ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2011, том 111, № 4, с. 344-353
^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.9.001
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА В МОДЕЛЯХ ХАББАРДА И АНДЕРСОНА
© 2011 г. Н. И. Чащин
Уральский государственный лесотехнический университет, 620100Екатеринбург, Сибирский тр., 37 Поступила в редакцию 03.06.2010 г. в окончательном варианте — 28.07.2010 г.
Выведенные ранее уравнения в вариационных производных для модели Хаббарда и однопримесной модели Андерсона после преобразования Лежандра представлены в виде системы двух нелинейных интегральных уравнений. Одночастичные пропагаторы числа частиц и момента, определяемые этими уравнениями, обнаруживают правильное поведение в трех различных предельных случаях. Во-первых, для обеих моделей в пределе нулевой ширины зоны проводимости W/U = 0 получается результат, известный как атомный предел. С другой стороны, показано, что в пределе U/W < 1 принцип Паули в виде дополнительного уравнения связи исключает из ряда теории возмущений некоторый класс диаграмм, имеющихся в стандартном разложении. И, наконец, для случая U = да, Ne = Жат — 1 в рамках модели Хаббарда получено решение, согласующееся с точным утверждением Нагаока о насыщенном ферромагнетизме. Осуществлен расчет плотности электронных примесных состояний симметричной модели Андерсона в парамагнитной фазе для различных значений параметров кулоновского взаимодействия U/пГ и температуры Т/Г, где Г — ширина локализованного уровня примеси. Результаты расчета находятся в хорошем согласии с результатами, полученными другими методами.
Ключевые слова: модель Хаббарда, модель Андерсона, вариационный метод, производящий функционал, пребразование Лежандра, плотность электронных состояний.
1. ВВЕДЕНИЕ
Уравнения в вариационных производных для производящих функционалов связных функций Грина модели Хаббарда [1] и однопримесной модели Андерсона [2] были получены в статье [3]. Разработанные итерационные процедуры позволяют находить решения этих уравнений в рамках теории возмущений в двух противоположных пределах слабой и/Ж< 1 и сильной Ж/и < 1 связи, где и — ку-лоновское отталкивание на узле, Ж — ширина зоны проводимости свободных электронов.
В промежуточном случае, где нет малого параметра необходимы другие методы решения. Преимуществом разработанного подхода является то, что рассматриваемые модели факторизуются несколькими связанными уравнениями, в которых можно сделать какие-либо упрощения до степени их точной разрешимости, что на языке диаграммной техники по сути соответствует выбору определенного класса суммируемых диаграмм. Однако, поступая таким образом, мы должны быть уверенными, что сделанные приближения существенным образом не искажают задачу.
Существует другой подход. Задача нахождения решений для функционала связных функций Грина Ф = сводится к вариационной конструированием с помощью преобразования Лежандра такого функционала, уравнение движения для которого играет роль уравнения Эйлера, определяющего точ-
ки стационарности, а соответствующие им экстремали являются искомыми решениями. С вычислительной точки зрения преимущество такого подхода состоит в том, что варьируемый функционал можно строить, например, по теории возмущений, не теряя при этом возможности находить решения другого типа.
Метод преобразований Лежандра первоначально начал разрабатываться для описания фазовых переходов [4] в рамках статистической физики, а также в рамках квантовой теории поля [5, 7]. Общую идею метода лучше всего пояснить на примере исследования статистической суммы Z = 8р [(вкак
функции различных числовых параметров — температуры, внешнего поля, химического потенциала
ит.п. Пусть -р(Ж-^Ж) = ^аД, где а, — упомяну-
I
тые выше числовые коэффициенты, Н1 — некоторые эрмитовы операторы. Тогда сопряженные с а, параметры А,
А = дф, ф- 1пz (1.1)
оа(
имеют смысл средних значений тех операторов, коэффициентами при которых стоят переменные а,, и задачей является вычисление средних А и величины Ф по заданным значениям переменных а.
Эту задачу можно сформулировать как вариационную, если перейти к преобразованию Лежандра Л(А) функции Ф(а)
Л(А) = Ф(а) - XaдФ
oal
В этом выражении предполагается, что переменные а в правой части выражены через новые переменные А с помощью сотношений (1.1), неявно их определяющих как функции от А. Дифференцируя Л по переменным А;, которые считаются при этом ЗА' о
независимыми, т.е. —'- = о«, получим уравнения
дА,
дЛ _ х
дА X
дФ daj daj дА
dAj
да j л
-А: + а:-
дА,- j j дА
= -at, (1.3)
Kст(11')
5Ф
5 K ст(1'2)
= 51j2 + U
52Ф
5Ф
5Ф
(2.1)
_5К5(11)5КСТ(12) 5К5(11)5КСТ(12)]
Здесь Ф [КК= 1п 2[КК— производящий функционал электронных связных функций
Грина. Для модели Хаббарда Кст(12) =
=
_дт1
свободный пропагатор модели Хаббарда, где I , — матричный элемент перехода «-электронов по рек
шетке, б „ = -о-, т
а 2
U (еС1 + U-и) 81,2 +1 (12)
— обратный
термодинамическое время и
цифровой индекс 1 = (R, т1). В случае модели Андер дт
сона KCT(12) = -
U (еС1 + 2 -и) 81,2 + А (12)
(1.2) где параметр гибридизации А (12) отвечает за шири-
к
ну примесного уровня; бст = еа - а- и 1 = (т1).
Вместо переменных Кст перейдем к другим, более удобным для нас переменным, сопряженным с зарядовой и магнитной модой:
р(12) = ±[[(12) + K^(12)], П(12) = i[[t(12) - КД12)],
(2.2)
определяющие параметры а через средние А при условии, что функция Л(А) известна. Но, с другой стороны, уравнениями (1.3) можно воспользоваться и для нахождения неизвестных А по заданным а, а именно: искомые значения А(а) есть такая точка в пространстве переменных А, в которой первые про-дЛ
изводные — принимают заданные значения — а.
дА'
Если ввести функцию ¥ (А; а) = Л (А) + ^ А(аь то
1
можно утверждать, что требуемые значения А(а) являются точкой ее стационарности по отношению к вариациям А при фиксированных параметрах а. И проблема остается лишь в конструировании подходящего выражения для функции ¥ (А; а). Отметим, что пребразование Лежандра не обязательно осуществлять по всем переменным задачи одновременно, достаточно выбрать некоторые из них.
2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА
Начнем с системы (ст=ТД) уравнений [3] (см. (4.4)):
или обратно
Кст(12) = р(12) + an(12), (a = sign а). (2.3)
В сответствии с определением (2.2), преобразуем исходную систему уравнений (2.1) к виду:
р(1П_8^ (1П_8^ = 2512 + 5р(1'2) 5п(1'2) 1,2
+U
52Ф
5Ф 5Ф
2^5р(12)5р(11) 5р(11)5р(12)
52Ф___5Ф 5Ф
5n(12)5n(11) 5п(11)5п(12)
(2.4)
Sn(1'2) Sp(1'2)
U
s2o
SO SO
2^Sn(11)Sp(12) Sn(11)Sp(12)
(2.5)
S20
SO SO
8р(11)8п(12) 8р(11)8п(12).
Функционал Ф = Ф [р,п] является производящим для связных пропагаторов числа частиц
5Ф
5Ф
5Ф
5р(12) 5Kt(12) 5К^(12)
= n(12)
(2.6)
и момента
5Ф
5Ф
5Ф
= т(12). (2.7) 5Л(12) 5КТ(12) 5КД12)
В полном соответствии с (1.2), функционал Л[р,т] = Ф[р,п] - Щцт), (1г(цт) = цГТтТГ), (2.8)
назовем преобразованием Лежандра функционала Ф [р,П ] по матричной переменной ц, и задача сейчас состоит в том, чтобы в уравнениях (2.4), (2.5) перейти от старой к новой системе переменных:
{Ф[Р,П];Р,П} ^ {Л[р,т];р,т}.
+
Варьируя левую и правую части соотношения (2.8) и определяет, как экстремали, искомые решения по всем переменным, получим тождество для пропагаторов числа частиц п и момента т:
1гI —8р + —дт I = 1гI —др + —дп - цЪт - тдц ^8р дт ) ^др дп
из которого, учитывая (2.7), немедленно следует
8Ф
8Л
П(12) = --
8Л
(2.9)
8р(12) 8р(12) 8т(12)
Соотношения (2.9) вместе с дополнительно полученными в Приложении А тождествами (А.3—А.5) позволяют осуществить намеченное преобразование системы уравнений (2.4), (2.5):
Р(11')
8Л 5р(1'2)
П(11') т(1' 2) =
= 281,2 + и[Xрр(11; 12) -Хпп(11; 12)];
р (11')т(1'2) + ц (11')
где введены обозначения
8Л
8р(1'2)
= 0,
(2.10)
(2.11)
р(12) = р(12) - 81,2,
2р(11)
11 (12) = -
8Л
-т(11)812, 8т(12) 2 1 2
Хар(12; 34) =
52Ф
(2.12)
(2.13)
¥ п[ р, т] = Л[р, т] + 1г(п т),
(2.14)
т]
8т(12)
8Л
8т (12)
=-П(12),
8Л 8р(12)
=П(12). (2.15)
Обратим внимание на принципиальное отличие величины т (12), как одной из двух независимых переменных уравнений (2.10), (2.11) и "физических" пропагаторов п = п[р,п], т = т[р,п] — экстремалей функционала ¥ п[р, т] (2.14).
Отметим также, что переход к вариационной задаче позволяет естественно ввести такие понятия, как вырождение решения и спонтанное нарушение симметрии [7]. Вырождение просто означает неединственность точки стационарности, а спонтанному нарушению симметрии отвечает ситуация, когда симметрия функционала выше симметрии экстремалей его точек стационарности.
Не ставя задачи вычисления функционала Л [ р, т ] в явном виде, уравнения (2.10), (2.11) можно рассмативать как уравнения для пропагаторов числа частиц п (12) и момента т (12). Если двухточечные функционалы, отвечающие за корреляционные эффекты в системе Хрр(12; 11) и Хпп(12; 11) удастся выразить через искомые пропагаторы, то решение может быть получено в замкнутом виде.
Из (А.7) непосредственно следует
5а(12) 5Р(34) ХаР(12; 34) = Xра(34; 12).
Функционалы Хар, представленные в новых переменных {Л, т,р}, определяются системой соотношений (А.3, А.4, А.6).
Система уравнений (2.10), (2.11) определяет Л[ р, т] как функционал переменных р (12) и т (12). Структура этих уравнений значительно отличается от структуры уравнений (2.4), (2.5) для Ф[р,п]; их существенная нелинейность не может быть устранена никаким простым преобразованием типа Ф = 1п 2. Однако, этот недостаток компенсируется несомненным достоинством — возможностью регулярного построения не пертурбативных решений для функций Грина. Достаточно получить какое-либо решение для функционала Л[р, т], например, в простейшем случае в виде итерационного ряда, а затем сконструировать функционал
8 2Л
5т(12)8«(34) = 18"8«834 + Р(14П'(32)- (2'16)
где п(12) =
8Л
согласно сотношениям (2.6), (2.9).
Р(12)
Подставив полученное выражение в (А.4) и произведя необходимые преобразования, запишем уравнение для Хпп(12; 34) в стандартной форме уравнения Бете—Солпитера:
Xпп(12; 34) +1Xлл(12;1'1')р-1(1'4)п(31') = (2 17)
= -р-1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.