научная статья по теме ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ХАОТИЧЕСКИЕ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ХАОТИЧЕСКИЕ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 12, с. 1492-1499

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^^^

В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 621.3

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ХАОТИЧЕСКИЕ

© 2004 г. Э. В. Кальянов

Поступила в редакцию 22.07.2003 г.

Рассмотрены три математические модели преобразования регулярных колебаний, в том числе и гармонических, в хаотические движения. Модели основаны на простой бистабильной системе, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. Приведены результаты численного анализа. Показано, что формируемые хаотические колебания могут иметь структуру, которой соответствует оригинальный аттрактор, отображающий переключение развитых хаотических движений. Рассмотрена взаимная хаотическая синхронизация систем, основанных на третьей модели, обладающей автоколебательными свойствами.

ВВЕДЕНИЕ

Исследованиям формирования хаотических колебаний с помощью различных автоколебательных систем с хаотической динамикой в последнее время уделяется большое внимание [1-8]. Рассматриваются различные хаотические генераторы, представляющие собой как системы с малым числом степеней свободы [1-3, 5-8, 9], так и много-модовые системы [1, 2, 4, 10-17]. Интенсивно изучаются также неавтономные режимы работы систем с хаотической динамикой [1, 3, 5, 8, 18-27], причем как простых систем (систем с малым числом степеней свободы) [1, 3, 5, 8, 18-23], так и сложных систем (систем с запаздыванием) [1, 24-27] и даже систем с "колебаниями, индуцированными шумом" [28].

Наряду с формированием хаотических колебаний с помощью автоколебательных систем, обладающих хаотической динамикой, представляет интерес исследование возможности преобразования регулярных колебаний (в том числе и гармонических) в хаотические с помощью неавтоколебательных систем с простой динамикой.

Такое преобразование представляется важным с позиций современной теории колебаний для более глубокого понимания процессов хаотизации движений, а также применительно к практическому использованию.

В данной работе рассматриваются три математические модели, основанные на использовании простейшего уравнения с переключением движений, для преобразования регулярных колебаний в хаотические. В качестве исходной системы использована простая система с двумя устойчивыми состояниями, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка.

1. ИСХОДНОЕ УРАВНЕНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Простейшее дифференциальное нелинейное уравнение первого порядка, определяющее два устойчивых состояния, имеет вид [28, 29]

йх/йг = х(а - рх2), (1)

где а, в - положительные постоянные коэффициенты.

Уравнение (1) получено при упрощении нелинейного дифференциального уравнения [29]

ш(й2х/йг2) + \йх/йг + йи(х)/йг = 0,

описывающего движение частицы массы т в поле потенциальных сил и. Упрощение этого уравнения основано на предположении большой диссипации V при бистабильном потенциале

и(х) = -0.5х2(а0 - 0.5Ь<х2), где а0, Ь0 - постоянные коэффициенты.

Начальные условия определяют положение частицы в одном из двух устойчивых состояний аналогично тому, как реализуется то или иное устойчивое состояние в ждущем триггере. По существу, уравнение (1) отображает процессы переключения состояний равновесия в триггере при больших потерях, хотя и получено из других физических представлений.

При воздействии внешней силы /г) упрощенное уравнение движения частицы в поле бистабильно-го потенциала записывается следующим образом:

йх/йг = х(а - рх2) + 8Дг), (2)

где 8 - коэффициент связи.

Внешняя сила может быть любой, в том числе, естественно, и белым шумом, когда

/(г) = (2й)1/2^(г), (3)

где Б - параметр, определяющий интенсивность белого шума ^(г). В этом случае уравнение (1)

описывает преобразование шума. Размах шумовых колебаний (положительный или отрицательный), превышающий по абсолютной величине значение, соответствующее устойчивому состоянию системы, стимулирует ее переключение из одного устойчивого состояния в другое подобно переключению другими внешними сигналами (гармоническими, хаотическими). При шумовом и хаотическом сигналах, в отличие от гармонического, переключения нерегулярны. Переключение системы (2) с помощью хаотического внешнего сигнала будет использоваться и в данной работе, хотя основное ее содержание связано с преобразованием регулярного сигнала в хаотический.

Реализация, получающаяся при интегрировании уравнений (2), (3), отображает переходы (переключения), индуцированные шумом, но не автоколебания, хотя она и имеет вид переключающихся хаотических движений. Для автоколебательной системы необходима, как известно, положительная обратная связь.

Автоколебания при использовании уравнения (2) могут быть возбуждены, если функция /(г) задана так, что наряду с внешним воздействием обеспечивается обратная связь, аналогично тому, как это описано в [30] применительно к триггеру (условие автокоммутации). При использовании внешнего гармонического сигнала эти условия для системы (2) можно представить, например, так

/ (г) =

\-аф(х, г), если х > Ь, [сф(х, г), если х < -й,

(4)

где а, Ь, с, й - положительные постоянные, а функция ф(х, г) определяется выражением

ф(х, г) = хА0 еоа(0.0г),

(5)

го-либо уравнения, например, решением классического уравнения Ван дер Поля

й2у/йг2 - е(1 - у2)йу/йг + ю^ у = 0,

(6)

где £ - параметр обратной связи, ю0 - собственная частота резонансной системы. В этом случае преобразование хорошо изученных регулярных колебаний у(г), формируемых уравнением (6), в хаотические движения х(г) возможно, если вместо условий (4) и (5) использовать следующие соотношения:

/ (г) =

\-ау( х, у), если х > Ь, [су(х, у), если х < -й.

(7)

Функция у(х, у) имеет вид

у(х, у) = ах(г)у(г), (8)

где а - постоянный коэффициент.

Соотношения (2), (6)-(8) определяют вторую математическую модель преобразования регулярных колебаний с частотой ю, определяемой решением у(г), в хаотические колебания х(г). В этой модели по-прежнему, несмотря на возбуждение колебаний за счет обратной связи, существенную роль играют регулярные колебания с частотой ю, являющиеся внешними. Частота генерации ю в этой модели является базовой, и при малых £, как известно, ю ~ ю0.

На основе второй модели преобразования колебаний нетрудно создать самосогласованную хаотическую систему (третья модель), если вместо (6) использовать неавтономное уравнение Ван дер Поля в цепи обратной связи так, что

й2у/йг2 - £(1 - у2)йу/йг + ю0у = кх,

(9)

где А0, О0 - амплитуда и частота внешнего гармонического сигнала.

Соотношения (2), (4) и (5) определяют математическую модель (первая модель) системы преобразования заданных гармонических колебаний частоты О0 в хаотические колебания х(г). Особенностью такой системы является то, что, несмотря на возбуждение колебаний за счет обратной связи, существенную роль играют внешние колебания с частотой О0, которую для удобства можно назвать базовой частотой. Природа стимулированных колебаний своеобразна. Они не являются автономными, поскольку зависят от внешних колебаний.

Естественно, что вместо внешнего гармонического сигнала можно использовать регулярные колебания генератора, являющиеся решением како-

где к - коэффициент связи, характеризующий обратное воздействие сигнала х(г).

Соотношения (2), (7)-(9) определяют третью математическую модель преобразования регулярных колебаний с частотой генерации, определяемой решением у(г) уравнения Ван дер Поля, в хаотические колебания х(г). Эта модель, в отличие от первой и второй моделей, является автоколебательной, что принципиально: колебательные процессы в ней - самосогласованные. К этой модели применимы эффекты как принудительной синхронизации, так и взаимной. В этой системе понятие базовой частоты теряет смысл, так как частота колебательного процесса у(г) зависит от сигнала х(г).

Во всех трех моделях можно реализовать хаотические колебания с переключением движений, воздействуя сформированными хаотическими ко-

[х]

2.6

-2.6

(а)

[г]

-5

(б)

0.8

1.6

Рис. 1. Изменение максимальных значений колебательных процессов х(г) (а) и г(г) (б) в зависимости от параметра связи.

(а)

(б)

240 320 400 г

Рис. 2. Фрагменты реализаций колебаний х(г) (а) и г(г) (б).

лебаниями х(г) на систему, подобную системе, описываемой уравнением (1), так что

йг/йг = г(А - цг2) + ух, (10)

где А, ц, у - постоянные величины.

Совместное решение уравнений (2), (4)-(6), (10) позволяет преобразовать гармонические колебания частоты в хаотические колебания г(г) с их переключением между двумя бассейнами притя-

жения. Аналогично можно создать хаотические колебания с их переключением, решая совместно с (10) уравнения (2), (6)-(8), описывающие вторую модель, или уравнения (2), (7)-(10), описывающие третью модель. При использовании уравнений (2), (7)-(10) система с бистабильным хаосом остается автоколебательной. Она содержит автоколебательную подсистему (2), (7)-(9) и бистабиль-ную подсистему (10), в которой происходит лишь преобразование хаотических колебаний.

Численный анализ проводился методом Рун-ге-Кутты 4-го порядка с шагом интегрирования по времени 0.008. Для устранения возможного переходного режима рассматривались колебательные процессы при г > 240. Значения большей части параметров для краткости и простоты изложения материала зафиксированы: а = А = 1, р = ц = 0.2, а = 2.4, Ь = 1.6, с = 2.5, й = 1.4, а = 0.5, 8 = 1, к = 0.4, А0 = 1, = 3, ш0 = 3.02. Значения параметров 8 и у приводятся при описании результатов численного анализа.

2. АНАЛИЗ ПЕРВОЙ МОДЕЛИ

На рис. 1 приведены бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие изменение максимальных значений колебательных процессов х(г) и г(г) (обозначенных соответственно [х] и [г]) в зависимости от параметра связи 8. Изменение этого параметра, как следует из уравнений, описывающих рассматриваемую математическую модель, эквивалентно изменению амплитуды воздействующего сигнала.

Видно, что сложный, в том числе и случайный, разброс точек, соответствующих максимальным значениям колебательных процессов, реализуется в относительно широком интервале значений параметра связи (при 8 е [0.6, 2]). На диаграм

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»