грешности должно быть изучено всесторонне и глубоко, причем должны быть предусмотрены различные условия эксплуатации. При этом эксперимент надлежащей полноты либо практически невозможен, либо связан с большими затратами.
Для подавляющего большинства случаев можно рекомендовать статистическое моделирование как метод, предоставляющий компромисс между простотой и информативностью анализа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Проектирование датчиков для измерения механических величин / Е. П. Осадчий, А. И. Тихонов, В. И. Карпов и др. \1.. 1979.
2. Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л., 1991.
3. Мазин В. Д. Метрологический анализ датчиков.// Приборы и системы управления. 1995. N° 10.
4. Masin И'. Berechnete Fehlerbewertung für Sensoren, Meßgeräte und Meßkanäle // Berichte des 44. wiss.
Kolloquiums der TU Ilmenau. Ilmenau, 1999. S. 140 - 145.
5. Wilks S. S. Mathematical Statistics. New York, 1962.
6. Murphy R. В. U Ann. Math. Stat. 1948. Vol. 19.
Валерий Дмитриевич Мазин — д-р техн. наук, профессор кафедры Измерительно-информационных технологий Санкт-Петербургского государственного технического университета. Ш247-60-01 1 факс 247-22-40
E-mail: masin@mit.nord.nw.ru □
УДК 621.317
ПРИМЕНЕНИЕ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЯМИ
МАЛОГО АРГУМЕНТА В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ
Н. В. Мясникова
Рассмотрен подход к спектральному анализу на основе аппроксимации данных функцией синуса малых аргументов, при которой операции умножения в процедуре преобразования Фурье "вырождаются" в сложение показателей комплексных экспонент. Предложены различные применения такой аппроксимации в цифровой обработке сигналов.
Известно, по крайней мере, три пути снижения трудоемкости спектрального анализа: быстрое преобразование Фурье (БПФ), экспресс-методы анализа спектра и преобразования в базисе Виленкина-Крестенсона — чаще всего, в базисе функций Уолша или Хаара. В настоящей статье предлагается нетрадиционный путь снижения трудоемкости.
В спектральном анализе часто применяется аппроксимация исходных данных, причем вид аппроксимирующей функции определяется решаемыми задачами. Излагаемое направление связано с применением аппроксимации функциями малого аргумента. Можно показать, что в области малых значений амплитудная модуляция равнозначна фазовой модуляции, так как
X• ( ХЛ
Xj= М— и Мsin(—I, если М выбирается так, чтобы
Можно представить приведенное выражение в форме, удобной для использования в преобразовании Фурье:
х, (хЛ
X, = АМ И Л/вт -!■ =
1 М Ч4-*
= |(ехр(у^)^ехр(^/|)) . (1)
Очевидно, что формула (1) позволит существенно снизить трудоемкость обработки данных.
Подчеркнем, что задача решается нами на основе аппроксимации данных практически линейной функцией синуса малых аргументов , т. е. используются приближенные вычисления. Выбирая достаточно большие значения М, можно свести погрешность аппроксимации
X,
к незначительной величине. Например, если < 0,077,
то погрешность представления данных не превышает 0,1 %.
На рис. 1 показаны сигнал и его аппроксимация щ, выполненная по формуле (1), при этом графики функций полностью совпадают, а из табл. 1, где приве-
4 2
w. i
У, 0 -2
Рис. 1. Сигнал и
-4
его аппроксимация по формуле (1) (
Таблица 1
Значения сигнала и аппроксимирующей его функции
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Л" 0 0,5 1,386 1,768 -0,952 -2 -0,574 1,061 2,31 -0,5 -1,386 -1,768 0,957 2 0,574 -1,061
W 1 0,5 1,386 1,768 -0,952 -2 -0,574 1,061 2,31 -0,5 -1,386 -1,768 0,957 2 0,574 -1,061
Таблица 2
Значения амплитудных спектров сигнала, вычисленных по классической формуле ДПФ и по формуле (2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1-Я \SP\ 0 1 0 0 0 5,154- Ю-7 0 2,265- Ю-14 1 1 0 3,662- 10"14 0 1,254- Ю-7 1,479- Ю-15 5,004- Ю-14 0,25 0,25 0 9,379- Ю-14
Таблица 3
Значения исходного и восстановленных сигналов
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
У 0 0,5 1,386 1,768 -0,957 -2 -0,574 1,061 2,31 -0,5 -1,386
Re(SO) 1 0,5 1,386 1,768 -0,957 -2 -0,574 1,061 2,31 -0,5 -1,386
R e(SPO) 2 0,5 1,386 1,768 -0,957 -2 -0,574 1,061 2,31 -0,5 -1,386
дены значения сигнала и аппроксимирующей функции, видно, что совпадение носит не только качественный характер.
Подставляя значение х-, в формулу дискретного преобразования Фурье (ДПФ), получим
2/и M п
i- о
-ехр(-у£ (2)
M п
т. е. операция умножения у нас "выродилась" — заменилась сложением показателей экспоненциальных функций. Назовем это преобразование дискретным преобразованием на основе аппроксимации данных функцией синуса малых аргументов (ДПАСМА).
Рис. 2. Совпадение спектров сигнала, полученных по классической формуле ДПФ и по формуле (2)
Покажем результаты вычисления по формуле (2) в сравнении с результатами вычисления по классической формуле ДПФ. На рис. 2 приведены "наш" (БР) и классический (5) амплитудные спектры. Как видно, спектры сигналов неразличимы. Анализ значений этих амплитудных спектров на одинаковых частотах (табл. 2) показывает, что погрешность определения спектральных характеристик несущественна, обусловлена округлениями.
Аналогично можно выполнить и обратное преобразование — по спектральным коэффициентам восстановить сигнал, точнее его значения в равноотстоящие моменты времени. Приведем формулу обратного преобразования (ОД ПАСМА):
^^."¿(ехрО^+Л'З)-2/ М п
¿-о
— ехр(—у^ +у2я—)). (3)
М п
В табл. 3 приведены значения исходного сигнала и зависимостей, восстановленных по спектру БР (Кс(БРО)) и по спектру 5 (Яс(Л'О)). Опять же восстановленные значения, и при применении ДПФ, и при применении ДПАСМА, совпадают друг с другом и с исходным анализируемым сигналом.
Как видно, предлагаемый подход не сложен, легко реализуется.
Отметим, что трудоемкость вычисления спектральных характеристик по формулам (2) и (3) можно снизить, например, ограничиться вычислениями по формулам:
6 _ Sensors & Systems • № 2.2001
Ak = \Sk\= — ^ expf/ —j2n — in ^ v M n
i- 0
сует лишь амплитудный спектр;
если нас интере-
при восстановлении
сигнала.
Попробуем дать интерпретацию методу. Из формулы (1) видно, что применена разновидность фазовой модуляции сигнала (правда, физически нереализуемой). Наверное, именно поэтому полученные формулы преобразования (2) и (3) очень похожи на преобразование Фурье на основе времяимпульсной модуляции сигнала [1 ,2].
Вернемся к методике анализа спектра сигнала на основе ДПАСМА. Она включает в себя регистрацию сигнала; нахождение модуля максимального значения сигнала тах(|х;|), / = 0,1, ..., п —1 в исследуемом временном интервале; выбор значения М, исходя из соот-
шах
ношения
(Ы> =
M
= 0,05, чтобы гарантированно нахо-
диться в области линейности функции синус; масшта-
X:
бирование сигнала хи,- =
M
вычисление, например,
амплитудного спектра по формуле
At =
M
X ®pl/
/ - о
-2л
m
Е exp^(jc(--2ni к)
ниченное число членов разложения в степенной ряд. Попробуем опять для решения задачи воспользоваться свойствами функции малого аргумента. Вспомним, что при выполнении условия ^0,045 < х < 0,045 выполняется соотношение ед к 1 + х. При этом погрешность вычисления по формуле не превышает 0,1%.
Обратимся теперь к формуле ДПФ, выполнив простые преобразования, переведя аргумент в область малых значений:
N
i- О
Ех{
-о
А/
(4)
<- о
Тот факт, что формула кажется очень трудоемкой, обманчив, так как можно выбрать М = 2^, и тогда для возведения в степень необходимо выполнить всего 1_ умножений. Методика выбора значения М достаточно
проста: < а> где а = 0,045, если погрешность фор-
мулы (как уже отмечалось) не превышает 0,1%; а = 0,135, если погрешность формулы не превышает 1 % и т. д.
Так как при малых частотах мы и так находимся в области малого аргумента, можно предложить еще и такой вариант формулы, адаптивный к исследуемому частотному диапазону:
На практике при больших выборках часто выполняется условие тах(|х;-|) <К я, /' = 0,1,..., п. Тогда можно выбрать М = п. Это даст возможность вообще избежать умножения/деления с целью нормирования характеристики:
At =
< - о
-iMik
/ - о
V 1 г Птт1хпк
Предлагаемое ДПАСМА позволяет организацию "быстрых" алгоритмов, реализуя вычисления спектральных характеристик на основе графа БПФ, но только в этом графе вычисление элементов матрицы преобразования — дискретных экспоненциальных функций
(ехр(—и умножения данных на эти элементы
Дг
(Xj ехр(—у 2п Щ )), показанные линиями графа со стрел-
Дг
кой, с последующим суммированием в узлах графа, будут заменены на вычисления экспоненциальных функций — ехр(—у (.*,• + 2п—г)), суммируемых в узлах.
Дг
Известно, что высокая трудоемкость преобразования Фурье обусловлена не только большим числом операций умножения, но и использованием в алгоритме, а, соответственно, и в программе, обращений к трансцендентным функциям: экспоненциальной (если система программирования допускает работу с комплексными данными) или тригонометрическим. Понятно, что "избавиться" от этого можно используя, например, огра-
/ - о
На рис. 3 приведены амплитудные спектры, вычисленные по обеим из предложенных формул — (4) и (5) — в сравнении с ДПФ.
Видно их полное совпадение, причем оно, как и во всех приведенных ранее примерах, не только качественное, но и количественное.
Рис. 3. Совпадение ДПФ сигнала и
его спектров, вычисленных по формулам (4) и (5)
Рис. 4. Исходный и восстановленный по формуле (6) сигналы
Подход можно распространить на другие преобразования. Например, для ДПАСМА получим в этом случае формулу
SS/ç
г N
m 2N
Z[
L< - О
1 +
l\X-i-2nik' Mlm
Л/
r] + iLii
L Л/L m
ik II'"'
-2n
лШ
m 2 N
^ L Mlm ,vJJ L Л/L m ,vJJ
4 - 0
к - 0
/ - 0
V J
+J2i
к-0
Jk_
NM.
M
Уг
-fli^-i - m'i-i
арУ;-р + ç.
(7)
Только для того, чтобы избежать громоздких выражений, здесь не будем рассматривать авторегрессионную модель скользящего среднего. Основа метода — вычисление коэффициентов регрессии, например, методом наименьших квадратов (МНК) для согласования порядка р и количества данных N (при этом, как правило N р). Тогда коэффициенты регрессии для модели, например, второго порядка будут найдены из решения системы уравнений
i I
Iw-1-2 и
1-2
2
У у! 1-2 и
УУ1-1-2
¡y
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.