научная статья по теме ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ 3D УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ–СТОКСА НА ГЕКСАЭДРАЛЬНЫХ СЕТКАХ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ БАЗИСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ Математика

Текст научной статьи на тему «ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ 3D УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ–СТОКСА НА ГЕКСАЭДРАЛЬНЫХ СЕТКАХ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ БАЗИСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 3, с. 517-531

УДК 519.634

ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОСЕТОЧНОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ 3D УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА НА ГЕКСАЭДРАЛЬНЫХ СЕТКАХ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ БАЗИСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ1

© 2010 г. А. В. Волков

(140180Жуковский, М.о., ул. Жуковского, 1, ФГУП "ЦАГИ") e-mail: andrey.wolkov@mail.ru Поступила в редакцию 24.08.2009 г.

Метод Галеркина с разрывными базисными функциями высокого порядка адаптирован к решению стационарных пространственных уравнений Эйлера и Навье—Стокса на неструктурированных гексаэдральных сетках. В качестве итерационного метода решения используется гибридный многосеточный алгоритм, включающий конечно-элементную и сеточную стадии. Приводятся примеры расчетов: невязкое обтекание сферы, вязкое течение внутри изогнутой трубки и турбулентное обтекание крыла. Результаты расчетов и вычислительные затраты сопоставлены с результатами, получаемыми методом конечного объема. Библ. 20. Фиг. 8. Табл. 2.

Ключевые слова: метод Галеркина с разрывными базисными функциями, многосеточный метод, схема высокого порядка точности, пространственные уравнения Эйри и Навье—Стокса, неструктурированные гексаэдральные сетки.

ВВЕДЕНИЕ

Для повышения точности численного расчета обтекания тел сложных геометрических форм необходимо использовать очень мелкие расчетные сетки. Убедительная демонстрация этого факта приводится в трудах известной конференции, посвященной прецизионному расчету сопротивления крейсерской конфигурации летательного аппарата "крыло + фюзеляж" (см. [1]). Здесь отмечается, что использование сеток с количеством ячеек порядка 20 миллионов оказывается недостаточным для приемлемой точности результатов. Можно предположить, что для достоверного расчета взлетно-посадочных конфигураций самолета с оценкой такой важной характеристики, как аэродинамическое качество, нужны сетки в сотню миллионов ячеек. Отметим, что известные промышленные коды расчета обтекания аэродинамических компоновок, такие как FLUENT и CFX, базируются на методе конечного объема (МКО) второго порядка точности по пространству и требуют значительных компьютерных ресурсов для решения подобных задач.

Известно, что пути снижения вычислительных затрат связаны как с проведением расчетов на сильно анизотропных адаптивных сетках, так и с использованием методов высокого порядка точности. Одним из перспективных подходов к аппроксимации является метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ, см. [2], [3]), или DGM в англоязычной литературе. Метод вызывает большой интерес вследствие своей общности, гибкости и ясной теоретической базы. Он обладает рядом достоинств по сравнению с МКО, в частности при расчетах на сильно анизотропных адаптивных сетках (см. [4]). На структурированных сетках РМГ использован в [5], а на тетраэдальных неструктурированных сетках применен в [6]. Разумеется, и другие методы высокого порядка точности могут быть использованы в качестве альтернативы МКО второго порядка точности. В [7] дан обзор различных подходов к аппроксимации высокого порядка.

Гексаэдральные расчетные сетки имеют очевидное преимущество по сравнению с сетками, образованными тетраэдрами, так как, обеспечивая то же самое покрытие расчетной области, сетки из гексаэдров имеют меньшее количество внутренних граней, что сокращает общее коли-

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00243а).

чество арифметических операций в расчете. Поэтому в настоящей работе РМГ с полиномиальными базисными функциями степени К< 3 адаптирован к решению уравнений Эйлера и Навье— Стокса именно на неструктурированных гексаэдральных сетках.

Отметим, что теоретический анализ (см. [3]) сходимости РМГ К-схемы к точному гладкому решению оценивает ее порядок точности в диапазоне от К + 1/2 до К + 1, в зависимости от типа сетки. Численные эксперименты в [2], [3], выполненные на последовательности вложенных сеток с ячейками произвольной формы, демонстрируют, что решения по мере уменьшения характерного размера сеточных ячеек стремятся к аналитическому решению с оптимальным порядком К + 1. Поэтому мы называем схему (К = 3) схемой четвертого порядка точности.

Как в МКО, так и в РМГ расчет сложных задач связан с необходимостью решения систем уравнений с большим количеством неизвестных. Эффективный "решатель" является основой любого расчетного кода. Именно он и определяет успех тех или иных методов аппроксимации при решении практических задач. Основу реализованного в работе метода решения составил так называемый р-многосеточный метод. Традиционный многосеточный метод был предложен в [8] и получил широкое распространение. В методе конечного элемента (МКЭ) и, в частности, в РМГ высокая фактическая точность достигается за счет увеличения числа линейно независимых полиномов (базисных функций) в ячейке с соответствующим сокращением общего числа степеней свободы задачи по сравнению с МКО. Поэтому в последнее время философия построения многосеточного метода была пересмотрена (см. [9]). В [10]—[12] метод адаптирован для использования в МКЭ для многочленов высоких степеней К > 1.

В этом новом подходе, получившем название р-многосеточного метода, задача решается на фиксированной сетке, но с использованием различного набора базисных функций. Латинская буквар отражает теперь полиномиальный характер метода, а традиционный многосеточный метод на последовательности укрупняющихся сеток с недавнего времени предваряется буквой к.

В настоящей работе р-многосеточный метод впервые применен для решения пространственных уравнений Эйлера и Навье—Стокса на неструктурированных гексаэдральных сетках. На примере решения модельных задач проведено тестирование порядка точности разработанного алгоритма и дана оценка компьютерных ресурсов. Рассмотрены задачи о невязком обтекании сферы, пространственном вязком течении внутри изогнутой трубки и турбулентном обтекании изолированного крыла. Полученные результаты сопоставлены с результатами промышленного кода из [16], основанного на методе конечного объема.

1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим систему уравнений Навье—Стокса, записанную в консервативной форме:

Щ^т- + V • (Г - Г V) = 8. (1.1)

д ?

Здесь и — вектор консервативных переменных и = (р, ри, рv, рw, рЕ); Г(и) — невязкий, а ^(и, VU) — вязкий потоки; 8 — источниковый член, возникающий при использовании модели турбулентности. Система уравнений (1.1) решается в трехмерной области с краевыми условиями, типичными для задач обтекания. Решение в каждой ячейке записывается в примитивных переменных О = (р, и, V, w, р). Давлениер и полная энергия Есвязаны уравнением состояния:

Р = (У - 1)р

Е - 1 ( и2 + V2 + ) . 2 .

Уравнения Навье—Стокса в примитивных переменных имеют вид

Г^ + V • (Г(и(О)) - ГДи(О), Vи)) - 8 = 0, (1.2)

о?

где матрица Г = ( —) есть якобиан преобразования от консервативных переменных к примитивным.

В РМГ в каждой ячейке сетки определяются локальные полиномиальные базисные функции Фу(х), линейная комбинация которых и определяет искомое решение в ячейке:

К

0 (г, X) = £ Оф/ X). (1.3)

1=1

Здесь иу(?) — вектор коэффициентов разложения, которые должны быть определены в процессе решения, Щ — количество базисных функций в ячейке, которое связано с максимальной степенью базисного полинома К следующим образом:

К = ( К + 1) ( К + 2)(К + 3).

1 6

Здесь использованы значения К = 0, 1, 2 и 3, что соответствует числу базисных функций Щ = = 1, 4, 10 и 20. Набор базисных функций имеет вид

Ф1 = (* - Хо) у о)" (г - ¿0 )У, 1= 1, 2, ..., К, 0 < а + в + у< К. (1.5)

н:<н[

Здесь х0, у0, z0 — некая внутренняя точка гексаэдра, а величины Нх, Ну, определяют размер ячейки вдоль соответствующих осей. Численные расчеты показали, что именно такая нормализация обеспечивает наилучшую фактическую точность и сходимость, особенно в случае решения задач вязкого обтекания на сетках с сильно вытянутыми ячейками.

Система сеточных уравнений для коэффициентов иу(?) из (1.3) получается в соответствии со стандартной процедурой метода конечного элемента Галеркина, в котором требуется ортогональность невязки (левой части системы (1.2)) каждой базисной функции, используемой в реконструкции решения. Требование ортогональности формулируется через условие равенства нулю интеграла от произведения решаемых уравнений на каждую из базисных функций фу(х) (/ = 1, 2, ..., Щ). После интегрирования по частям имеем

^ФГЪСШ = ф,(Г - Гу) • пйЪ + |Уф, • (Г - Гу)йО + |ф,8йО. (1.6)

О 2 О О

Здесь йЪ — элемент площади ячейки, п = (пх, пу, п) — внешняя нормаль, а йО — элемент объема ячейки.

Уравнение (1.6) состоит из объемных и поверхностных интегралов, вычисление которых требует знания величин потоков не только внутри, но и на границе ячейки. Однако здесь значения примитивных переменных терпят разрыв. Определение правил вычисления потоков на границах ячеек играет ключевую роль в построении схемы аппроксимации.

Как и в МКО, в РМГ величина невязкого потока на границе между двумя ячейками определяется в результате решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. В настоящей работе используется приближенная, линеаризованная методика решения задачи Римана по методу Роу (см. [13]):

Ггрань • П = 1 (Г' + Г*)• П - 1А (и" - и*).

Здесь верхние символы Ь и Я означают, что величины вычисляются, соответственно, с левой и правой стороны грани, а матрица А является матрицей Якоби невязкого потока:

А = д ( Г • п )

ди

Вязкие потоки определяются через градиенты примитивных переменных ^ = ^(0, УО), где

УО = ( —, —, —) , которые могут быть найдены путем непосредственного дифференцирова-

^дх ду д г'

ния формулы (1.3). Однако, как известно (см., например, [3]), такой способ вычисления градиентов приводит к потере аппроксимации. Поэтому в РМГ для вычисления вязких потоков гра-

диенты примитивных переменных также представляются в виде линейной комбинации базисных функций:

К/

(г, х) = £g,У.(Оф/X). (1.7)

' / = 1

Здесь I = 1, 2 и 3 соответствуют координатам х, у и г. В методе Галеркина тестовые функции являются базисными функциями. После умножения уравнения (1.7) на эти ф

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»