Л и т е р а т у р а 2. Laser sheckle and related phenomena / Ed. J. Dainty.
Springer, 1975.
1. Стаселько Д. И. // Матер. 1-й Всесоюз. школы по голографии. — Л., 1971. — С. 466. Дата одобрения 22.03.2006 г.
519.6
Применение сглаживающих сплайнов и быстрого преобразования Фурье для построения периодических непрерывных аппроксимаций дискретных сигналов
О. А. КАЗАКОВ
Московский государственный технологический университет «Станкин»,
e-mail: lsoef@mail.ru
Предложен метод прореживания дискретных сигналов напряжения и тока электромагнитных систем переменного тока с помощью сглаживающих сплайнов и последующего использования быстрого преобразования Фурье для получения периодических непрерывных аппроксимирующих функций. Показано, что использование некоторых сплайнов можно рассматривать как метод сглаживания частотными окнами.
Ключевые слова: прореживание дискретных сигналов, гладкие аппроксимирующие функции, сплайн, локальные и нелокальные сплайны, быстрое преобразование Фурье, частотные окна.
The method of thin out of voltage and current discrete signals of electromagnetic systems of an alternating current using smoothing splines and Fast Fourier Transformation for constructing periodic differentiable approximations is proposed. It is shown that the application of some splines can be regarded as method of smoothing by frequency windows.
Key words: thin out of discrete signals, differentiable approximate function, spline, local and unlocal splines, Fast Fourier Transformation, frequency windows.
При обработке экспериментальных данных на ЭВМ поступающий на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП) непрерывный измеряемый сигнал Щ) преобразуется в дискретный сигнал f¡. Частота дискретизации АЦП МДцП (число значений ^ сигнала на интервале 2п, ю07"0 = 2п) зависит от точности представления чисел в преобразователе.
Построение гладких аппроксимаций функций входа и выхода часто может оказаться желательным или даже необходимым. Например, для идентификации динамических моделей некоторых систем, в частности, электромагнитных систем переменного тока. Реальные физические объекты таких систем, а также измерительных цепей имеют конечные размеры и, следовательно, должны обладать индуктивностью, емкостью и инерционностью по отношению к электромагнитным воздействиям. Поэтому функции напряжения и тока, а также шумы в измерительных цепях, по крайней мере, непрерывны.
Кроме того, для измерения тока и напряжения нередко используют соответствующие трансформаторы. При этом сигнал и2((), равный падению напряжения на сопротивлении R0 во вторичной измерительной цепи и поступающий на
АЦП ЭВМ измерительной системы, не пропорционален измеряемому сигналу, а связан с ним дифференциальным уравнением. В простейшем случае это уравнение первого порядка для трансформатора тока
M
dii(t) , L2 du2(t)
+ |1 + IU2(f) = 0
dt R0 dt \ R0 ^ и второго порядка для трансформатора напряжения
M2 - L2L1 d2u2(t)
MR) +r2) + LRl du2(t)
MRq
dt2
MRq
dt
Ri (Ro + R2)
MR
0
u2(t) =
dui(t) dt
где ¡1(1) — измеряемый ток для трансформатора тока; и1(1) — измеряемое напряжение для трансформатора напряжения; М — взаимная индуктивность обмоток трансформатора; R1, L1 и R2, L2 — сопротивления и индуктивности первичной и вторичной обмоток трансформатора напряжения или тока.
Нормальный (непереходный) режим работы электромагнитных систем переменного тока характеризуется 2п-пери-одическими или почти периодическими функциями входа и выхода (по аргументу х = ю0?, ю0 = 2п /Т0 — основная угловая частота, ? — время, Т0 — период ЭДС-источника).
Ниже рассмотрены методы построения 2п-периодичес-ких и непериодических гладких аппроксимирующих функций напряжения и тока электромагнитных систем с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ) и сглаживающих сплайнов, принадлежащих одному и тому же линейному евклидову функциональному пространству.
Будем считать, что начало отсчета х0 интервала 2п синхронизировано с сигналом
Для построения периодической аппроксимации дискретной функции и(п), п = 0, N, заданной на равномерной сетке разбиения интервала 2п, используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), в результате которого получают комплексные спектральные составляющие и (к) дискретных М-периодических сигналов и соответствующий им конечный ряд Фурье
N/2
u(x)=-Ш X U(k) exp(jkx), U(-k) = U(N-k) = U(k), (1)
k = 1-N/2
1
где j — мнимая единица, т. е. принадлежат (N + 1)-мерной линейной оболочке базисных функций {l, V2 cos kx,
V2sinkx, k=1, N/2} — линейному функциональному пространству E. Размерность пространства E2n dimE2n = N + 1 равна числу значений дискретной функции u(n) на интервале 2п и на единицу больше частоты дискретизации N сигнала. Чаще всего используют алгоритм БПФ, предложенный Кули и Тьюки с N = 2m, где m — целое число [1 — 4].
Численное вырождение дифференциальных базисов Крылова, используемых в предложенном методе структурной идентификации [1], накладывает ограничения на размерность пространства Е2п и связанную с ней при применении БПФ частоту дискретизации сигнала: для переменных типа «float» — N < 32, «double» — N < 128, «long double» — N < 1024. Частота дискретизации АЦП N может значительно превышать N, поэтому для получения «хорошей» 2п-периодической аппроксимирующей функции u(x) необхо-
димо проредить дискретный сигнал /;,, / = 0,Мацп , т. е. получить дискретную функцию и(п) с частотой дискретизации, удовлетворяющей этим ограничениям.
Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между значениями дискретной функции и(п) и ее комплексными спектральными составляющими и (к) в виде прямого и обратного БПФ, прореживание дискретного сигнала /;,,
/ = 0, Мдцп и сглаживание этого сигнала конечным рядом
Фурье (1) — 2п-периодической аппроксимирующей функцией и(х), являются решением одной той же задачи отыскания минимума функционала
^АЦП
Jo(u(x))= X Pi (u(x)- f )2 i=0
2n
МАЦП
J2 (u(x))= J[u"(x)]2 dx + X Pi (u(Xi)- f)
(3)
i = 0
где р. — вес значения /;,. Функционал (3) обеспечивает также минимальную изгибаемость аппроксимирующей функции и(х). Сглаживание (прореживание) позволяет использовать избыточность данных для фильтрации высокочастотного шума измерения.
Минимизация функционалов (2) или (3) конечным рядом Фурье (1) сводится к решению системы N+1 линейных алгебраических уравнений. Если шаг дискретизации сигнала I равен Л, = 2п/МАЦП, то матрица системы диагональная. Если Л, ф 2п/МАЦП, то в случае МАЦП >> N недиагональные элементы по сравнению с диагональными малы.
Если в системе протекает переходный или квазистационарный непериодический процесс, то непрерывная 2п-пе-риодическая аппроксимация не всегда приемлемо отображает характер процесса. Появление осцилляций Гиббса аппроксимирующей функции и(х) можно избежать, использовав аддитивное
u(x) = u.(x) + u0(x)
или мультипликативное
u(x) = ujx) + Uo(x)
(4)
(5)
(2)
представление с медленной функцией тренда иДх) или модулирующей функцией ит(х) и с 2п-периодической функцией и0(х), являющейся конечным рядом Фурье (1). Аддитивное представление (4), в котором функция и0(х) не имеет постоянной составляющей, а функция тренда играет роль медленно меняющейся «постоянной» составляющей, помогает проследить тенденцию изменения функции тренда на соседних скачущих интервалах 2п, например, при заряде емкостных накопителей периодической последовательностью импульсов. При анализе переходных и квазистационарных процессов удобнее использовать мультипликативное представление (5), в котором модулирующая функция играет роль медленно изменяющейся амплитуды действительной части аналитического сигнала ^(х) = и(х) + jH {и(х)} = = А(х^е[ехрО(х+ф(х))], где Н{ } — преобразование Гильберта; А(х), ф(х) — соответственно амплитуда и 2п-периодичес-кая фаза аналитического сигнала [6]. Применение аддитивного (4) или мультипликативного (5) представления аппроксимирующих функций и(х) особенно полезно, если функция и0(х) оказывается монохромной (синусоидальной) или почти монохромным рядом Фурье, коэффициенты которого быстро вырождаются при к ^ N/2.
Так как аппроксимирующие функции входа и выхода должны принадлежать одному и тому же функциональному пространству, в качестве функции тренда и((х) или модулирующей функции ит(х) лучше всего подходят линейные функции. При использовании экспонент нельзя построить аппроксимирующие функции входного и выходного сигналов независимо друг от друга, а применение полиномов второго и более высоких порядков может привести к тому, что даже в случае периодического сигнала функция тренда или модулирующая функция не будут вырождаться в постоянную функцию.
или
0
Аддитивные аппроксимирующие функции (4) принадлежат (М+2)-мерному функциональному пространству Е( — прямой сумме Е2п и линейной оболочки базисной
функции л/3 (х / п-1). Мультипликативные аппроксимирующие функции (5) принадлежат (2М+2)-мерному функциональному пространству Ет — прямой сумме Е( и линей-
гДе xo = 0, xn z
2п, x = nh, s. + 2s h + 3s h2 = s. „ 2s +
' n ' 1, n 2, n 3, n 1, n+1' 2, n
ной оболочки базисных функций
12k2 2k2n2+3
(x - n) cos kx,
12k2 2kV - 3
(x-n)sinkx, k = 1,N/2
Численное вырождение дифференциальных базисов Крылова накладывает на размерности пространств E, Em ограничения: при u(x) е Et такие же, как и при u(x) е Е2п, а при u(x) е Em для типа «float» — N < 16,«double» — N < б4, «long double» — N < 512.
Для минимизации функционалов (2) или (3) сглаживающими функциями (5) необходимо использовать итерационные методы.
Можно снизить затраты времени на вычисления, если для прореживания дискретного сигнала f. воспользоваться сглаживающим полиномиальным сплайном, коэффициенты которого связаны линейными соотношениями со значениями прореженной дискретной функции u(n) [7]. Задача построения сглаживающего сплайна сводится к отысканию минимума функционала (2) для линейного сплайна или (3) для сплайнов степени Ks > 2, в котором u(x.) являются значениями сглаживающего сплайна.
С помощью полученных значений прореженной дискретной функции u(n) вычисляют коэффициенты линейной функции тренда или модулирующей функци
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.