Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 5, с. 377-381
© 2015 г. 10 марта
Применение теории случайных матриц к описанию колебаний в
гранулярных средах
Я. М. Бельтюков^ Фпзпко-технпческпй институт им. Иоффе РАН, 194021 С.-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 16 января 2015 г.
Показано, что динамическая матрица М, описывающая гармонические колебания в гранулярных средах может быть представлена в виде М = ААТ, где строки матрицы А соответствуют степеням свободы отдельных гранул, а столбцы - упругим контактам между гранулами. Такое представление динамической матрицы позволяет оценить плотность колебательных состояний с помощью теории случайных матриц. Полученная плотность колебательных состояний примерно постоянна в широком диапазоне частот со- < со < со+, который определяется отношением числа степеней свободы к суммарному числу контактов в системе, что находится в хорошем согласии с результатами численных экспериментов.
БО!: 10.7868/80370274X15050124
Гранулярные среды повсеместно встречаются в природе, в промышленности и в повседневной жизни. Это различные эмульсии (микроскопические капли одной жидкости в другой несмешивающейся жидкости), коллоидные суспензии (твердые частицы в жидкости), пены и сыпучие среды, такие, как песок. Гранулярные среды демонстрируют богатый спектр явлений, который до сих пор остается малоизученным. Например, в зависимости от внешних факторов гранулярные среды могут течь наподобие жидкости или проявлять упругие свойства, как твердое тело.
Переход между твердой фазой, когда все гранулы касаются друг друга, и фазой свободных частиц в англоязычной литературе получил название jamming transition (от англ. traffic jam - пробка на дороге). Такой переход описывается простой моделью, когда рассматриваются N упругих гранул, заключенных в некоторый объем [1]. В этой модели самым важным параметром является отношение ф занимаемого гранулами объема ко всему доступному объему. Если ф велико и превышает некоторое критическое значение фс, то все гранулы касаются друг друга и все вместе образуют подобие твердого тела, чья структура может выдерживать конечные внешние нагрузки (рис.1). Для того чтобы система не кристаллизовалась, берется смесь гранул немного разного размера. Если же ф < фс, то гранулы перестают касаться друг друга и система ведет себя подобно газу. При ф = фс все гранулы касаются друг друга, но взаимодействие между ними отсутствует. В этой работе мы покажем, как теория случайных матриц позволяет
-^e-mail: ybelt.ukov@gmail.com
Рис. 1. Состояния гранулярной среды, (а) - Свободные частицы, ф < фс. (Ь) - Критическое состояние, ф = фс. (с) - Твердая фаза, ф > фс [2]
описать плотность колебательных состояний в твердой фазе, когда ф близко к критическому значению фс, но немного превосходит его.
Наибольший интерес представляет случай, когда гранулы являются сферическими и трение между ними отсутствует. Несмотря на кажущуюся простоту, этой модели достаточно для качественного описания перехода между фазой свободных частиц и твердой фазой. Математически такая модель описывается отталкивающим потенциалом между каждой парой касающихся друг друга гранул [1]:
и{Пз) ос (1 - гц/ац)1 , Гц < оц, ^
и(гц)= 0, Гц>(Тц.
Здесь гц - расстояние между центрами гранул г и j, а (7ц - сумма радиусов этих гранул. Показатель степени 7 зависит от типа взаимодействия между гранулами. Часто рассматривают гармонический потенциал (7 = 2) или потенциал Герца (7 = 5/2), который соответствует взаимодействию трехмерных упругих шаров. Поскольку мы рассматриваем сферические
гранулы без трения, вращательные степени свободы отдельных гранул роли не играют.
Введем параметр г - среднее координационное число, т.е. среднее число контактов каждой гранулы с соседними гранулами. Чем больше концентрация гранул ф, тем с большим числом своих соседей взаимодействует каждая гранула. В точке перехода ф = фс среднее число контактов определяется универсальной формулой: = 2с1, где с1 - размерность пространства, что связано с правилом подсчета связей Максвелла [2, 3].
При уменьшении среднего числа контактов г до критического значения 2с1 различные характеристики системы ведут себя степенным образом. Например, объемный модуль С и модуль сдвига В ведут себя как [2]
В ~ - -
С ~ (г - .
(2)
Нас же будет интересовать поведение плотности колебательных состояний д(из) в зависимости от частоты из. Численное моделирование показывает, что можно выделить два характерных участка частот: примерно постоянная плотность колебательных состояний в интервале из- < из < из+ и относительно небольшое число колебаний (или щель в спектре) при 0 < из < сО-. Чем ближе г к критическому значению 2с1, тем ближе из_ к 0. При критическом значении г = 2с1 плотность колебательных состояний д{из) примерно постоянна, начиная с нулевых частот. Простое теоретическое объяснение такого поведения плотности состояний вблизи порога устойчивости до сих пор отсутствует. Мы покажем, что теория случайных матриц может дать адекватную оценку плотности колебательных состояний в критической области.
Рассмотрим случай системы, близкой к критической, когда г > гс (ф > фс). В этом случае гранулы касаются соседних гранул, но вдавлены друг в друга незначительно. Тогда вблизи устойчивого положения равновесия суммарная потенциальная энергия раскладывается как [4]
и{ иь ....П\ Х!^ " • 2-
(¿Л
Здесь и; - смещение гранулы г от положения равновесия значок "(у)" под знаком суммы обозначает суммирование только по касающимся парам гранул г и п^- - единичный вектор вдоль на-
(0) (о)
правления, соединяющего центры гранул, г,- — г \ . За счет рассматриваемого отталкивающего потенциала все кц > 0. Для определенности мы будем считать, что общее число пар касающихся гранул равно
К = гN/2. Приведенные выше формулы верны для любой размерности пространства ¿.
Динамическая матрица М определяется через вторые производные от потенциальной энергии системы в положении равновесия:
1 д2и
Мга,ЛЗ —
(4)
^пцтз дщадщр'
где а и /3 означают проекции смещений гранул на декартовы координаты. Динамическая матрица имеет размер Nf х Nf, где Nf = N6 - число степеней свободы. При этом собственные числа динамической матрицы - это квадраты собственных частот рассматриваемой механической системы. Среди собственных частот имеются и тривиальные нулевые частоты, соответствующие поступательному и вращательному движению системы как целого.
Прежде чем рассмотреть общий случай взаимодействия многих частиц, рассмотрим наглядные случаи взаимодействия двух и трех частиц между собой без участия остальных частиц (рис. 2). Для двух час-
Рис. 2. Иллюстрация взаимодействия двух и трех частиц между собой
тиц (рис. 2а) потенциальная энергия выглядит как единственное слагаемое в формуле (3):
к ,
и{ иЬи2) = ^[(111 - 112 ) • п]~.
(5)
Именно такой энергией взаимодействия обладают две частицы, соединенные пружинкой с продольной жесткостью к. Соответствующую динамическую матрицу М (2с1х 2с1) можно записать в блочном виде:
М =
кп/т\ —кп/у/т^то,
—кп/ то кп/то
(6)
где через п обозначена матрица с1 х с1 с элементами пар = папр. Заметим, что такую динамическую матрицу можно представить в виде М = если
в качестве матрицы А взять матрицу 2с1 х 1:
А
у/крт.111 -\Jkjmi 11
(7)
Элементы матрицы А имеют размерность частоты и по своему значению соответствуют колебанию масс гп1 и то2 на пружинке с жесткостью к.
Для трех частиц, первая из которых касается второй, а вторая - третьей (рис. 2Ь), динамическая матрица 3(1 х 3(1 имеет вид
М
/ к12п12 то 1 -&12П-12
\
л/то-1 то2 О
л/ТО1ТО2 &12"-12 + &23"-23 ТО2 ~&23"-23 -у/то2тоз
О
~&23"-23 у/т2гпз ^23"-23 ТО3
\
/
(8)
Такая динамическая матрица также представляется в виде М = АЛ^, только теперь матрица А имеет 2 столбца в соответствии с двумя контактами и Зй строк в соответствии с Зй степенями свободы, присутствующими в системе:
А
( у/к 12/то1П12 О
-\А12/т2П12 л/к2з/'т2та.2з \ 0 - Л/к2з/тзП2з
(9)
Расстановка знаков "минус" имеет произвольный характер: каждый столбец матрицы А можно домно-жить на —1 без изменения динамической матрицы М.
В общем случае большого числа взаимодействующих гранул элементы динамической матрицы М имеют вид
М,
га,ЦЗ
« + 3,
Ь^! Ну
мгаЛЗ = ]Гм,
Зфг
га,ЦЗ-
(10) (11)
Действуя по аналогии с приведенными выше примерами, ее можно представить в виде М = АА^, где А - прямоугольная матрица Nf х К. Здесь, как и раньше, Nf = N(1 - число степеней свободы, а К = гЫ/2 - суммарное число пар взаимодействующих гранул. Элементы матрицы А имеют вид
\1 т, 1 1
(12)
где индекс р нумерует пары касающихся гранул, а через р\ и р2 обозначены номера гранул, входящих в пару под номером р. В результате каждой строчке матрицы А соответствует некоторая степень свободы, а каждому столбцу - некоторая пара взаимодействующих гранул. Кроме того, запись ААТ гарантирует устойчивость механической системы, т.к. матри-
ца М = ААТ всегда является положительно определенной для любой прямоугольной вещественной матрицы А [5].
Заметим, что собственные числа динамической матрицы М не изменяются при домножении матрицы А слева и справа на произвольные ортогональные матрицы и и V. Иными словами, матрица М = ЛЛТ имеет те же самые собственные числа, что и матрица М = если А = IIАУ. Ортогональные матрицы
II и V имеют размеры Nf х Nf и К хК соответственно. Для произвольных (т.е. случайных) ортогональных матриц и и V
(Щ) = (Уц) = 0,
Uij2
) = *3
ж.
^УзхтУзъг
<5П32
(13)
(14)
(15)
поскольку отдельно взятые столбец или строчка случайной ортогональной матрицы есть случайно ориентированный единичный вектор. Следовательно, элементы матрицы А обладают простыми свойствами:
ЙУ> = о, (Л2,-)
1
щк
У
(16)
Таким образом, все элементы матрицы А, вообще говоря, являются ненулевыми и имеют одинаковую дисперсию в отличие от сильно разреженной матрицы А, которая определяется взаимодействием только ближайших гранул. При этом, по определению, матрицы М = ААТ и М = ЛЛТ имеют одинаковый набор собственных значений. Отметим, что элементы матрицы А обладают некоторыми корреляциями. Однако для простот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.