ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 4, 2004
УДК 62-50
© 2004 г. Д. А. Вагин, Н. Н. Петров ПРЕСЛЕДОВАНИЕ ГРУППЫ УБЕГАЮЩИХ В ПРИМЕРЕ ПОНТРЯГИНА
Выводятся достаточные условия поимки по крайней мере одного убегающего для примера Понтрягина [1] со многими участниками и фазовыми ограничениями, налагаемыми на состояния убегающих, при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков и при условии, что все убегающие используют одно и то же управление.
Работа примыкает к исследованиям [2-12].
1. Постановка задачи. В пространстве Як(к > 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Р1, ..., Рп и т убегающих Е1, ..., Ет с законами движения и начальными условиями (при ? = 0)
(I) (I -1) и ______
X + а1 X + - + а1х\ = иР \\ ^ 1
(1.1)
yjl) + axyj + ... + alyj = и, ||и|| < 1 xit y, u¡, и e Rk, a1, ..., al e R1
x(a)(0) = x°a, yja)(0) = yja, а = 0,., l -1
причем xjo Ф yj0 для всех i, j. Здесь и всюду далее i = 1, ..., n, j = 1, ..., m. Дополнительно предполагается,что убегающие Ej не покидают пределы выпуклого множества
D = {y : y e Rk, (ps, y )<ц5, s = 1, ..., r}
где p1, ..., pr - единичные векторы Rk, ц1, ..., цг - вещественные числа, такие, что IntD Ф 0.
Определение 1. Будем говорить,что в игре Г происходит поимка, если существуют момент T > 0 и измеримые функции
Ui(t) = Ui(t, xja, ya, u(■)), IIUi(t)|| < 1
такие, что для любой измеримой функции u(t), ||u(t)|| < 1, y;-(t) e D, t e [0, T] существуют момент времени т e [0, T] и номера i, j, такие, что x,(x) = y/т). Считаем, что n > m.
2. Вспомогательные утверждения. Вместо системы (1.1) рассмотрим систему
(i) (i -1) Zij + a1zij + ... + aiZß = ui - V
(m 0 _ 0 0 (l-1)m) 0 _ 0 0 (.)
zij(0) = zij0 = xi0- y0, •••> zij (0) = zijl-1 = xil-1- yjl-1
Обозначим через 9p(t), p = 0, 1., l - 1 решения уравнения
(l) (l -1) n
w + a1 w + ... + alw = 0
с начальными условиями
м>(0) = 0,..., м!{р-1)(0) = 0, м>(р\0) = 1, м!{р + 1)(0) = 0, ..., м>(1 -1)(0) = 0
Предположение 1. Все корни характеристического уравнения
X + а1Х1 -1 + ... + а1 = 0 (2.2)
имеют неположительные вещественные части.
Предположение 2. Функция фг _ ^г) неотрицательна для всех г > 0. Отметим, что предположение 2 выполнено, если уравнение (2.2) имеет только вещественные корни. Из предположения 2 и известного результата [10] следует,что уравнение (2.2) имеет хотя бы один вещественный корень. Обозначим через Х1, ..., Х5 (Х1 <, ..., < X) вещественные корни, ц1 ± гv1, ..., ± /V (ц1 < ц2 < ... < - комплексные корни уравнения (2.2), - кратность корня X, та - кратность корня ца ± Ыа. В силу предположения 2 < Х5. Пусть далее
(п(Т, г), ЦТ, г), ^(Т, г)) = ф„(Т)(у)(г), х(г), г)) + ф1(Т)(у/г), г), )г)) +
(2 3)
(I-1)/^ч (I-1 (I
+... + фг-1 (Т)( у) (г), х/ (г), 1)} (г)) Тогда функции (2.3) при г = 0 и функция фг - 1(г) представимы в виде
П)(т, 0) = 5) (Т), С;(Т, 0) = (Т), ^(Т, 0) = Т), фг-1(г) = 50(г) Здесь
(2.4)
rm = £ exp(XßT)Pnmp(T) + £ exp(ц„Г)(Qnma(T)cosvaT + Rnma(T)sinvaT)
ß = 1 а =1
m = i, j; n = 1, 2
Выражение для Ху(7) отличается от (2.4) отсутствием индекса n и заменой m на ij, а выражение для X0(t) - отсутствием индекса m и заменой T на t, причем n = 0.
Считаем, что £¡j(T, 0) Ф 0 для всех i, j и t > 0, ибо если <^pq(T, 0) = 0 при некоторых p, q, T то преследователь Pp ловит убегающего Eq, полагая up(t) = u(t). Считаем также, что P¡js(t) Ф 0 для всех i, j, ибо в противном случае, преследователи первоначально добиваются выполнения указанного условия.
