научная статья по теме ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ДИСКРЕТНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК Машиностроение

Текст научной статьи на тему «ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ДИСКРЕТНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 1, 2014

УДК 539.3

© 2014 г. Лопаницын Е.А., Фролов А.Б.

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ДИСКРЕТНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

Представлен алгоритм метода дискретного продолжения решения систем нелинейных алгебраических уравнений, описывающих стационарное поведение тонкостенных конструкций и имеющих на траектории своих решений предельные точки и точки бифуркации. Он предназначен для совместного применения с методом непрерывного продолжения с целью снижения погрешности численных процедур последнего. Его основанием является преобразование пространства аргументов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, которое строится с помощью собственных векторов матрицы Якоби, а вычислительной основой — метод Ньюто-на—Рафсона, реализованный в расширенном пространстве аргументов решения с учетом идеи их равноправия.

В рамках концепции сплошного тела математическая модель статического деформирования тонкостенных конструкций представляет собой краевую задачу для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Для их решения используется широкий спектр методов, в число которых входят методы конечных разностей, методы Бубнова и Релея—Ритца, метод конечных элементов и др. В результате их применения рассматриваемая задача сводится к системе алгебраических уравнений

Г(х, р) = 0, где Г = (/./л )т, х = (X!... х„ )т, 0 = (0...0 )т. (1)

Ее аргументы х1, ..., хп — обобщенные перемещения конструкции, которые являются либо узловыми перемещениями, либо коэффициентами разложения решения в обобщенный ряд Фурье, а параметр р описывает величину приложенной к конструкции внешней нагрузки. Решение этой системы дает зависимость обобщенных перемещений конструкции от величины приложенной нагрузки и при необходимости позволяет восстановить по ним деформации и напряжения в конструкции. При этом система уравнений (1) всегда имеет тривиальное решение, которое описывает начальное, не-нагруженное состояние конструкции.

Если изначально рассматривалась нелинейная задача деформирования конструкции, то система уравнений (1) тоже является нелинейной. В этом случае зависимость между перемещениями конструкции и приложенной к ней нагрузки, которую принято называть траекторией решений (рис. 1), становится неоднозначной в силу того, что такая постановка задачи, кроме привычного статического деформирования конструкции, описывает еще и потерю ею устойчивости и ее существенно нелинейное закрити-ческое поведение. Потеря конструкцией устойчивости может происходить как в виде прощелкивания, так и в виде эйлеровой потери устойчивости. В первом случае на тра-

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 1. Траектория решений задачи деформирования пологой шарнирно опертой арки: 1 — основная ветвь,

2 — бифуркационная ветвь, 3 — предельная точка, 4 — точка бифуркации Рис. 2. Траектория решений системы нелинейных алгебраических уравнений в повернутом пространстве

ектории решений присутствует предельная по нагрузке особая точка, а во втором — точка бифуркации (рис. 1). В этих точках матрица Якоби

системы уравнений (1), являющаяся в силу физической сущности исходной задачи симметричной, вырождается, а в их окрестности становится плохо обусловленной, что не позволяет применять традиционные способы решения таких систем.

Перечень публикаций по методам решения систем нелинейных алгебраических уравнений с такими особенностями довольно обширен (например, обзоры в [1—3]). Все эти методы можно разделить на три основные группы. К первой группе относятся методы, в основу которых положена идея метода установления. В частности, это метод дополнительной вязкости [3], базирующийся на методах решения задачи Коши. Основу второй группы методов составляет метод дискретного продолжения по параметру [1, 2]. Его основой является идея равноправия аргументов решения и метод Ньюто-на—Рафсона, для которого начальное приближение ищется в виде решения линеаризованных уравнений системы (1). Третья группа методов основана на идее метода непрерывного продолжения с применением оптимального, как это было доказано в [1, 4], параметра продолжения — длины дуги траектории решений. Вычислительная основа данного подхода [1] — методы решения задачи Коши, эквивалентной исходной системе нелинейных алгебраических уравнений (arc-length method). Все эти подходы имеют общие недостатки, которые состоят в невозможности перехода с основной ветви траектории решений на бифуркационную ветвь без применения дополнительных приемов, а также в невозможности определения местоположения точки бифуркации с заданной точностью.

аргументов

Г

\

(2)

С целью устранения этих недостатков в [5] был сформирован способ решения систем уравнений (1) на основе совместного применения методов непрерывного и дискретного продолжения, алгоритмы которых базировались на идее представления вектора продолжения решения в виде разложения по собственным векторам матрицы Якоби (2) [6]. С использованием оптимального параметра продолжения в виде длины дуги траектории решений такой алгоритм метода непрерывного продолжения опубликован в [7].

Предлагаемый алгоритм метода дискретного продолжения используется для уменьшения накапливающейся погрешности численного решения задачи Коши при реализации метода непрерывного продолжения. Их совместное применение позволяет строить как устойчивые, так и неустойчивые ветви траектории решения системы нелинейных алгебраических уравнений, определять координаты точек бифуркации с наперед заданной погрешностью и продолжать решение по любой выбранной ветви, выходящей из них.

В соответствии с идеей равноправия аргументов решение системы уравнений (1) ищем в параметрической форме х = х(Х), р = р(Х), где X — оптимальный параметр продолжения решения — длина дуги траектории решений в декартовом пространстве {х1, ..., хи, р} с метрикой

йХ2 = ||йх||2 + йр1. (3)

С этой целью для системы уравнений (1) записываем эквивалентную задачу Коши в неявной форме

(I Ь )(*) = 0, х( 0) = 0, р (0) = 0 (4)

и систему уравнений метода Ньютона—Рафсона 'А х

(J b

VA ; = -f• ()

\ApJ

Здесь x = dx/dX, p = dp/dX, b = df/dp = (f1 p...fn р)т, а нулевые начальные условия соответствуют начальному, ненагруженному состоянию объекта.

Решение задачи Коши (4) строится численно и по необходимости через некоторое число шагов уточняется с помощью метода Ньютона—Рафсона (5). С этой целью на каждом шаге по параметру X, уравнения задачи Коши (4) должны однозначно приводиться к нормальней форме

x = ф (x, p), p = y(x, p), (6)

а невязки решения Ax и Ap должны однозначно определяться из уравнений метода Ньютона—Рафсона (5). Для этого решение уравнений (4) подчиняется условию (3), которое в дифференциальной форме записывается в виде

11ф11 2 + V2 = 1, (7)

а направление отыскания невязок уравнений (5) определяется соотношением

фтА x + vAp = 0, (8)

которое означает поиск невязок в рассматриваемой точке расширенного пространства аргументов |х1, ..., xn, p} в плоскости перпендикулярной траектории решений системы уравнений (1) [1]. При этом сами решения ищутся в виде разложения по собственным векторам матрицы Якоби (2)

Ф = Za, Ax = Z Ac, (9)

где ^ = ZП, Z = ...гп), П = diag(ю1; ..., юп).

(10)

Собственные векторы задачи (10) всегда ортогональны, ее собственные значения, являющиеся действительными числами, в предельных точках и в точках бифуркации обнуляются. Причем в каждой предельной точке и в каждой простой точке бифуркации обнуляется только одно ее собственное значение.

Представление решения в виде (9) означает поворот пространства аргументов решения {х1, ..., хп, р} системы уравнений (1) в пространство {уь ..., уп, р}. Это позволяет записать уравнения (4), (5) и условия (7), (8) в виде

(П я)

(П я)

= 0,

щ

А с

Ар

2 2 т

||а|| + щ = 1, я = Zb,

а А с + щАр = 0,

= ^Г

и получить их аналитическое решение

а1 = (Ю;8) (' = 1, .••, п), щ = 1/8, 8

1+

X(1к/®к) 2

к = 1

1/2

Ас, = -

(

V - % X (' = 1-' п), АР = -72 X

(11)

1 ^ &кЧк 2-.

8 к = 1 ®к ] 8 к = 1 ®к

Видно, что вычислительной основой представленного алгоритма являются численные методы решения задачи Коши для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и численные методы решения задачи на собственные значения для симметричных матриц. При этом существует возможность ограничиться решением частичной задачи на собственные значения. Это обусловлено тем, что при задании погрешности е вычисления правых частей соотношений (11), достаточно учитывать только те собственные векторы, чьи собственные значения по своему модулю не превышают наименьшее по модулю собственное значение в 1/е раз. При этом весь алгоритм продолжения решения строится следующим образом.

Зная в текущей точке траектории решений системы уравнений (1) необходимое количество собственных векторов и собственных значений ее матрицы Якоби (2) по формулам (11) вычисляются компоненты вектора продолжения или невязки метода Ньютона—Рафсона в повернутом пространстве аргументов. Далее они пересчитыва-ются по соотношениям (9) в исходное пространство реальных обобщенных перемещений, а затем с их помощью выполняется либо очередной шаг по траектории решений посредством численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (6), либо очередная итерация метода Ньютона—Рафсона (5).

Помимо того, что формулы (11) являются основой представленного алгоритма метода продолжения решения, они еще позволяют выполнить анализ поведения решения системы уравнений (1) в окрестности предельных точек и простых точек бифуркации. Такой анализ для алгоритма метода непрерывного продолжения сделан в [7]. Поэтому здесь ограничимся анализом только алгоритма метода Ньютона—Рафсона.

Если на траектории решений встречается предельная точка (2 и 3 на рис. 2), то одно собственное значение ют (1 < т < п) матрицы Якоби обращается в нуль. Поэтому компоненты вектора Аc и невязка Ар не могут быть вычислены с помощью формул (11). Однако, принимая во внимание то, что компонента qm вектора q остается ненулевой [7] и, выделяя т-ю компоненту вектора Аc в отдельное рассмотрение,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком