УДК 517.968:531.743
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ КОРРЕКЦИИ ИСКАЖЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
И.А. Белов, П.П. Парамонов, B.C. Сизиков
Рассматривается задача коррекции смазанных изображений, полученных с помощью датчиков измерительных систем. Математически задача описывается интегральным уравнением Фредгольма I рода типа свертки. Для его решения применены методы преобразования Фурье и регуляризации Тихонова с переменным параметром и различными порядками регуляризации.
ВВЕДЕНИЕ
Основные варианты решения задачи обработки искаженных изображений заключаются в предварительной обработке, не требующей применения сложных математических алгоритмов — устранении царапин, подборе контрастности, масштабировании, устранении нелинейности и в восстановлении (реконструкции, коррекции) искаженных (смазанных, дефокусирован-ных, зашумленных) изображений, требующих, как правило, сложного математического аппарата [1]. В данной работе мы остановимся на задаче восстановления смазанных изображений.
В ряде работ [2—7] уже рассмотрена данная задача, а именно, выведены соответствующие интегральные уравнения, для их решения применены методы преобразования Фурье (или Хартли) и регуляризации Тихонова (для устойчивости решения). Однако для методик, развитых в этих работах, характерны следующие недоработки, отрицательно влияющие на качество реконструированных изображений.
• Различные части изображения в этих методиках обрабатываются с различным разрешением. Устранить этот недостаток можно, в частности, путем введения переменного параметра регуляризации а в методе регуляризации Тихонова.
• В задаче реконструкции смазанного изображения число дискретных отсчетов N вдоль каждого смаза может быть различным. А для алгоритма БПФ требуется, чтобы N было целой степенью числа 2. В результате приходится вдоль всех смазов
брать А равным, например, 256, искусственно дополняя нулями интенсивности на искаженном изображении. Для устранения этого недостатка нужно вместо алгоритма БПФ воспользоваться обычным (не быстрым) дискретным преобразованием Фурье.
• Интенсивности в восстанавливаемом изображении часто принимают отрицательные значения, и возникают полосы на изображении. Чтобы устранить этот недостаток, нужно решать задачу реконструкции изображения с ограничением на решение в виде его неотрицательности или путем увеличения а в местах отрицательных значений интенсивности. Реализация метода регуляризации Тихонова с ограничениями на решение рассмотрена, например, в работе [8]. Отметим также, что недостаточно исследован вопрос о влиянии порядка регуляризации р на качество изображения.
В данной работе рассматриваются вопросы переменности параметра регуляризации а и влияния различных порядков регуляризации р на качество реконструкции изображений методом регуляризации Тихонова.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ СМАЗАННОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ
Рассмотрим данную задачу на примере смазанного (смещенного, сдвинутого) фотоснимка. Пусть фотографируемый плоский объект и фотопленка фотоаппарата расположены параллельно линзе фотоаппарата по разные стороны от нее на расстояниях соответственно /[ и /2,
причем \//\ + 1//2 = 1//, где/- фокусное расстояние линзы.
Пусть за время экспозиции фотопленка совершила прямолинейный и равномерный сдвиг (смещение) на величину А или сдвиг совершил объект (например, подвижная цель) на величину — Д(/]//2). В результате изображение на фотопленке будет смазанным. Данная задача описывается соотношением [3, 4, 6, 7]:
х + Д
| } = (1)
где g(x, у) — интенсивность на смазанном изображении в функции прямоугольных координат х, у, причем ось х направлена вдоль смаза, ось у направлена перпендикулярно смазу, а и>(£, у) — искомая интенсивность на несмазанном изображении (ось ^ совпадает с осью х).
Соотношение (1) есть совокупность одномерных интегральных уравнений I рода относительно у), причем у играет роль параметра. Для удобства соотношение (1) целесообразно записать в виде совокупности интегральных уравнений Фредгольма I рода типа свертки с параметром [4, 6, 7]:
J к(х ~ y)d$ = g(x, у),
—00
—00 < X, у < 00, (2)
где
к(х)
1/Д, х е [-(Д, 0)],
О,
хеКМ)].
(3)
Отметим, что в работе [2] рассмотрен случай непараллельности
объекта и пленки, а также неравномерности и(или) непрямолинейности сдвига пленки (или объекта).
Задача решения уравнения (2) некорректна (сильно неустойчива). Для его решения воспользуемся, как и в работах [2, 3, 6, 7], методами преобразования Фурье и регуляризации Тихонова [3, 8, 9]. Регуляризо-ванное решение записывается в виде обратного преобразования Фурье с регуляризацией [7]:
00
^ { У^с/со, (4)
-00
где регуляризованный Фурье-спектр решения (его преобразование Фурье)
ы (5)
¿(со) + аЛ/(со)
причем
Цсо) = |Дсо)|2, М(со) = |ш/сотах|2",
00
К((й) = 11с(х)е'ахс1х, (6)
-00
00
0(со,у)= ¡8(х,у)е'<°хс1х, (7)
а > 0 — параметр регуляризации, р > 0 — порядок регуляризации, К(а>) и (/(со, у) — преобразования Фурье от ядра и распределения интенсивности по искаженному фотоснимку.
Обсудим вопросы, связанные с выбором параметра а и, несколько позже, порядка р регуляризации.
Выбор параметра регуляризации
а. Весьма существенное влияние на решение ма(с„ у) оказывает значение параметра регуляризации а. По существу, а играет роль контрастности восстанавливаемого изображения. Чем меньше а, тем больше контраст изображения и его разрешения, но тем меньше устойчивость (помехозащищенность) решения. И наоборот, чем больше а, тем устойчивее решение, но меньше контраст и разрешение изображения.
Обычно полагают, что параметр регуляризации а является, вообще говоря, функцией у, т. е. а = а(у), но не зависит от т. е. является постоянным вдоль смаза.
Существует ряд способов выбора параметра регуляризации а, на-
пример, способ невязки [3, 8, 9], обобщенный принцип невязки [8, 9], способ подбора [4, 6, 7]. Для всех них характерен тот недостаток, что они оперируют с постоянным (в данном случае вдоль смаза) значением а. В то же время в работе [10] предложен метод с переменным параметром регуляризации (в работе [11] мы назвали его третьим методом локальной регуляризации в отличие от метода глобальной регуляризации Тихонова), требующий однако существенной доработки. В данной статье предлагается для реконструкции изображений воспользоваться этим методом после некоторой его доработки.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА С ПЕРЕМЕННЫМ ПАРАМЕТРОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Согласно этому методу [10, 11] регуляризованное решение уравнения (2)
У) =
00
2л J 1(со) + а(^)М(со)
—00
Здесь переменный параметр регуляризации а(£) = = с Г3^), где с — некоторая константа, а Г(£) — так называемое характерное время, пропорциональное локальной гладкости решения и^с,, у). Кроме того, а является, вообще говоря, также функцией у, т. е. а = у).
В данном методе в тех местах снимка, где требуется повышенное разрешение, параметр а должен иметь пониженное значение, а где возникают ложные отрицательные провалы в решении , значение а нужно повысить. Данный процесс необходимо формализовать. Предлагается следующий алгоритм выбора переменного параметра а(^), состоящий из двух итераций.
Первая итерация. При некотором фиксированном у находим решение согласно выражению (4) при постоянном а, выбранном, например, способом подбора. Далее находим аналогичные решения при других значениях у. Получаем первое приближение для реконструированного изображения и>а(£,, у).
Вторая итерация. В тех местах реконструированного изображения, где имеют место отрицательные провалы (в виде полос), вместо а выбираем большее значение, а
именно, да, где q > 1 - некоторый коэффициент. Формально
[ qa при w„(4,y)<0,
«©= а**" ' (9)
[ а при и>а(£, у) > 0.
Коэффициент q определяем также способом подбора (например, q = 10).
Итак, в данной работе предлагается вместо постоянного а выбирать кусочно-постоянное а согласно выражению (9).
Выбор порядка регуляризации р. Заметное влияние на регуляризованное решение оказывает также порядок регуляризации р, причем во взаимосвязи с параметром регуляризации а. Чем больше р, тем более крутым будет ход функции М(т) = |со/сотах|р от 0 до 1 с ростом ю от 0 до сотах и тем более слабым будет относительное подавление низких частот со по сравнению с высокими частотами при неизменном а (см. формулу (5)). Однако при увеличении р должен увеличиваться и параметр а, поскольку слагаемое аМ(со) в формуле (5) должно быть одного порядка при различных комбинациях р и а. В результате с увеличением р должно увеличиться "наилучшее" а, повыситься устойчивость решения wa и понизиться его разрешение (из-за усиления подавления высоких частот).
Обычно полагают р = 1, но решение контрольных примеров показывает, что качество решения (4) существенно зависит от выбранного значения р, причем р может меняться в широком диапазоне значений.
Численный пример, р помощью разработанного пакета программ IMAGE на языке VISUAL С++ был решен численный пример. На рис. 1 представлено смоделированное смазанное изображение движущейся цели (самолета), а именно, приведено распределение интенсивности g(x, у) вдоль искаженного изображения (ось х направлена горизонтально). Отметим, что из-за смаза на цели не видны мелкие детали.
На рис. 2, а представлено изображение, соответствующее регуля-ризованному решению wa(£, у) согласно формуле (4) при порядке регуляризации р — 0,6 и постоянном параметре регуляризации a = 2 • Ю-2 (найденном путем подбора и "наилучшем" для данного р). При этом
Рис. 1. Смазанное изображение движущейся цели
Рис. 2. Изображение движущей цели после регуляризации:
а) а = 0,02; р = 0,6; б) а = 0,02; q = 10; р = 0,6; в) а = 0,02; q = 10; р = 0,0015
использовано по 7V = 512 отсчетов вдоль х, 4 и з>.
Непрерывные преобразования Фурье прямые (6), (7) и обратное (4) вычислялись в виде дискретных преобразований Фурье, точнее, в виде БПФ. Видно, что на изображении появились такие детали, как опознавательные знаки, однако появились и полосы соответствующие отрицательным значениям у).
Для устранения полос мы воспользовались методом с переменным параметром регуляризации а, а именно, с кусочно-постоянным а (см. вы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.