ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2013, том 40, № 2, с. 140-150
ГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
УДК 551.482.215
ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ФЛУКТУАЦИЙ ВЛАГОЗАПАСА ПОЧВЫ
© 2013 г. П. Ф. Демченко, Л. Д. Краснокутская
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер., д. 3 E-mail: pasha@ifaran.ru Поступила в редакцию 10.08.2011 г.
Рассмотрены вопросы применения методов современной теории броуновского движения к расчету флуктуаций влагозапаса почвы. Для нелинейной гидрологической модели формирования влагоза-паса на основе уравнения Ланжевена и обобщенных соотношений Ланжевена получены аналитические зависимости времени корреляции флуктуаций влагозапаса почвы и средней величины влагозапаса от параметров внешних стохастических и детерминированных воздействий. Исследовано изменение низкочастотной части спектра быстрых синоптических переменных (разности между осадками и испарением) вследствие взаимодействия с флуктуациями влагозапаса. Дано объяснение нового эффекта увеличения спектра в промежуточной области временных интервалов, расположенных между характерными временами — временем изменений синоптических флуктуаций и временем изменений флуктуаций влагозапаса почвы. На примере задачи определения нестационарного отклика средней величины влагозапаса почвы на флуктуации режима увлажнения показаны возможности нового аппарата статистической физики — флуктуационных теорем.
Ключевые слова: влагозапас почвы, уравнение Ланжевена, флуктуации, корреляционные функции, спектр
Б01: 10.7868/80321059613020028
Динамико-стохастические модели применяются для решения ряда гидрологических задач, таких как моделирование режима колебаний речного стока, уровня проточных и бессточных водоемов, влагозапаса почвы и т.д. [7, 9, 12, 14—16]. В основе таких моделей лежат стохастические дифференциальные (разностные) уравнения со случайными возмущениями (силами) и/или коэффициентами. Если эти возмущения на временах изменения рассматриваемых переменных можно считать некоррелированными по времени, то для них принимается приближение дельта-коррелированного случайного процесса — белого шума [13].
Коэффициенты стохастических дифференциальных (разностных) уравнений обычно определяются в результате соответствующей обработки эмпирических данных наблюдений за процессами, включенными в модели. При этом нет гарантии, что значения этих коэффициентов будут сохраняться при возможных изменениях климата. Действительно, целый ряд эмпирических методик, успешно применявшихся в практике гидрометеорологических прогнозов в 1960—1970-х гг., стал давать неверные результаты в 1980-х гг. пред-
положительно ввиду глобального потепления [10]. Это вынуждает уделить более пристальное внимание возможным процедурам вывода стохастических дифференциальных уравнений для описания компонент гидрологического цикла и, в частности, использовать современные методы неравновесной статистической механики.
С точки зрения статистической механики стохастические дифференциальные уравнения с дельта-коррелированными по времени случайными силами представляют собой уравнения Ланжевена [4] для случайной эволюции набора медленных переменных Y (здесь и далее полужирными буквами без курсива обозначаются векторы, матрицы или операторы), взаимодействующих с более быстрыми X. При этом характерные времена тх и тг для каждой из подсистем переменных — быстрых и медленных — существенно разнесены (тх < тг). Тогда применяется процедура огрубленного описания только медленных переменных, на характерных временах эволюции медленных переменных быстрые задаются только их
статистикой, заданной при фиксированных в каждый момент времени I значениях У(1).
Если совместная система, описывающая изменения медленных У(1) и быстрых переменных Ха(0, состоит из следующих уравнений:
1У(1)
йг
IX¿$) йг
= и1 (Х(г), У (г)), ¡ = 1,..., мг, (1а) = иа (X (г), У (г)), а = 1,..., кх, (1б)
то в сжатом описании для любой функции переменных системы выделяются медленная, адаптированная в среднем к текущему состоянию У(?) часть и отклонение от нее F(X(t), У(0) = (^|У(?)) + + ^ — У(0)) = У(0) + SF(X(0, У(0) (угловые скобки здесь и далее означают операцию статистического осреднения по ансамблю реализаций). При этом термин "адаптированная в среднем" подразумевает процедуру осреднения только по быстрым переменным с заданной плотностью вероятности решения (1б) при фиксированном У = У(0, У) = Г В (X, У)р5 (X, У) IX.
щх
Остаток SF(X(í), У(?)) считается быстрофлуктуи-рующим случайным процессом. Для инерционных природных процессов применять такую процедуру к правым частям уравнений (1а) впервые предложил К. Хассельманн [24], трактуя 8и(?) как дельта-коррелированную по времени случайную силу. Это позволяет рассматривать уравнения (1а) как уравнения Ланжевена, математический аппарат для которых хорошо развит [4]. По К. Хас-сельману, медленные переменные называются климатическими, более быстрые - погодными.
В качестве такой климатической переменной в данной статье рассматривается влагозапас почвы Ж — количество влаги в столбе деятельного слоя почвы единичного сечения. Влагозапас - важный гидрологический компонент, существенно влияющий на формирование речного стока подземных запасов воды на водосборе. Характерное время релаксации влагозапаса (тЕ в формуле (10)) составляет несколько месяцев [12, 31], что существенно превышает характерное время синоптических флуктуаций гидрометеорологических процессов, формирующих влагозапас, равное нескольким суткам. Это обстоятельство дает основание для применения процедуры адаптации в среднем.
При моделировании изменения влагозапаса учитывалось, что уравнение, описывающее эти изменения, содержит нелинейность, обусловленную наличием или отсутствием поверхностного стока — в зависимости от режима увлажнения.
Вариации влагозапаса могут существенно влиять на атмосферные переменные, такие как при-
земные температура и влажность [18—21]. Ввиду того что последние, в свою очередь, влияют на вариации влагозапаса, в системе могут проявляться коллективные эффекты, приводящие к изменению спектров атмосферных переменных.
УРАВНЕНИЯ ЛАНЖЕВЕНА ДЛЯ ВЛАГОЗАПАСА ПОЧВЫ: ВЫВОД МЕТОДОМ ПРОЕКЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Один из современных методов получения уравнения Ланжевена для медленных переменных из исходной системы (1) базируется на методе проекционных операторов Х. Мори [27, 28]. В этом методе любая функция от решения задачи Коши для системы (1а)—(1б) записывается как функция от начальных значений переменных с помощью оператора эволюции М:
В(() = В (X (г ),у (г)) = егмВ(0),
М = иа
дХа
■и,
(2)
ду
В (2) после применения оператора ехр(?М) к F(X, У) следует положить (X, У) = (Х(0), У(0)), а операторную экспоненту рассчитывать путем формального разложения в ряд Тейлора.
В пространстве начальных состояний вводится проекционный оператор Мори Р:
РВ = Ц^У!^(X, У) 5(У - У (0)) (X| У) =
= (В | У (0), Р2 = Р.
(3)
Запись (3) в развернутом виде подчеркивает то, что операция (3) может быть определена для любого момента времени, так что
еМРГ (0) = е (В|У (0) = (В|У (г)).
(4)
При этом У(?) является точным решением исходной системы (1). К оператору Р вводится дополнительный проекционный оператор О = I — Р (I — единичный, тождественный оператор). О проецирут движение системы на дополнительное подпространство (РО = 0) отклонений от квазисредних значений переменных.
Далее применим к правой части (1а) Щ0) = = (ЩУ(0)) + §и(Х(0), У(0)) операторное тождество
Мори: ехр(?(А + В)) = ехр(?А) + техр[(г - т)](А + + В) Вехр(тА), положив А = ОМ, В = РМ. С уче-
том (4) окончательно получим так называемое обобщенное уравнение Ланжевена [27, 28]:
dY(t) dt
= (UjY (t )>
+
+ \dxe (-T)MPMe TQMSU (0) + etQMSU (0).
(5)
Разбиение правой части (1а), полученное тождественными преобразованиями, есть его перезапись в виде, удобном для применения аппроксимаций исходя из априорных знаний или предположений о поведении решений исходной системы (1а), (1б). Первое слагаемое — адаптированное к Y(t) квазистационарное (при фиксированном Y(t)) условное среднее значение скорости изменения медленных переменных.
Второе слагаемое в (5) — интеграл памяти — описывает вклад конечности времени запаздывания среднестатистической реакции быстрых переменных на изменения медленных, оно зависит от t и значений Y(т < 0, зависимость от X(0) в нем исчезает. Интеграл памяти имеет порядок тх/тг. При замене в интеграле памяти верхнего предела интегрирования на t = уравнение (5) переходит в уравнение Ланжевена, формально не содержащее запаздывание [28]:
^ = (U е | Y (t » + fY (t),
d-Wjr = -E (t ) + P (t ) - R (t ),
где E — испарение, P — осадки, R — поверхностный сток, t — время. Все величины, включая вла-гозапас (количество влаги, измеряемое высотой эквивалентного слоя воды), относятся к столбу деятельного слоя почвы единичного сечения.
Поскольку время изменений влагозапаса почвы т W существенно превышает время жизни индивидуальных погодных возмущений та, то используя (6а) и (6б) и пренебрегая обратной связью вла-гозапас—осадки, перепишем уравнение (7) в виде стохастического дифференциального уравнения:
= "<E\W(t)> + (P\W(t)) -
dt
(8)
- Я(?) + ДР(?) -ДЕ(?),
где AP(t) и АЕ(1) — отклонения текущих значений от квазисредних, задаваемых формулой (4).
В (8) отдельно выделены короткопериодные флуктуации притоков тепла к деятельному слою из-за синоптической изменчивости осадков и испарения: АЕ^) = АР(0 — АЕ(0. Для АЕ^) принимается приближение дельта-коррелированно-го случайного процесса с нулевым средним и корреляционной функцией
КР (?, ) = (Д^ (?) АЕЖ )) = 2Б№5 (? -1,). (9)
Для адаптированной в среднем к текущему состоянию Ж величины испарения примем пара-
(6а) метризацию М.И. Будыко [2]: {Е\Ш) = Е0 при
/у (t) = etQMSU(0), / (t)| Y(0) = 0,
(U e j Y (t) = (UjY (t) + J d x( M/y (t)|Y (t). (66)
0
Последнее слагаемое — случайная сила, среднее от которой при любой функции распределения вероятностей начальных значений вида р(0) = Py(Y(0))p^(X(0)|Y(0)) равно нулю (ps — стационарная плотность распределения быстрых переменных при фикси
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.