научная статья по теме ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТОКОВ К ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ, ИМЕЮЩЕМ ИЗЛОМЫ ГРАНИЦЫ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТОКОВ К ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ, ИМЕЮЩЕМ ИЗЛОМЫ ГРАНИЦЫ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 5, с. 429-436

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^

И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

УДК 534.23:537.874.6

ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТОКОВ К ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ, ИМЕЮЩЕМ ИЗЛОМЫ ГРАНИЦЫ

© 2014 г. С. А. Маненков

Московский технический университет связи и информатики Российская Федерация, 111024, Москва, ул. Авиамоторная, 8а E-mail: mail44471@mail.ru Поступила в редакцию 25.09.2013 г.

Предложен новый вариант модифицированного метода вспомогательных токов для решения векторной задачи дифракции на импедансном теле вращения. Показано, что разработанный подход позволяет строить эффективные алгоритмы решения данной задачи для тел вращения различной формы, в том числе для рассеивателей, имеющих изломы границы. Приведены численные результаты для тел с различной геометрией, и продемонстрирована высокая точность полученных результатов.

DOI: 10.7868/S0033849414050052

ВВЕДЕНИЕ

Метод вспомогательных источников для решения задач дифракции волн описан в работах [1—12]. Одной из версий этого метода является модифицированный метод вспомогательных токов (ММВТ), предложенный в работе [4]. В рамках этого метода вспомогательную поверхность, на которой распределен неизвестный ток, выбирают при помощи аналитической деформации границы рассеивателя. Как правило, для решения задачи дифракции при помощи ММВТ использовали грубую кусочно-постоянную аппроксимацию ядра интегрального уравнения, т.е. задачу решали при помощи модифицированного метода дискретных источников (ММДИ) [5—12].

Ранее при использовании ММВТ или ММДИ вспомогательную поверхность выбирали в сферической (либо полярной) системе координат. В работах [11, 12] предложена модификация ММДИ для решения задачи дифракции на сильно вытянутых и сильно сплюснутых телах, а также на телах тороидальной формы. В указанных работах вспомогательную поверхность выбирали в сфероидальных и тороидальных координатах, т.е. решение задачи построено в подходящей системе координат. В предлагаемой работе данный подход распространен на тела, имеющие изломы границы, такие как полусфера, конус и т.д. Для решения задачи использовались ортогональные координаты, в которых граница рассеивателя является координатной поверхностью. Для получения данных координат использовалось конформное отображение единичной окружности на контур осевого сечения тела. В определенных таким образом координатах введена комплексная переменная, что

позволило осуществить выбор как поверхности, на которой поставлено граничное условие задачи, так и поверхности, являющейся носителем вспомогательных источников.

Предлагаемая модификация ММВТ или ММДИ близка к методу адаптивной коллокации, предложенному в работах [13, 14]. Данный метод применим в том случае, если известно конформное отображение внешности единичного круга на внешность области, ограниченной контуром осевого сечения тела вращения. Существенным отличием метода адаптивной коллокации от ММВТ и ММДИ является, во-первых, использование базиса Рэлея для аппроксимации рассеянного волнового поля. В настоящей работе используется базис, состоящий из фундаментальных решений уравнений Максвелла. Во-вторых, ММВТ и ММДИ применимы и в том случае, когда поверхность тела не совпадает с координатной поверхностью выбранной системы координат (см. [5—12]).

При решении при помощи ММВТ или ММДИ векторных задач дифракции на телах, имеющих изломы границы, исходная краевая задача сводится к системе интегральных уравнений, ядра которых являются быстро меняющимися функциями координат. Данное обстоятельство обусловлено тем, что в рассматриваемом случае вспомогательная поверхность располагается на очень малом расстоянии от поверхности тела, в результате чего расстояние между точкой наблюдения и точкой источника с близкими номерами будет также малым. В связи с этим представляет интерес сравнить ММВТ и ММДИ применительно к задаче рассеяния на теле вращения, имеющем изломы границы, т.е. выяснить насколько кусочно-по-

стоянная аппроксимация ядра интегрального оператора является достаточной для получения приемлемых по точности результатов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЩАЯ СХЕМА ЕЕ РЕШЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ММВТ

Рассмотрим математическую постановку задачи. Пусть имеется тело вращения, ограниченное поверхностью S. Выберем систему координат так, чтобы ось г совпадала с осью вращения тела. Будем предполагать, что на поверхности рассеива-теля выполнено импедансное краевое условие

п х Е = х (п х Д], (1)

где Е = Е° + Е1, Й = Й0 + Й1, причем Е0, Й0 и Е\

Й1 — соответственно первичное и вторичное электромагнитные поля, п — внешняя нормаль к поверхности S, Z — поверхностный импеданс. В качестве первичного поля рассмотрим плоскую волну

E = p0 exp(-ikr(sin 90 sin 9 cos^ - ф0) +

(2)

+ cos 90 cos 9)),

где p0 — вектор поляризации, к = — волно-

вое число, ю — круговая частота, s и ц — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, 0 0, ф0 — углы падения волны. Вторичное (рассеянное) поле всюду вне области, занимаемой телом, удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла:

Vx E1 =-ikZH1, Vx H1 = 'Z-E1, (3)

где Z = sl^/s — волновое сопротивление. Кроме того, вторичное поле удовлетворяет условию излучения на бесконечности:

(E" Г)H'=» (1),

(H ■, r) - z г ■=»(1), r

(4)

В соответствии с ММВТ представим рассеянное поле вне области, занимаемой телом, в виде [7-12]

E1 = |É(F, rJ)da, H1 = J]H(r, )J(rs)da, (5)

где

É(r, Js) = -iqV x V x (Jfi)G(K Ю), w, Js) = kVx (()G(r, rs)),

G = exp(-ikR), R = IF - tí. 4nkR 1 1

(6) (7)

В формулах (5) и (6) Ё и II — матричные функции Грина (электрического и магнитного типов) для исследуемой задачи, 2 — вспомогательная поверхность, расположенная внутри поверхности S,

7 — неизвестный ток, распределенный на поверхности 2, й а — элемент площади поверхности Е. Подставив (5) вместе с падающим полем в граничное условие (1) на поверхности тела, получим следующее интегральное уравнение:

(

n X

j"É(r,r2,)J(r2,)da-Zn x n x jH(r,r1)J(rL)da

= - n x E0 + Zn x (n x H0),

(8)

где г е S. Основной момент при решении задачи дифракции при помощи ММВТ — выбор вспомогательной поверхности 2, являющейся носителем неизвестного тока. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

2. ВЫБОР ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В РАЗЛИЧНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Предположим вначале, что поверхность S задана в сферических координатах:

х = r sin 9 cos ф, y = r sin 9 sin ф,

(9)

z = r cos 9,

где r = r(0) и 0 e [0, п]. Тогда уравнения вспомогательной поверхности в сферической системе координат имеют следующий вид [7—10]:

rx =13, 0х = arg 3 (10)

S(0) = r(0 + /5)exp(/0 - 5),

где 8 — положительный параметр, определяющий степень деформации исходной поверхности тела. Для нахождения декартовых координат точки на вспомогательной поверхности используем формулы

х2 = Im 2,cos ф, y2 = Im 2, sin ф, z2 = Re 2,, (11)

причем 2, = z s + ¿Pe, где p2 и z 2 — цилиндрические координаты точки на вспомогательной поверхности.

Пусть далее поверхность тела задана в вытянутых сфероидальных координатах:

х = f sh a sin р cos ф, y = f sh а sin p sin ф,

(12)

z = f ch a cos p, причем уравнение поверхности S имеет вид а = а(Р), где р е [0, п]. Тогда вспомогательная поверхность определяется соотношениями [11, 12]

а2 = Re п, р2 = Im г|(р) = а(Р + iS) + i(P + iS),

(13)

L

где (а2, р2,ф) — сфероидальные координаты "образа" точки с координатами (а, р, ф) на исходной поверхности. Для получения декартовых координат точки на вспомогательной поверхности нужно вновь использовать формулы (11), в которых в данном случае 2,(р) = /сЬг|(Р).

Приведенные выше способы построения вспомогательной поверхности можно обобщить. Рассмотрим в качестве примера задачу дифракции на вытянутом сфероиде, поверхность которого совпадает с координатной поверхностью а = а 0 в сфероидальных координатах. Очевидно, что отображение /

2(г) = /Лг|(Р) = ^[ехр(а + /р) + exp(-a - /р)] представляет собой конформное отображение внешности единичной окружности в плоскости переменной г = ехр(п) = exp(a + /р) на внешность отрезка [-/, /] в плоскости £, (предполагаем, что Ре [0,2п], а > 0). При этом эллипс а = а 0 в плоскости £, отображается в окружность радиусом exp(a0) в плоскости I. Как следует из формулы (13), в рассматриваемом случае в качестве вспомогательной поверхности £ необходимо взять координатную поверхность а = а0 - 5, где 0 < 5 < а0.

Пусть далее известно конформное отображение %(/) внешности единичного круга в плоскости г = exp(a + /р) (ре [0,2п], а> 0) на внешность контура осевого сечения некоторого тела вращения (граница которого имеет изломы) в плоскости £,. Для упрощения записи не будем вводить новые обозначения для переменных а и р. Подчеркнем, что эти величины не связаны со сфероидальными координатами, описанными выше. Тройку чисел (а, р, ф) можно рассматривать в качестве ортогональных координат вращения. В выбранных координатах поверхность тела S описывается уравнением а = 0. При этом особенности волнового поля расположены на поверхности рассеивателя. Для применения ММВТ необходимо, чтобы особенности рассеянного волнового поля располагались внутри поверхности тела, причем вспомогательная поверхность £ должна охватывать эти особенности [4]. Чтобы преодолеть эту трудность, можно аппроксимировать поверхность 3 при помощи координатной поверхности, у которой координата а = а0 <§ 1. При такой аппроксимации контур осевого сечения полученного тела не будет иметь особенностей (они будут располагаться внутри контура сечения "нового" рассеивателя), т.е. будет гладким. Заметим, что формула (13), которая позволяет определить ортогональные координаты (а 2, р2, ф) точки на вспомогательной поверхности, остается в силе, а зависимость, связывающая переменные £, и п (или £, и 0, будет отличаться от соответствующей зависимости для случая сфероидальных координат. В

качестве поверхности £, в соответствии с формулой (13), необходимо взять координатную поверхность, у которой а = а0 - 5 (0 <5< а 0).

Подчеркнем, что в отличие от задачи рассеяния на сфероиде при анализе дифракции на теле, имеющем изломы, имеем

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком