ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 1, с. 3-10
ТОКАМАКИ
УДК 533.9
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ КАНОНИЧЕСКИХ ПРОФИЛЕН К ЗАДАЧАМ О ПЕРЕНОСЕ ТЕПЛА В ТОКАМАКАХ
© 2004 г. Ю. Н. Днестровский, А. Ю. Днестровский, С. Е. Лысенко, С. В. Черкасов, М. Дж. Уолш*
РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза * Научная кампания Уолш, Абингдон, Оксон, ОХ14, ЗОВ, ик Поступила в редакцию 20.02.2002 г.
На основе теории канонических профилей для токамака с произвольным сечением плазменного шнура построена транспортная модель для описания температуры электронов и ионов плазмы. Сравнение с экспериментами на 8 разных токамаках показало разумную точность моделирования разрядов плазмы. Анализ экспериментов и проведенные расчеты позволили построить скейлинг для описания поведения относительного градиента температуры в середине радиуса плазменного шнура.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для описания релаксированных состояний в токамаках Б.Б. Кадомцевым [1] и другими авторами [2-3] было предложено использовать два принципа: 1) релаксированное состояние соответствует минимуму свободной энергии плазмы при сохранении полного тока и 2) профили тока и давления плазмы согласованы. В работах [1-3] были рассмотрены релаксированные состояния для круглого плазменного цилиндра. Решения, реализующие минимум функционала свободной энергии, в дальнейшем получили название канонических профилей. Задача о канонических профилях для плазмы токамака с произвольным сечением шнура была рассмотрена в нашей работе [4]. В настоящей работе мы используем найденные канонические профили для построения транспортной модели с критическими градиентами. Эта модель проверяется сравнением с экспериментами на разных токамаках. Анализ экспериментов и проведенные расчеты позволяют построить скейлинг для относительных градиентов температуры [5].
2. КАНОНИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ ДЛЯ ТОКАМАКА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ ПЛАЗМЕННОГО ШНУРА
Напомним вкратце вывод уравнения для канонического профиля [4]. Пусть для заданного распределения токов и давления решена задача о равновесии, т.е. решено уравнение Грэда-Шаф-ранова относительно функции полоидального магнитного потока у. Уравнение у = const определяет магнитные поверхности. В качестве координаты магнитной поверхности будем использовать параметр р, определяемый по потоку тороидального магнитного поля
пр2B0 = Ф, Ф = JB • dS,
(1)
где В0 - вакуумное тороидальное поле в центре камеры. На поверхности плазмы р = ртах = ае&, где ае& - эффективный радиус плазмы. При малом давлении и большом аспектном отношении аеП =
= 4ка, где а - малый радиус плазмы, к - вытяну-тость.
Функционал свободной энергии с условием сохранения полного тока плазмы имеет вид
^ = |( Вр2о1/8 п + р/(у - 1)) / х + ^ | ' ф Ж. (2)
У 5
Здесь Вро1 - полоидальное магнитное поле, р - давление плазмы, - множитель Лагранжа, V - объем плазмы. Последний член в (2) ^]ф= 1р описывает сохранение полного тока в плазме.
Для того чтобы исключить из функционала (2) давление и свести задачу о минимуме функционала (2) к одномерной, будем использовать условия самосогласованности профилей в следующем виде [1]:
р = р(ц), ' = 'ф(ц), 'ф(ц) = Ар(ц), (3)
где ц = 1/^ = 1/(2пВ0р)Эу/Эр, А = еош^ц) - коэффициент пропорциональности. Минимизация функционала (2) с учетом (3) приводит к уравнению Эйлера относительно функции ц(р) [4]
р2 вЭце2/Эр + (А,/2 )Э/Эр(( 1/У )Э/Эр( Ув рцс)) =
= СрЭцс/Эр/У.
S
0.5
(а)
Я/а = 3
Я/а = 5
0.5 г, м
15 10
5
1.0 0
(б)
/
/ N
Я/а = 5 Я/а = 3
0.5
г, м
1.0
Мс( 0) = |1о, (0) = 0, |с (а) = |( а ) = ца,
Нш (р
о = о.
(5)
X = г (а ей) / (2 в (а )|( )),
(7)
где г = (|оо^/5о);'ф = (1/У ')Э/Эр(вУ 'р|) - безразмерный ток. Для задачи Кадомцева Хк = |(ае&)/|(0).
Система граничных условий для круглого плазменного цилиндра
| (0) = |( 0), | (0) = о,
|с( а) = |( а), Хс = Хк = |( а )/|( 0)
(8)
Рис. 1. Канонические профили цс /ц(0) (а) и критические градиенты ЯТ'с /Тс (б) для случаев большого
Я/а = 5 и малого Я/а = 3 аспектного отношения, а = 1 м, да = 7.
Здесь V и в = Я2((Ур)2/г2> - метрические коэффициенты, которые могут быть найдены из решения задачи о равновесии, штрих означает производную по р, постоянная интегрирования С и параметр X должны быть определены из граничных условий, индекс "с" соответствует каноническому профилю.
В [1] для круглого плазменного цилиндра (КПЦ) неявно использовались следующие граничные условия:
эквивалентна условиям (5). Далее предполагаем, что граничные условия (8) и в общем случае тороидальной плазмы выделяют нужные нам специальные решения "типа Кадомцева". Эти решения для канонического профиля |с(р) мало изменяются при изменении физических параметров плазмы на границе (изменения граничной температуры и излучения в приповерхностной области, инжекции примесей).
Для определения канонических профилей температуры и плотности Тс(р), пс(р) вспомним, что в стационарном состоянии профили тока и температуры должны быть близки к каноническим, поэтому канонические профили этих величин должны быть приближенно связаны законом Ома:
„2/3
'с(р) ~ Тс . Отсюда и из (3) находим
2/3
'с ,
„1/2
.1/3
'с .
(9)
Здесь |0 ~ 1, |а - граничное значение для функции М(р), являющейся решением системы транспортных уравнений. В случае КПЦ |а = ЯБо/аБ0 = = 0.2Я1р/а2Б0. Последнее граничное условие в (5) предполагает, что реальные физические условия на границе плазмы не оказывают влияния на выбор канонического профиля. Такие граничные условия будем называть "мягкими". Уравнение (4) для КПЦ с граничными условиями (5) будем называть задачей Кадомцева, а ее решения отмечать верхним индексом "к". Решение задачи Кадомцева имеет вид [1]
1с = МК = Мю/(1 + Р2/а2), а2 = а2 д{)/(да - ?0). (6)
В случае тороидальной плазмы ее сечение ограничено сепаратрисами, и граничное условие на бесконечности не может быть поставлено. В этом случае для постановки граничных условий на поверхности плазмы удобно использовать понятие импеданса первого порядка
В транспортных моделях выражения для потоков содержат критические градиенты. Канонические профили определяют цель релаксации. Если профили параметров плазмы совпадают с каноническими профилями, то потоки должны быть малы. Отсюда следует, что безразмерные критические градиенты определяются через канонические профили тока, в силу (9), следующими формулами:
Отс = Я/Ьте = - ЯТ'с/Тс = -(2/3) Я]'с/]с, "пс = - Яп'с/Пс = -( 1/3 ) Я' 'с.
(10)
Расчеты показывают, что канонические профили становятся более плоскими при уменьшении аспектного отношения А = Я/а или при увеличении вытянутости к и треугольности 5 плазменного сечения [4]. Рис. 1а,б иллюстрирует некоторые из этих зависимостей. Здесь показаны нормированные профили цс(р)/|с(0) для аспект-ных отношений А = 3 и 5 (а) и профили критических градиентов -ЯТ'с /Тс для этих же параметров (б). Более подробно результаты расчетов канонических профилей обсуждаются в [4].
3. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ТРАНСПОРТНАЯ МОДЕЛЬ КАНОНИЧЕСКИХ ПРОФИЛЕЙ
Рассматриваемая система транспортных уравнений состоит из уравнений для электронной и ионной температур, Тг и Те, и для полоидального магнитного поля. Для простоты в настоящей ра-
0
с
боте мы опускаем уравнение для плотности. Равновесие получается решением уравнения Грэда-Шафранова. В отличие от моделей наших предыдущих работ, где в качестве канонических профилей использовалось решение задачи Кадомцева (6), канонические профили в настоящей модифи-цированой модели находятся с помощью решения уравнения (4) с граничными условиями (8). Последовательность действий в транспортной модели канонических профилей (ТМКП) показана на рис. 2.
Предположим, что критические градиенты для ионов и электронов совпадают: ОТс = ОТсе = ОТс, где ОТс дается первой формулой (10). Выбираем следующую форму теплового потока для ¿-моды:
l PC
Qk = Qk + QpC
Qk = -Kk
i dTk dp '
( k = i, e ),
Kk = n%k,
(ii)
(12)
nTk = -RT'I Tk
(14)
PC
Kt
PC
0.75
= ak ( 1IM )( a IR )' q ( af2 ) qcyl x
x( Tk ( aeffI4 ))05n ( 3IR )1I4| B0 = const (p),
1I2
Xk = const (p) = a e
( Te ( a effI2 ) ) n ( a effI2 ) Rq( aeff )'
l neo
%k = Xi '
qcyl =
5 a2 B0
TR
(15)
(16)
PC PC
ae = 3.5, ai = 5, a,
PC PC
QpC = KpC( Tk IR )(QTk - ^Tc)H(^Tk - Qtc) . (13)
Здесь H(x) - функция Хэвисайда: H(x) = 1, если x > 0, H(x) = 0, если x < 0,
- относительный температурный градиент для электронов и ионов. Потоки (12), отмеченные верхним индексом "I", пропорциональны градиентам температуры. Потоки (13), отмеченные верхним индексом "РС", пропорциональны разности между относительным и критическим градиентами температуры. Обычно в токамаках коэффициент жесткости крс много больше, чем
коэффициент теплопроводности кк. Транспортные коэффициенты выбираются в следующем виде [6-10]:
Рис. 2. Блок-схема модифицированной модели переноса в токамаке.
дам установки ASDEX-U с нецентральным ЭЦР-нагревом [11-13] и данные по пяти разрядам из базы данных MAST. Также мы отобрали 32 разряда c установок DIII-D, JET, JT-60U, TFTR, ASDEX-U, T-10 и TEXTOR, данные для которых содержатся в профильной базе данных ITER [14] (итого 44 разряда). Мы старались выбирать разряды с OH и L-модой, но, по-видимому, некоторые из разрядов DIII-D и JET и все разряды MAST относятся к H-моде. При выборе несколько (~5) импульсов DIII-D с H-модой было исключено, так как в них были очень плоские профили электронной температуры, не согласующиеся с довольно пикированными профилями ионной температуры. Список отобранных импульсов приведен в таблице. Для почти всех выбранных разрядов было проведено моделирование с помощью TMKè посредством кода ASTRA [15]. Профили плотности плазмы полагались равными экспериментальным профилям. Пьедесталы в H-моде описывались искусственным увеличением граничных значений для температуры электронов и ионов.
Список отобранных импульсов
2. Здесь М - относительная масса ионов, Т [кэВ], В0 [Тл], а и Я [м], п [1019 м-3], Хк [м2 с-1], Кк [1019 м-1 с-1].
4. ПРОВЕРКА ТМКП
Для проверки транспортной модели мы использовали опубликованные данные по 7 разря-
Установка Номера импульсов
DIII-D 69627, 69648, 71378a, 71378b, 71384, 78106, 78109, 78
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.