ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 3, с. 374-382
УДК 537.523
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ
© 2004 г. Р. М. Урусов, Т. Э. Урусова
Институт информатики и информационных технологий, г. Бишкек Поступила в редакцию 04.04.2003 г.
Рассматривается возможность применения метода фиктивных областей для расчета характеристик электрической дуги в многосвязной области. Анализ полученных результатов свидетельствует о правомерности применения указанного метода.
ВВЕДЕНИЕ
Используемые на практике конструкции электродуговых устройств являются в большинстве случаев многосвязной областью, элементы которой могут иметь весьма сложную форму. Численное исследование характеристик в таких случаях сопряжено с большими трудностями, в частности с построением разностной сетки и разностной аппроксимацией граничных условий вблизи криволинейных границ элементов таких конструкций. По этой причине при численном анализе в большинстве случаев используется прямоугольная расчетная область, которая не включает в себя электроды и элементы конструкций с криволинейной границей, а содержит только область столба дуги (см., например, [1-3]). Несколько лучше обстоит дело, когда электроды и элементы конструкций имеют прямоугольные границы, совпадающие с сеточными линиями, однако класс таких задач весьма ограничен [4-6].
Как один из методов преодоления подобных трудностей в вычислительной гидродинамике широко используется метод фиктивных областей. Следуя монографии [7], вкратце изложим сущность метода. Рассмотрим, например, открытую электрическую дугу (рис. 1) с произвольным образом затупленным катодом (-) и анодом (+), имеющим углубление произвольной формы. В данном случае катод занимает область Ок с границей ук, анод - область Оа с границей уа и столб дуги находится в области Од с границей уд (штриховая линия на рис. 1), отстоящей от границ электродов на один сеточный шаг. Далее Од, в которой ищется решение исходной краевой задачи, помещена вместе с Оа и Ок в область О, являющуюся объединением исходных областей О = Од и Оа и Ок. Затем в О с прямоугольной границей Г решается вспомогательная краевая задача с разрывными коэффициентами, являющимися продолжением коэффициентов исходной задачи из Од внутрь областей Оа и Ок. На границе разрыва коэффициентов задаются соответствующие условия согласо-
вания. Преимущество подобного подхода заключается в том, что исходная расчетная область Од с криволинейной границей уд заменяется О с прямоугольной границей Г, что значительно облегчает проведение расчетов.
Следует отметить, что метод фиктивных областей не удовлетворяет требованиям экономичности, важным для решения ресурсоемких задач вычислительной гидродинамики. Например, при расчете течения газа в области О приходится тратить время и память компьютера на тривиальные вычисления соответствующих коэффициентов в областях Оа и Ок, где течение газа отсутствует. Тем не менее преимущества метода заметно превосходят подобные издержки.
В вычислительной гидродинамике метод регуляризации расчетной области был впервые, по-видимому, предложен в работе [8]. В том виде, в каком он изложен выше, метод фиктивных областей впервые использован в работах [9-11] (без связи с электрической дугой). Подробный обзор современного состояния вопроса можно найти, например, в монографиях [7, 12].
(а)
(б)
Рис. 1. (а) - схема расчетной области, жирная линия -граница Г области О; (б) - области катода Ок, анода Оа и дуги Од.
Рис. 2. Схема электрической дуги с различной геометрией расчетной области.
Метод фиктивных областей применяется для численного решения широкого класса задач, для которых проведено математическое обоснование, т.е. доказаны теоремы существования и единственности решения вспомогательной задачи, получены оценки близости решений исходной и вспомогательной задач (см. обзор в [7]). На сегодняшний день математическое обоснование метода фиктивных областей для системы уравнений электродуговой плазмы, по-видимому, отсутствует. Однако о правомерности его использования могут свидетельствовать непротиворечивость рассчитанных характеристик электрической дуги, а также их согласие с экспериментом.
В настоящей работе апробация метода фиктивных областей для численного расчета электрической дуги проводится в рамках двухмерной модели. Выполнено сравнение расчетных данных с экспериментом [13, 14] и расчетными результатами [14, 15], полученными без применения метода фиктивных областей. В этих работах рассматривается открытая дуга, горящая между конусным (рис. 2а, 26) или сферическим (рис. 2в) вольфрамовым катодом и плоским медным анодом. В эксперименте [13] отверстие вдоль оси конусного катода (рис. 26) предназначено для измерения давления, а сужение на стержневом катоде (рис. 2в) - для уменьшения теплоотвода от сферической поверхности катода.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Система уравнений. Поскольку рассматриваемые задачи обладают осевой симметрией, используется двухмерная система уравнений электродуговой плазмы [2-6] в цилиндрической системе координат (г, г, 6) и в двухтемпературном приближении, включающая уравнение неразрывности газа,
div(pU) = 0,
(1)
уравнение неразрывности электронного газа
div[Ne(U + Ud + Uf + UJ] = Re, (2)
уравнения движения по координатам г и г
+ Ыа)ии] = = &у(|!и) - дР/дг + Мо/Не + ^ + (р -diу[m(N¿ + Na)Uv] = = &у(| §гаё V) - дР/дг + |0,/г#е + sг, уравнение баланса энергии электронного газа
Шу
(3)
(4)
Ne(U + Ud + Ut + Ua)[ 2-kTe + U
(5)
= div(Kgrad Te) + j2/a - у - B(Te - T), уравнение баланса энергии тяжелых частиц
"5,
div
- kT( N; + Na) U
(6)
(7)
(8) (9)
= div(Kgrad T) + B(Te - T), уравнения Максвелла
rot H = j, rot E = 0, divH = 0, закон Ома
E = j/ст,
закон Дальтона
P/kT = N i + Na + NeTe/T.
Электромагнитная часть задачи решается с использованием функции электрического тока %(r, z), определяемой соотношениями dyjdz = -jr, dyjdr = = jzr (см., например, [1-3]) и автоматически удовлетворяющей уравнению сохранения электрического тока div j = 0. При записи уравнений полагалось, что процессы являются стационарными, течение ламинарным, излучение объемным; однократно ионизованная плазма атмосферного давления представляет собой сплошную квазинейтральную среду. Приэлектродные процессы не рассматриваются. В (1)-(9) р - плотность плазмы, р^ - плотность окружающего холодного газа, Ke - теплопроводность электронного газа, K - теплопроводность газа тяжелых частиц или матери-
ала электродов, ц - вязкость, а - электропроводность плазмы или материала электродов, у - интенсивность излучения, т - масса атома, Ие, И, Иа -концентрации электронов, ионов и атомов соот-
2
ветственно. Яе = (КИеЫа - КгИе И) - скорость генерации электронов, где К, Кг - константы ударной ионизации и трехчастичной рекомбинации соответственно, и I - энергия ионизации газа, к -постоянная Больцмана, В - коэффициент энергообмена между электронами и тяжелыми частицами, g - ускорение свободного падения, де - заряд электрона, ц0 - магнитная постоянная. Векторы ^ E, j, H обозначают соответственно скорость газа, напряженность электрического поля, плотность электрического тока и напряженность магнитного поля, Т - температура тяжелых частиц или электродов, Те - температура электронного газа, Р - давление; sz, sr - дополнительные к и),
вязкие слагаемые, Ud, Ц, Ua - векторы скоростей дрейфа электронов, термо- и амбипо-лярной диффузии соответственно, определяемые по формулам
^ = j/(qeNe), ^ = -(0.5/Те)йе ЕШё Те, Ua = -фе/Ие^Шё Ие,
где Эе - коэффициент амбиполярной диффузии электронов. Коэффициенты переноса и тепло-физические свойства неравновесной аргоновой плазмы в области Од рассчитываются по известным формулам и уравнениям [3]. Температурные зависимости коэффициентов а(Т) и Х(Т) для материала электрода в областях Ок и Оа определялись по данным работы [16].
При расчете характеристик дуги в прямоугольной области О, области электродов Ок и Оа являются фиктивными для переменных Те, Ие, U и Р, т.е. в данной математической модели наличие электронного газа в Ок и Оа не рассматривается, а излучение и газодинамическое течение дуговой плазмы, очевидно, отсутствует. Поэтому необходимо "выключить" в областях Ок и Оа такие физические процессы, как ионизация, излучение и массоперенос. "Выключение" процессов ионизации и излучения газа в областях электродов обеспечивается заданием численных значений Хе, Яе, Ое, В, у, соответствующих температуре холодного неионизованного газа, для которого
Г^11" = 3 кК. При такой температуре концентрация электронов составляет около М™11 = = 1017 м-3, что много меньше соответствующего значения для столба дуги (Ие = 1021- 1024 м-3). Эти же значения Г1"11 = 3 кК и И1* = 1017 м-3 будут использованы как краевые условия для переменных Те и Ие на границе Г расчетной области О. Массоперенос в электродах "выключается" по аналогии с [17]
при помощи задания величины вязкости, значительно превышающей соответствующее значение для газа. Если для газа (или жидкой фазы) значение вязкости составляет ц = 10-5-10-3 кг/(мс), то при значении вязкости ц* = 1 кг/(мс) течение газа действительно отсутствует. Как показали результаты предварительных расчетов, в узловых точках твердого тела, прилегающих к областям реального газодинамического течения, значения скорости на 3-4 порядка меньше соответствующих значений для газа и через 2-4 узловые точки вглубь твердого тела уменьшаются почти до нуля. Плотность р в Ок и Оа полагается равной плотности материала электродов.
Для переменных Т и % области электродов не являются фиктивными, т.е. в электродах рассчитывается распределение температуры (из уравнения ёгу(^гаё Т) + j2/а = 0), а также течение электрического тока. Поэтому коэффициенты теплопроводности X и электропроводности а в областях электродов полагаются равными их реальным значениям, определяемым материалом электрода.
Следует отметить, что на границах дуги с электродами, где имеет место резкое изменение характеристик среды, не потребовалось применения каких-либо условий согласования. По-видимому, это обусловлено тем, что исходная с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.