Обозначим через j¡j - степень многочлена P¡js, у - степень многочлена P0 . Можно считать, что Yj = у для всех i, j, ибо в противном случае преследователи P¡ первоначально добиваются выполнения данного условия, выбирая свои управления ui(t) на достаточно малом отрезке времени так, чтобы коэффициенты при t1 многочленов P¡js были отличны от нуля.
Предположение 3. Справедливо неравенство ma < ks для всех а е I = (а|ца = Xs}.
Обозначим
2 1
v0 .. Pis(t) v0 .. Pjs(t) ryO Pijs(t)
X¡ = lim-, Y; = lim—--, Z¡; = lim—-- при t
' tY j tY 'J tY
Qß(T, t) = Па(T, t) - Пр(T, t) = Caß(T + t, 0)
Mq ( T, t, Bq ( T + T0 ))
= exp(-Xs(T0 + T))J9í-1(T0 + t - t)X(Bq(T0 + T), v(x))dx
s
q
Определим функцию X: сошр(Як) х V ^ Я Х(А, и) = 8ир{Х|Х> 0, -ХА п (V- и)Ф0}
Здесь сошр(Як) - пространство выпуклых компактных подмножеств Як с метрикой Хаусдорфа, V - шар единичного радиуса.
Лемма 1. Пусть выполнены предположения 1-3, Э = Як, Бг : [0, ^ Як, МшахХ (Б; (Г0 + Г), и) > 5 > 0 для всех г > 0. Тогда существует момент Т > 0 такой, что
и г
для любой допустимой функции и найдется номер q, такой, что 1- Мд(Т, Т, Бд(Т + Г0))< 0
3. Достаточные условия поимки. Будем полагать, что начальные условия таковы, что
а) если п > к, то для любого набора индексов Iс {1, 2, ..., п}, |/| > к + 1 справедливо условие 1Шсо{ X0, г е I} Ф 0;
б) любые к векторов из совокупности {X0 - У0, - У°г, I Ф г} линейно независимы. Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1-3, Э = Як, п > к + 1 и
0 е 1Псо{2°.} (3.1)
Тогда в игре Г происходит поимка.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что п + т > к + 2. В силу известного результата ([11], лемма 3) существуют Iс {1, ..., п}, 3 с {1, ..., т}, такие, что {, г е I, ] е 3} образуют положительный базис и |1| + |3| = к + 2. Будем считать, что
1 = {1,-, д}, 3 = {1,-, 1}
Если |3| = 1, то поимка следует из известного результата [10]. Считаем, что |3| > 2. Из известного результата ([10], лемма 2.4, с. 155) следует, что существует момент Т, такой, что
Т° + г, 0), I е I, ] е 3} (3.2)
образуют положительный базис для любых Т0 > Т, г > 0. Зафиксируем один из указанных моментов Т0. Так как ^;о,(Т°, г) = ^ (Т0, г) + С^, а (Т0, г) для всех г е I, а Ф а0, а е 3 то
{^а(Т0 + г, 0), 1 е I, Са0а(Т0 + г, 0) а Ф а„, а е 3}
образуют положительный базис. Пусть а0 = 1. Тогда
{£а(Т0 + г, 0), г е I, С1а(Т0 + г, 0), аф 1, ае 3}
образуют положительный базис, причем количество векторов данной совокупности равно к + 1.
Так как п > к + 1, то существуют индексы д + а - 1 е {д + 1, ..., п} при а е 3, а Ф 1. Из известного результата [10] следует, что существует ц > 0, такое, что векторы
{£а(Т0 + г, 0), г е I, + а-п(Т0 + г) + цС1а(Т0 + г, 0), а е 3, а Ф 1}
4 Прикладная математика и механика, № 4
образуют положительный базис. Пусть
0(г) = и■); 11и(т)||< 1, те [0,г]}
Т(г0) = тт{г : г > 0, М тах( 1-к;(г), 1-+ а-1 (г)) > 1}
V,(-)еП(г) ;,а
где
Ак(г) = 1- Мк(Т, г, 5К(Т + Т0));
5К(Т + Т0) = ехр(-X,(Т° + Т))(^к 1 (Т0 + Т, 0) + С1а(Т° + Т, 0)); к = / е I; q + а-1; ае J, аФ 1 Г0, к = / е I
10 = 1 Т т ф1
к = q + а-1; ае J, аФ 1 По лемме 1 Т(г0) <
Задаем управления преследователей полагая (Т = Т(г0), г е [0, Т]), «к(г) = и(г) - Х(5к(Т0 + Т), и(г))Як(Т0 + Т)
Пусть г1 - наименьший положительный корень функции к вида Н(г) = ттй; (г). Считаем, что и; (г) = и(г), г е [г1, Т]. Тогда '
(Т0, г) + |0Сха( Т0, г) = ^к 1 (Т + г, 0) +10 с^( Т0 + г, 0) +
+ (£к1( Т0 + Т, 0) + |)с,1а( Т0 + Т, 0))(кк( г) -1)
По лемме 1 для любой функции и(), и() е О(Т) существует номер г, такой, что кГ(Т) = 0.
Если г е I, то ^г1(Т0, Т) = 0, и следовательно, в игре Г происходит поимка в момент времени Т0 + Т, если считать, что иг(г) = и(г), г е [Т, Т° + Т]. Если + а -11 (Т) = 0 при некотором а0 е J, а0 Ф 1, то
^ + а0 - 11 (Т°, Т) = С1,а0(Т°, Т) = С1а0(Т° + Т, 0)
иТ0, Т) = (Т + Т, 0)к(г) для всех / е I, и следовательно,
Т0, Т), ; е I, ) е J} образуют положительный базис. Значит,
С;(Т0, Т) - Па0(Т0, Т) + Па0(Т0, Т) - П1(Т0, Т), ЦТ°, Т) - п.(Т0, Т)} составляют положительный базис. Отсюда вытекает, что Т0, Т), / е I, ) е J, ) Ф 1, -С1 (Т0, Т)}
составляют положительный базис. Заменяя -Cla (T0, T) на + ^-ц (T0, T), получаем, что при любом T0 > T
T0, T), i е I и {q + ао - 1}, j е J, j Ф 1} составляют положительный базис. Следовательно, векторы
{^j.(T° + í, T), i е I и {q + ао-1}, j е J, j Ф 1} (3.3)
образуют положительный базис при любом í > 0.
Полученное условие (3.3) аналогично условию (3.2), но при этом количество убегающих в условии (3.3) уменьшилось на единицу. Принимая момент T + T0 за начальный и повторяя рассуждения, до тех пор пока количество убегающих не станет равным единице, получаем, что
S¡i(T° + í, T), i е I
образуют положительный базис для любого í > 0, причем 111 = k + 1. Отсюда в силу известного результата [10] в игре Г происходит поимка. Теорема 2. Пусть выполнены предположения 1-3, n > k и
0 е Intco{Zj px,..., pr}, r > 1 (3.4)
Тогда в игре Г происходит поимка.
4. Примеры. 1°. Системы (2.1), (2.2) имеют вид
+ Zj = ui - и, Ы < 1, Nl< 1 j0) = z— ;0) = ;0) = v z<ij)(0) = 4
Тогда
ф0 (í) = 1, ф1 (í) = í, ф2( í) = 1 - cos í, ф3 (í) = í -sin í Поэтому
0 1 2 3
iij(í, 0) = ф0(í)Zij + ф1(í)zij + ф2(í)Zjj + Фз(í)zij =
1 3 0 2 2 2
= í(Zij + Zij) + (Zij + Zij) - Zijcosí + Zijsiní
Полагаем Z0- = z1 + Z3. Считаем, что Z0- Ф 0.
4 V V V
Утверждение. Пусть n > k и выполнено условие (3.4). Тогда в игре Г присходит поимка.
2°. Системы (2.1), (2.2) имеют вид Z^ = u - и, ||mJ < 1, IINl< 1
Zj(0) = Z— s =0, ..., / -1 Тогда
í
Фs(í) = S¡, s = 0,., /-1
Поэтому
l-1 l-1 s k j(i, о) = i= X ,
s = 0 s = 0
Полагаем Z0 = zi,-1 • Считаем, что Z0 ^ 0.
4 v v
Утверждение. Пусть л > k и выполнено условие (3.4). Тогда в игре Г происходит поимка.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования России РФ (Е02-1.0-100) и Российского фонда фундаментальных исследований (03-01-00014).
ЛИТЕРАТУРА
1. Понтрягин Л.С. Избр. науч. труды. Т. 2. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 575 с.
2. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М: Изд-во МГУ, 1990. 197 с.
3. Чикрий A.A. Конфликтно-управляемые процессы. Киев.: Наук. думка, 1992. 384 с.
4. Чикрий A.A. Дифференциальные игры с несколькими преследователями // Математическая теория управления. Варшава: Центр Банаха, 1983. С. 81-107.
5. Мезенцев A.B. О некоторых классах дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1971. < 6. С. 3-7.
6. Петров Н.Н. Многократная поимка в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями // ПММ. 1997.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.