ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина, А. С. Шульмин
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА УПРУГОЙ СРЕДЫ С ПОЛОСТЯМИ И ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Разработан и теоретически обоснован аналитический метод граничных состояний. Доказано следствие теоремы Вейерштрасса, согласно которому гармоническая в ограниченной односвязной области функция может быть приближена рядом однородных гармонических многочленов. Построен базис пространства функций, гармонических вне любой окрестности точки. Разработан алгоритм наполнения базиса пространства состояний многополостного упругого тела. Метод применен для решения серии задач об определении напряженно-деформированного состояния неограниченной упругой среды, содержащей сферические полости или включения при разных граничных условиях: граница полости свободна (задача Саутвелла), защемлена или находится в условиях контакта с жестким ядром. Проанализировано влияние ширины межполостного слоя на концентрацию напряжений в неосесимметричной задаче с двумя полостями. Характер зависимости среднеквадратической невязки граничных условий полученного решения от количества элементов базиса свидетельствует о численной сходимости решения этой задачи.
Метод граничных состояний (МГС) имеет определенные преимущества по сравнению с другими энергетическими методами благодаря ряду отличительных особенностей.
1. Метод опирается на понятие внутреннего состояния среды, под которым понимается частное решение системы уравнений, описывающих состояние среды, заключенной в области, построенное безотносительно к виду граничных условий. Совокупность состояний образует гильбертово пространство внутренних состояний, изоморфное пространству граничных состояний, элементы которого индуцируются внутренними состояниями на границе (изоморфизм гильбертов).
2. К настоящему времени МГС эффективно применен к решению задач для ряда сред: изотропные линейно упругие среды (статика, установившиеся колебания, неоднородность), анизотропные среды, термоупругость (связанная и несвязанная), электростатика, установившееся движение идеальной жидкости [1, 2].
3. Формулировка краевой задачи осуществляется в терминах, описывающих характеристики напряженно-деформированного состояния (НДС) в "стандартной" форме: на границе задаются компоненты векторов поверхностных перемещений и усилий, а также их линейные комбинации. Преобразование их к какому-либо представлению через иные математические объекты не требуется.
4. В общем случае в краевых задачах с произвольными граничными условиями разрешающей является бесконечная система линейных алгебраических уравнений (БСУ) относительно коэффициентов Фурье разложения искомого состояния по базису пространства состояний. Решение основных задач сводится к рутинному вычислению коэффициентов Фурье через квадратуры.
5. МГС ориентирован на использование компьютерной алгебры, благодаря чему промежуточные и конечные результаты счета имеют форму аналитических выражений.
6. Краевые задачи с граничными условиями любого типа легко поддаются формализации в терминах МГС. Для основных задач доказаны разрешимость и единственность решения любой усеченной БСУ [3].
7. Аналитическая форма представления результатов счета позволяет назначить глобальную систему тестов, "пронизывающую" все этапы представления решения.
8. МГС — приближенный, но самодостаточный метод, поскольку не требует сопоставления решения с решением, построенным иными способами: дифференциальные уравнения удовлетворяются тождественно, о точности решения можно судить по невязке граничных условий с построенным решением, оцениваемой по любой назначаемой норме.
Основные трудности применения МГС на практике связаны с формированием счетного базиса состояний, его ортогонализацией, расширением классов решаемых задач за счет учета сингулярностей физической и геометрической природы на границе тела.
Ниже МГС распространен на классы задач для ограниченных и неограниченных тел, содержащих полости и включения, вообще говоря, произвольной формы, но применен в качестве эффективного средства решения серии задач о сферических полостях и включениях в неограниченной упругой среде. Объекты, выбранные для проверки эффективности метода, изучались механиками издавна ([4—13] и др.). Специфика этих работ связана с конфигурацией границ тел (сферы, неограниченные цилиндрические поверхности), что позволяет применять спектральные разложения, используя в качестве рабочего инструмента специальные функции. МГС не "завязан" на конфигурации границ.
Построение базисов пространств состояний
Общая схема метода граничных состояний. Под состоянием среды понимается любое частное решение определяющих уравнений среды безотносительно к условиям на границе тела. Понятие состояния среды трансформируется в понятие внутреннего состояния если речь заходит о конкретном теле, имеющем свои границы. Совокупность всех возможных внутренних состояний образует гильбертово пространство внутренних состояний Е.
Внутреннее состояние может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного базиса ^(2), ..., ... е Е, ^ = 8«:
(к)
к $
где — символ Кронекера, ck = — коэффициенты Фурье.
След, который оставляет на границе тела внутреннее состояние воспринимается как граничное состояние у, соответствующее внутреннему. Совокупность всех граничных состояний образует гильбертово пространство граничных состояний Г. Граничное состояние также может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам орто-нормированного базиса у(1), у(2), ... у(п) е Г, (у(,), у^) = 8,/:
„(к) „ _ л, „(к)
Х( к) / (кК
СкУ , Ск = (у, У )г
Будем полагать, что пространства внутренних и граничных состояний сопряжены гильбертовым изоморфизмом в силу соотношений
$(1) + $(2)^у(1) + у(2), а^ау, а е Я1, (у(1),у(2))г = ($(1), $(2))н
к
к
Это позволяет изучение внутреннего состояния свести к изучению соответствующего граничного состояния: в разложениях изоморфных элементов пространств Е и Г коэффициенты Фурье одинаковы. При этом базисному набору элементов пространства Е будет однозначно соответствовать базисный набор элементов пространства Г.
Суть метода граничных состояний заключается в том, чтобы по информации, заложенной в граничных условиях, восстановить значения коэффициентов Фурье.
Под внутренним состоянием упругого тела будем понимать избыточный набор согласованных характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) ^ = {и, Еу, а у}, где и, — компоненты вектора перемещения, Еу и а,у — компоненты тензоров деформаций и напряжений. Чтобы избежать множественности вариантов в определении перемещения, обусловленных его "жесткими" составляющими, соответствующего единому тензору деформации, установим условие нормировки: в некоторой точке, например, в точке (0, 0, 0,), положим параметры жесткого движения нулевыми.
Скалярное произведение в пространстве Е определяется так:
к)л(т) )в = ^ е(т) ¿и
Его физический смысл: при к = т интеграл выражает потенциальную энергию упругого деформирования. Коммутативность скалярного произведения обеспечена теоремой Бетти, аддитивность и однородность, положительная определенность — очевидны.
Под граничным состоянием будем понимать след внутреннего состояния на границе тела ^ ^ у, у = {и,, р}, т.е. совокупность перемещений и усилий на границе тела. Благодаря теореме Сомильяны [14] по граничному состоянию однозначно восстанавливается внутреннее состояние у ^
Скалярное произведение в пространстве Г определим так:
( (к) (тК Г (к) (ж),
(у ,Т )г = ]Р) Щ
дУ
Его физический смысл: работа поверхностных сил одного состояния на перемещениях другого состояния. Коммутативность также обеспечивается теоремой Бетти. Принцип возможных перемещений устанавливает равенство скалярных произведений в обоих пространствах Е и Г для изоморфных пар элементов. Аддитивность и однородность — очевидны, положительная определенность следует из таковой в пространстве Е. Вышесказанное характеризует оба пространства как изоморфные в смысле Гильберта. В контексте МГС ставятся и решаются задачи при разных граничных условиях. Первая задача теорииупругости (по классификации Н.И. Мусхелишвили) состоит в определении НДС тела по усилиям, заданным на его поверхности р,\дг. Решение сводится к отысканию коэффициентов Фурье через квадратуры
ск =
дУ
\рЩ к) (1)
Вторая основная задача состоит в определении НДС тела по поверхностным перемещениям и,\д¥. Как и выше, задача сводится к отысканию коэффициентов Фурье через квадратуры
Ск = | ир(к) (2)
дУ
Основная контактная задача состоит в определении НДС тела по заданным на его поверхности нормальной составляющей перемещения ып\ду и паре касательных усилий
Рт ^ д V, рт 2| дг ■ По определению
с, = (У, У(к)) = | ( «Л^ + «т+ «¿к) йБ =
дV
= | (РА'" + Рт! и™ + Рт2 и™ ) йБ
дV
Отсюда следует
2 Ск = Ьк + | (Р пи{п] + «т + «т 2РТ') ) дV
Г/ (к) (к) (к)ч ,0 Ьк = ] ( «пРп + Рт1 «т1 + Рт2 «т2 ) йБ
дV
С использованием разложений
да да да
Рт 1 = X СРт^' Рт2 = X СРтС2)' «п = X с/«1 1 = 1 1 = 1 1 = 1
после элементарных преобразований задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье
X ( 2 5Д - ак])с] = Ьк 1
ак]= | (рЛ «пк) + «№ + «№) йБ
дV
Примененный выше прием оказывается эффективным и при формулировке иных задач теории упругости, в том числе смешанных.
Базис состояний для односвязного упругого тела. Общее решение уравнения Ламе [14] при отсутствии объемных сил
И «г, л + (Л + И)«], л = 0 (3)
для линейной изотропной упругости представляется формулой Папковича—Нейбера. Для ограниченного односвязного тела эффективным вариантом является решение Аржаных—Слободянского [14]
щ = 4( 1 - V)Б, + х]Б1>л - х1Б]>л, V = Л ) (4)
2 (Л + И )
согласно которому перемещение выражается через вектор гармонических функций. В выражениях (3) и (4) запятая перед нижним индексом I или] означает дифференцирование по соответствующей координате х1 или х, принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, X и ц — постоянные Ламе, V — коэффициент Пуас-
4 Пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.