ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 3, с. 334-340
УДК 517:66.011
ПРИБЛИЖЕННАЯ КОМПОЗИЦИЯ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ © 2010 г. А. В. Черняков
Научно-производственное объединение "Космос", Москва azvolynets@mail.ru; melamedl@yandex.ru Поступила в редакцию 17.02.2009 г.
Предложены два метода приближенной декомпозиции и композиции пространственных течений. Методы позволяют, во-первых, оценить влияние отдельных воздействий на пространственное течение жидкой или газовой среды; во-вторых, восстановить полную картину поля давлений пространственного течения по фрагментарным двумерным расчетам. Проведены соответствующие компьютерные расчеты и натурные эксперименты. Сравнение результатов экспериментов и расчетов показало эффективность предложенных методов.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что решение задач гидродинамики в силу их нелинейности и неустойчивости численных алгоритмов является сложной задачей. Особенно сложно получить точную картину поля давлений. Поэтому, несмотря на наличие больших программных расчетных комплексов, таких, например, как ЛМ8У8 и Сотзо1, остается актуальной задача приближенной оценки гидродинамических потоков, особенно в случае пространственных течений. Потребности практики, прежде всего предпроектного анализа, требуют достаточно простых приближенных, но в то же время надежных способов оценки вариантов конструкций. В связи с этим работами [1—4] был начат цикл исследований, которые можно назвать "сравнительной технической гидродинамикой". Целью этих исследований является разработка методов сравнения и оценки параметров гидродинамических процессов на основе наиболее простых закономерностей и подходов. Данная работа является продолжением этой тематики. Предлагаемые методы должны найти применение, в первую очередь, в проектировании аппаратов химической промышленности и атомной энергетики, поскольку именно здесь важнейшую роль играют вопросы гидродинамики.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ-1
При проектировании агрегатов возникают следующие задачи. Первая задача связана с выбором конфигурации агрегата, вторая — с оценкой работы выбранной конфигурации, а именно, с воссозданием полной картины пространственного, трехмерного течения, что, как было сказано выше, является очень сложной задачей. В данной работе предлагаются два приближенных метода решения этих задач.
Первая задача решается с помощью метода декомпозиции по координатным воздействиям, вторая — с помощью метода композиции по плоским сечениям. Под декомпозицией понимается условное разделение сложного течения на два или несколько более простых, совместно с законом их взаимодействия. Под композицией понимается воссоздание полной картины по ее фрагментам.
Подход метода декомпозиции по координатным воздействиям перекликается с методом переменных направлений в вычислительной математике [5]. Этот метод можно описать следующим образом.
Пусть поставлена матричная эволюционная задача
^ + А ф = 0 в ОхО( д ?
ф = g в О при t = 0,
где А — линейный оператор, причем А = А^1 + А2, а Ох О! есть произведение пространственной области О определения искомой функции ф на временную область Оt .
Эволюционной называется, как известно, задача с уравнением, явно разрешенным относительно первой производной по времени и не содержащим в операторе А производных по времени.
Схема метода переменных направлений для этой задачи имеет вид
„]+1/2
■ + А1ф]+1/2 + А2ф] = 0
(т /2)
]+1 ]+1/2 ф -ф + Аф ]+1/2 + А2Ф]+1 = 0
(т /2) ф0 = g;] = 0,1,2,.
Таким образом, каждый (/ + 1)-й шаг расчета (величины т по времени) разделяется на два "полушага" величины т /2. На первом из них неизвестная функция ф1+1/2 находится под воздействием только оператора А1, в то время как оператор А2
воздействует на уже известную функцию ф1. На
втором полушаге ищется функция ф1+1, а операторы по отношению к искомой функции меняются местами.
Этот метод назван методом переменных направлений, поскольку в большом числе случаев операторы А1 и А2 (а в трехмерном случае — и А3) являются одномерными дифференциальными операторами, каждый по своему направлению.
Суть предлагаемого подхода состоит в том, чтобы применить идею метода переменных направлений к разработке методов декомпозиции. При этом получаемые в процессе расчета промежуточные "решения по направлениям" и будут искомыми декомпозициями, если влияние операторов по другим направлениям будет приглушаться, например, обнулением соответствующих граничных условий. Сами эти решения могут быть получены любым подходящим образом, от аналитического до применения существующих компьютерных программ.
Проиллюстрируем сказанное задачей о течении невязкой несжимаемой жидкости в плоской области О с границей дО.. Имеем систему уравнений движения
-1Ф = и ди + у дп рдх дх ду
-1 ддР = и ^ + V ^ рду дх ду
(1)
и уравнение неразрывности — + — = 0 в О, а
дх ду
также граничные условия /(и, V) = g на дО,.
Применительно к данной задаче метод переменных направлений можно представить себе следующим образом.
На первом этапе будем считать, что нам известна
функция Г(х,у) = V—. Подставив Дх,у) в первое
ду
уравнение системы, решаем его с величиной у в качестве параметра. На втором этапе задаем
0(х,у) = и — (причем и — из предыдущего этапа),
дх
подставляем 0(х,у) во второе уравнение (здесь параметром будет уже х) и решаем его, и т.д. Мы не обсуждаем сейчас возможность удовлетворения граничным условиям (хотя бы приближенно), вопросы сходимости и т.п.
Чтобы понять, как получить полную картину течения из имеющихся фрагментарных, "покоординатных", рассмотрим структуру получаемых решений.
Если исходную систему уравнений (1) записать в виде
-1 дР = и — + А,
рдх дх
-1 дР = V — + Ах, рду ду
то "независимые" решения этих уравнений будут иметь структуру:
2
рх + ^ =
2
Ру + = £у(Ах),
где Ьх и Ьу — некоторые операторы. В левых частях стоят полные давления в соответствующих фрагментарных задачах. Сложим эти уравнения.
2
Слева получим выражение рх + ру + ^^, в котором с2 = и2 + V2 и в котором нетрудно угадать полное давление "общей" задачи. Таким образом, показано, что полное давление в некоторой точке общей задачи равно сумме полных давлений в тех же точках фрагментарных задач.
РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ-1
Проверим приведенное выше утверждение с помощью численного эксперимента. Рассмотрим плоскую расчетную область, показанную на рис. 1. Она представляет собой канал со "ступенькой" и имеет два входа и два выхода. Через левую грань в канал вдувается газ со свойствами, близкими к свойствам воздуха. Скорость вдува равна 18 м/с. Выход потока предусмотрен через правую грань. Другой поток того же газа входит через нижнюю грань и выходит (не обязательно полностью) через участок верхней грани между точками М и N. Скорость вдува снизу равна 0.3 м/с. Спрашивается, можно ли восстановить полную картину течения (с двумя потоками) по фрагментарным картинам, каждая из которых воспроизводит конфигурацию канала для потока своего направления? Оказалось, что это сделать можно с вполне удовлетворительным результатом.
Обозначим "полный" расчет через А (см. рис. 1), расчет с основным потоком вдоль оси х — через В (рис.2), расчет с основным потоком вдоль оси у—через С (рис. 3). На рис. 4, 5, 6 представлены полные давления вдоль вертикального сечения, проходящего через точку с координатой х = 0.4 м.
По кривым рис. 4, 5, 6 определяем значения полного давления в точке с координатами х = 0.4 м, у = = 0.06 м. Получим полное давление в расчете А рА = = 300 Па, полное давление в расчете В рВ = 225 Па,
У, м 0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.4 -
1.4
х, м
Рис. 1. Линии тока задачи А ("полный" расчет).
У, м 0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.2 0.4 0.6 0.
1.2 1.4
х, м
Рис. 2. Линии тока задачи В (поток по оси х).
полное давление в расчете С рС = 15 Па. Рассматривая приближенное выражение
Ра - Рв + Рс ,
видим, что оно выполняется в данной точке с точностью 20%.
Итак, видно, что приближенная декомпозиция пространственного (в данном случае — плоского) течения возможна.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ—2
Рассмотрим теперь метод композиции по плоским сечениям. Он решает обратную задачу — задачу о восстановлении пространственного (трехмерного) течения по двумерным сечениям. Для воссоздания общей картины (прежде всего — давления) восполь-
зуемся следующей идеей. Известно, что течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести, при отсутствии завихренности, является потенциальным. Это означает, что существует такая скалярная функция ф (х, у, г, 0 (потенциал скоростей), что
V = grad ф,
т.е. скорость полностью определяется градиентом потенциала, причем градиент берется только по пространственным координатам.
Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
Дф = д2Ф + д2Ф + д2Ф = дх ду 01
0,
(2)
что непосредственно следует из уравнения неразрывности.
У, м 0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.4 -0.2
1.2 1.4
х, м
Рис. 3. Линии тока задачи С (поток по оси у).
Возникает вопрос, существует ли для потенциала свойство мультипликативности, аналогичное тому, которое имеет место при определенных условиях для неодномерного уравнения теплопроводности [6] . Это свойство для нестационарного уравнения теплопроводности состоит в том, что относительная температура тела, образованного пересечением двух или трех одномерных тел (таких, как неограниченная пластина или неограниченный осесимметрич-ный цилиндр), является произведением относительных одномерных температур этих тел.
Для потенциала это свойство можно представить в виде
ф (х, у, г) = Ф1(х) ф 2(у) Фз(г).
(3)
Подставив это выражение в уравнение (2), получим, что оно будет справедливым, если будут выполняться соотношения
й2Ф)(х) = 0 й2ф2(у) = 0, й2фз(г) = 0.
йх
(у
йг2
(4)
Но эти равенства, в свою очередь, говорят о том, что ф1(х), ф2(у) и ф3(г) являются потенциалами скоростей некоторых одномерных потенциальных течений. Можно показать также, что при определенных условиях граничные условия, наложенные на функцию ф (х, у, г), могут быть выполнены и при ее представлении в форме (3). Так, например, прои
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.