)

(2.8)

1 д „(1) 1

дТ

-— еу = -Ру -^ЪТЦ —

дх

2цдх

дху

Применяя это соотношение, найдем

диу —

дху дх1

К =01^7^ + 292

1 _д_

3 дх1

(

г^ди,

Т—у-

дх

у У

ди- дТ

дх I дху

о Т дР

+ 93 - еу + Р дху

+ (05 -045т^ — ел — 04 Т-д- $

дху 2ц дху

(2.9)

Приближенные значения коэффициентов соотношения (2.9) определяются из (1.7), "точные" для молекул-упругих сфер — выражениями (1.9).

3. Задача о теплопередаче. Обратимся к стационарным примерам при отсутствии внешних сил (X1 = 0). С целью демонстрации эффективности результатов предложенных преобразований и анализа принципиальных особенностей решений продолжим, в частности, направление исследований [3]. В качестве простейшего показательного примера рассмотрим задачу о теплопередаче между разнонагретыми параллельными

стенками. Оси x, z параллельны им, ось у — перпендикулярна. Скорость газа равна нулю, давление p = const, плотность р ~ 1/T. Температура T = T(у) определяется уравнением энергии с заданными условиями на стенках

dqy

(1)

= 0 (3.1)

ау

Согласно приближению Навье—Стокса вязкие напряжения р® = 0. Однако диагональные барнеттовские составляющие тензора напряжений отличны, вообще говоря, от нуля. В данном случае из выражения (2.5) получаем

/дда)\ + к * _р_ /дТ дЛ •

= + ; i = x,у,Z (3.2)

f p\dxi I pT2 \dxi dxil

В силу уравнения энергии (3.1) первое слагаемое формулы (3.2) равно нулю. В при-

ближении (1.6) коэффициент K* = 0 и, следовательно, диагональные напряжения

Pii = 0; i = x, у, z.

Однако согласно (2.8) в газе из молекул-упругих сфер коэффициент K* = 0.990, поэтому

(2W„п Ц (dT^\ ^ п (2) (2) l (2) ,,

Pxx = 0.33^^-— I — I Ф 0, Pxx = Pzz = Pyy (3.3)

pT21dy ) 2

Таким образом, в покоящемся неоднородном по температуре газе между пластинами диагональные напряжения, вообще говоря, не равны нулю, их отношения к давлению порядка Kn < l. Действие этих температурных напряжений компенсируется слабыми возмущениями давления того же порядка [4].

В курсах механики газа как сплошной среды при феноменологическом выводе уравнений Навье—Стокса постулируется, что в неподвижном газе вязкие напряжения отсутствуют. Следует отметить, что согласно кинетической теории в неподвижном неоднородном по температуре (а также концентрациям) газе напряжения, вообще говоря, не равны нулю. Однако при исчезающе малых значениях числа Кнудсена они малы, и при решении большинства задач механики газа несущественны. В общем случае температурные напряжения вызывают термострессовую конвекцию — один из важнейших примеров барнеттовских эффектов [4, 5]. В газе, заключенном между изотермическими концентрическими сферами, соосными круговыми цилиндрами и параллельными плоскостями, нагретыми (охлажденными) до различных температур, конвекция отсутствует, газ неподвижен.

Важно подчеркнуть "чувствительность" барнеттовских эффектов к характеру межмолекулярных взаимодействий и к точности задания коэффициентов Kn, n = 1 - 6 [3].

Действительно, в газе из максвелловских молекул напряжения pi2 = 0; i = x, у, z, а в газе из молекул—упругих сфер — отличны от нуля в силу (3.3). Для молекул—упругих сфер (8Tp. = 1/2) в приближении (1.6) коэффициент K* = 0, при более точном подходе (2.8) он отличен от нуля и pu ф 0.

4. Течение Куэтта. В отличие от предыдущей задачи одна из стенок движется в своей плоскости относительно другой. Скорость газа ux = u (у), плотность р и температура T также зависят только от поперечной координаты у. В навье-стоксовском приближении из уравнения импульса следует

(1) du p = const, р\у = -ц— = const dy

Уравнение энергии принимает вид

d х dT + du

dy dy ^ dy j

= 0

(4.1)

В приближении Навье—Стокса снова диагональные вязкие напряжения р® = 0, i = x, у, z. В приближении (2.7) с учетом уравнения (4.1) находим

pxx _ _4 и d хdT+4 и! ( du)2 _8 и! Г du)2 _ const

15 pdy dy 3 p ^ dy ) 5 p ^ dy )

(2) _ _ 1 (2) pzz _ 4 pxx ,

(2) _ _ 3 (2)

pyy _ л pxx

4

В общем случае при помощи выражений (1.2), (2.5) и (4.1) получим

„(1) / / _ \2

- + K *-L d

dX„

3nX2X =-K*emk ^ + K*^ ^ - K*^1 or I + 2K* I du | =

/Ц dy

= 1 - 2 K * + /K* + 2K * 11 ]2 -

I dT

„2

_P pT

pT 21 dy 2 K * i f

I du к dy

3"S=K k * - * - k* )( du.12k* If )2,

(2) (2) (2) п = -п - П >CZZ xx >cyy

(4.2)

Отсюда с использованием значений (4.1) для молекул-упругих сфер находим

f„ (2) А

(2) Pyy (2) Pzz

f 1.510 А -1.163 -0.347

И2 f du*1

P \ dy.

f 0.330 А -0.660 0.330

2 f \ 2 И2 f dT

pT2 ^ dy

(4.3)

Таким образом, получен убедительный пример "чувствительности" барнеттовских эффектов к виду межмолекулярных взаимодействий и точности задания барнеттов-ских коэффициентов переноса: в отличие от (4.2) выражение (4.3) включает слагаемое, пропорциональное (dT/dy)2.

По определению [2] продольный поток энергии в течении Куэтта равен

mm j J jZxxd$ydÇz = 2(5p + p u2)ux + PxxUx + q

(4.4)

где и = их, % — скорость молекулы, f — функция распределения. В приближении Навье—Стокса диссипативные поправки, т.е. второй и третий члены формул (4.4), равны нулю. Асимптотически (по числу Кнудсена Кп ^ 0) главные значения этих поправок

даются барнеттовскими слагаемыми соот

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком