ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2011, том 110, № 4, с. 603-612
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
УДК 535.36
ПРИМЕНЕНИЕ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ СВЕТА НЕСФЕРИЧЕСКИМИ ЧАСТИЦАМИ: МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ © 2011 г. В. Г. Фарафонов
Государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: far@aanet.ru Поступила в редакцию 16.11.2010 г.
Предложен метод разделения переменных (SVM)b сфероидальном базисе, в рамках которого поля представляются в виде разложений по волновым сфероидальным функциям. Проведенный ранее анализ разных методов со сферическим базисом показал, что SVM имеет более широкую область применимости при численной реализации, а предлагаемый подход со сфероидальным базисом дает надежные результаты для сфероидов с высокой степенью асферичности, для которых другие методы и подходы не пригодны. Важно, что при соответствующем предельном переходе рассматриваемый метод идентичен SVM со сферическим базисом. Таким образом, предлагаемый метод имеет все шансы оказаться высокоэффективным при расчетах оптических характеристик различных несферических частиц в широком диапазоне значений параметров задачи.
1. ВВЕДЕНИЕ
Многие практические задачи оптики атмосферы и океана, экологии, биофизики и других областей науки и техники требуют учета эффектов, возникающих при рассеянии света отдельными частицами и их ансамблями. Реальные частицы, как правило, имеют несферическую форму, что заметно меняет их оптические свойства по сравнению с эквиобъемными шарами [1, 2]. В настоящее время проблема рассеяния света несферическими частицами наиболее часто исследуется с помощью методов, использующих в качестве базиса для разложения полей волновые сферические функции [3—5]. К этой группе в первую очередь можно отнести метод разделения переменных (Séparation of Variables Method, SVM), метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, EBCM) и метод поточечной сшивки (Point-Matching Method, PMM). Метод SVM с разложением полей по сферическим и сфероидальным функциям применялся в основном для рассмотрения рассеяния света шарами и сфероидами соответственно (см., например, [3, 6]). Хотя метод оказался весьма эффективным, его приложения к частицам иных форм единичны и только при использовании сферического базиса (например, [7—9]). Метод EBCM с разложением полей по сферическим функциям применяется очень широко [3, 5]. Со сфероидальным базисом этот метод рассматривался лишь теоретически в работах [10, 11], и только в работе [12] данный вариант метода был непосредственно применен для сфероидов и чебышевских сфероидальных частиц (т.е. для возмущенных сферои-
дов) и показал высокую эффективность, особенно при больших отношениях полуосей. Метод РММ при использовании разложений по сферическим функциям рассматривался в статье [13] и оказался достаточно эффективным для сильно возмущенных чебышевских частиц. В целом анализ трех методов со сферическим базисом показал [9], что все они становятся неэффективными для сфероидов с отношением полуосей больше 5—10 и в общем случае для осесимметричных частиц с аналогичным отношением наибольшей протяженности к наименьшей. Тем не менее SVM показал себя лучше других методов, поскольку оказался практически применимым в самой широкой области изменения различных параметром. Таким образом, свойства методов SVM, ЕВ-СМ, РММ при использовании сферических функций и результаты малочисленных работ, в которых применялись сфероидальные функции, позволяют предсказать, что рассматриваемый метод ^"УМ) при использовании сфероидального базиса будет особенно эффективен (т.е. точен и быстр) для осесимметричных рассеивателей, форма которых существенно отличается от сферической (в смысле большого отношения наибольшей протяженности частицы к наименьшей), а также и от сфероидов.
В данной работе развивается "сфероидальная" версия SVM для решения проблемы рассеяния света несферической осесимметричной частицей. В разд. 2 формулируется проблема рассеяния света и описывается используемый общий подход к ее решению для осесимметричных частиц в сфероидальных координатах. В разд. 3 рассматрива-
ется метод разделения переменных, применяющий разложения полей по волновым сфероидальным функциям при решении проблемы. Изложение базируется на скалярных потенциалах, выбранных для определенных нами "осесим-метричной" и "неосесимметричной" частей падающего, рассеянного и внутреннего полей. Здесь же даются выражения для оптических характеристик частиц через коэффициенты разложения потенциалов рассеянного поля. В разд. 4 рассматриваются важный частный случай собственно сфероидальных частиц и не менее важный предельный случай перехода сфероидального базиса в сферический. В конце статьи приводятся заключительные выводы.
2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
Обозначим известное поле излучения, падающего на частицу, как Еш, Нш, неизвестное поле рассеянного излучения как Е8са, №са и поле излучения внутри частицы как Еш1, Нш1.
Проблема рассеяния света отдельной частицей в свободном пространстве может быть сформулирована следующим образом:
ДЕ8са + к2Е8са = 0, г е Я3 \Б,
ДЕ1п1 + к Е1п = 0, г е Б,
V • Е8са = 0, V • Е= 0,
(Е1п + Е8са) х п = Ем х п, г е 5, (( + И8са)х п = Нм х п, г е 5,
Нш Н^ - /к1Е"
дг
= 0,
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
Н
■V х Е.
(6)
осью симметрии частицы, можно было задать соотношениями [14]
х = | [(^2 - /)(1 -п2)] 0С8 ф У = й[(£2 -/)(1 -П2)]1/2«1пФ,
(7)
й у г = 2 и
где й — фокусное расстояние сфероидальных координатных поверхностей. Параметр / = 1 для вытянутых сфероидальных координат, при этом 2 е [1, да), пе [-1,1] и фе [0,2п), и / = -1 для сплюснутых сфероидальных координат, при этом [0,да).
Уравнение поверхности 5 осесимметричной частицы в выбранных сфероидальных координатах запишется как
(8)
при этом частицы должны быть звездными, т.е. радиус-вектор, проведенный в любую точку поверхности, не пересекает ее дважды.
Для понимания представленных формул и некоторых переходов между ними необходимо знание ряда соотношений, справедливых для любой сфероидальной системы координат. Поскольку некоторые из этих соотношений могут быть найдены в литературе лишь с большим трудом, мы приводим их ниже.
Единичный вектор нормали к любой поверхности в сфероидальной системе координат можно представить в виде
. _ щ-ш._1
\к 1)' (9)
где к = к1Л/бЦ — волновое число в рассматриваемой среде, комплексная диэлектрическая проницаемость е = е + гЧлст/ ю, к1 = ю/с — волновое число в вакууме, ю — частота излучения, с — скорость света, п — внешняя нормаль к поверхности 5 частицы, занимающей объем Б, г — радиус-вектор, г = | г|. Магнитные поля Нжа, Нш1 определяются по
Е8са т-аМ
, Е из
уравнений Максвелла
где 1 ^ Ц 1Ф — орты сфероидальной системы, а
2\1/2
Н =
АН 2 * ^1/2
й |Ч - /П
2 ^ - / Н =
у
й (Г - / п2 21 1 -п2
У
(10)
-/)(1 -п2)]1/2
являются ее метрическими коэффициентами, т.е. элемент длины равен
(й[)2 = к1(й$2 + Нп2(йп)2 + Н2(йф)2.
(11)
Единичными касательными векторами к поверхности частицы являются орты 1ф и
1
= 1п Х =
Введем сфероидальную систему координат (^П ф) таким образом, чтобы ее связь с декартовой системой (х, у, г), ось г которой совпадает с
к +
(12)
В дальнейшем потребуются скалярные произведения ортов 1п, 1т, 1ф системы координат, связан-
ной с поверхностью частицы, и векторов, определяющих скалярные потенциалы,
(i z, i n)
d /2
f. + ^n2 h
(iz, iт) _ r
V
n ? d/2
h2 + h2
n h -ад h
k'nn + k),
(13)
(r, i n) =
(d /2)2
fn + h
'2 h '2 2
%£ - f П%П
V
п J
(r, it) =
T ¡K + %п2 h
22
+ f n).
(14)
Кроме того, введем дополнительные обозначения д = (iz, i«Ж iт) - (iz, iт)(г, in) =
= -p = -K = - d d2 - f)(1 -П2),
(15)
(
\3
An = (iz, in) - (r, i„) =
дт дт
d/2
2 h2 П h у
: ((sn2 - f xs-Q -sn (s2 - fn2)) + (i z, ix),
(16)
а также
д = (1 „ у (г, 1 т)+а р I т) (г, 1 „). (17)
Элемент площади в сфероидальных координатах можно представить в виде
пй = 1^ 1, + 1 у + и | ^ (18)
где i,
системы координат (7), поэтому
ds = Л^ h^ + ^2 h.'d^p. Производная по нормали равна 1
dU = Vu • i =
V и 1„
on
и по касательной —
Ч dU hi dU
у h д2 n кц dn
dU дт
= VU ■ iT =
1 u. dU + dU
(19)
(20)
(21)
E — E a + E N ,
H = Ha + Н^,
где ЕА, НА не зависят от азимутального угла ф, а усреднение Ем, Н^ по этому углу дает нуль.
Осесимметричная и неосесимметричная части проблемы рассеяния света, т.е. определение ЕАса,
НБеа п 8еа тт^еа ■
а и Е^ , Н^ соответственно, могут быть решены независимо. Это следует из коммутативности оператора Т, соответствующего проблеме рассеяния, и оператора Ьг = 4—. Если воспользоваться
интегральной формулировкой задачи рассеяния, то оператор Т имеет вид
ТЕ = V х |п х Е(г ')<7(г, г 'а -
— V х V [п х (-1- V'х Е'(г'))<7(г,г')0$ ¡к1е 'п к
(23)
где штрих над оператором V означает, что он действует на штрихованные переменные. Равенство
(24)
TLZ = LZT
5(п,ф) 5(п,ф) 5(п,ф)
, i z есть орты соответствующей декартовой
Первая особенность нашего подхода состоит в том, что поля падающего, рассеянного и внутреннего излучений представляются в виде сумм [15]
(22)
легко доказывается интегрированием по частям по переменной ф' в левой части этого уравнения. При этом следует учесть независимость от азимутального угла уравнения поверхности частицы и метрических коэффициентов сфероидальной системы координат, а также соотношение dG(r, r ')/5ф' = -д G(r, r')/дф. Отметим, что внеин-тегральные члены, возникающие при интегрировании по частям, равны нулю в силу 2п -периодичности по переменной ф' всех функций, входящих в интегралы (23).
Коммутативность операторов T и Lz для осе-симметричных частиц означает, что задача рассеяния для них решается независимо для каждого слагаемого разложений векторов E и Н в ряд Фурье по азимутальному углу ф, т.е. в этом случае имеет место разделение относительно переменной ф.
Вторая особенность нашего подхода заключается в использовании скалярных потенциалов, специальным образом выбранных для каждой из частей.
Осесимметричная задача. В данном случае независимость полей от азимутального угла позволяе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.