УДК 524.6-327;524.6-34
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЗВЕЗД ЗОННЫХ КАТАЛОГОВ
© 2011 г. В. В. Витязев*, А. С. Цветков**
Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 22.06.2011 г.
Решается задача о проведении кинематического анализа трехмерного поля скоростей звезд зонных каталогов, то есть каталогов, в которых звезды представлены по всем прямым восхождениям в некоторых зонах склонения. Построена система векторных сферических функций, обладающих свойством полноты и ортогональности для выбранной зоны склонений. Предложен метод, позволяющий на основе анализа собственных движений и лучевых скоростей звезд в экваториальной системе координат проводить оценку параметров модели Огородникова—Милна в галактической системе координат. Показаны следующие преимущества векторных сферических функций перед стандартным подходом, основанным на непосредственном оценивании параметров конкретной модели методом наименьших квадратов. Во-первых, новый метод, в отличие от стандартного подхода, позволяет выявить все систематические компоненты поля скоростей независимо от какой-либо модели. Во-вторых, он позволяет избавиться от коррелированности искомых параметров, что при обычном методе представляет серьезную проблему в случае зонных каталогов. В-третьих, метод векторных сферических функций позволяет оценить кинематические параметры, как минимум, двумя способами. Сравнение этих двух решений дает возможность проверять соответствие стандартной кинематической модели наблюдательным данным. Разработанный метод был проверен на основе численных экспериментов и применен для кинематического анализа собственных движений звезд каталога Tycho-2 в южном полушарии, для которых возможно провести оценку параллаксов по данным каталога Tycho-2 Spectral Types.
Ключевые слова: собственные движения звезд, сферические функции, астрометрия, звездная кинематика.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время создание звездных астро-метрических каталогов осуществляется тремя способами. Первый опирается на выполнение измерений в космосе, второй — на результаты оптических наземных измерений, третий способ — это комбинация измерений, выполненных на инструментах космического и наземного базирования. Результатом этой деятельности явилось создание массовых звездных каталогов HIPPARCOS, Tycho-2, USAC-2, USNO, что дает качественно новый материал, в частности, для исследования кинематики звезд Галактики. Запланированные в будущих космических проектах (GAIA1 ) измерения высокоточных параллаксов, собственных движений и лучевых скоростей для многих сотен миллионов звезд являются мотивацией для разработки новых методов кинематического анализа звезд. Этому
Электронный адрес: vityazev@list.ru Электронный адрес: A.S.Tsvetkov@inbox.ru
1 http://www.rssd.esa.int/Gaia
требованию отвечают работы Витязева, Шуксто-ва (2005), Витязева, Цветкова (2009), посвященные применению векторных сферических функций (ВСФ) к задачам звездной кинематики. Особенно хорошо аппарат векторных сферических функций подходит для анализа нынешних и будущих каталогов, содержащих все три компоненты вектора скорости — собственные движения по обеим координатам и лучевую скорость. Использование ВСФ позволяет выявить все систематические составляющие в поле скоростей звезд, не привязываясь к конкретной физической модели. Сопоставление коэффициентов разложения определенной кинематической модели с наблюдательными данными может выявить наличие систематических компонент, не описываемых данной моделью. В работе Витязева, Цветкова (2009) показано, что в собственных движениях и лучевых скоростях звезд каталога HIPPARCOS имеются систематические компоненты, которые не могут быть интерпретированы в рамках линейной модели Огородникова— Милна. К аналогичным результатам (на основе только анализа собственных движений звезд ка-
талога HIPPARCOS) пришли и Макаров, Мерфи (2007).
Как известно, измерения, произведенные в космосе на борту аппарата HIPPARCOS, в сочетании с результатами наземных наблюдений позволили создать каталог Tycho-2 (Хёг и др., 2000), который содержит координаты и собственные движения 2.5 млн. звезд, но не содержит информацию о расстояниях до звезд. В работе Попова и др. (2006) для 137 тысяч звезд каталога Tycho-2 были получены спектральные параллаксы звезд на основе астрофизических данных, взятых из каталога Spectral Type Catalogue (Райт и др., 2003). Сравнение спектральных параллаксов с тригонометрическими параллаксами 53 тыс. звезд, измеренными на спутнике HIPPARCOS, показало, что точность полученных спектральных параллаксов составляет от 1 до 5 мсек. дуги в зависимости от спектрального класса звезды. Такая точность вполне приемлема для проведения кинематических исследований.
К сожалению, каталог Tycho-2 Spectral Types содержит информацию о двумерной спектральной классификации звезд преимущественно для звезд южной полусферы экваториальной системы координат. Это обстоятельство не позволяет произвести оценки расстояний до звезд каталога Tycho-2 на всей сфере. Каталог, содержащий информацию только для звезд одного полушария небесной сферы, является частным случаем так называемых зонных каталогов, то есть каталогов, в которых звезды представлены по всем прямым восхождениям в некоторых зонах склонения. Зонные каталоги появляются закономерно, если наземные наблюдения ведутся либо на одном инструменте, либо на группе инструментов, расположенных только в одном из полушарий Земли. Такая ситуация была типичной для классической астрометрии. Так как массовые астрометрические каталоги создаются путем объединения результатов наблюдений, выполненных на Земле и в космосе, то и современные каталоги могут быть зонными. С такой ситуацией мы и столкнулись на примере каталога Tycho-2 Spectral Types.
Настоящая работа посвящена адаптации метода ВСФ к данному конкретному случаю на основе решения новой задачи о проведении кинематического анализа трехмерного поля скоростей звезд зонных каталогов. В начале статьи показан способ построения системы векторных сферических функций, обладающих свойством полноты и ортогональности для произвольной зоны склонений. После этого описывается метод вычисления параметров модели Огородникова—Милна, относящихся к галактической системе координат, на основе разложения по системе зонных ВСФ собственных движений звезд
и лучевых скоростей в южном полушарии экваториальной системы координат. Далее показывается, что зонные сферические функции предоставляют возможность получать оценки параметров, как минимум, основным и альтернативным способами. Сравнение основного и альтернативного решений позволяет проверять соответствие стандартной кинематической модели наблюдательным данным. Разработанный метод был проверен на основе численных экспериментов и применен для кинематического анализа тех собственных движений звезд каталога Tycho-2 в южном полушарии, для которых возможно провести оценку параллакса по данным каталога Tycho-2 Spectral Types.
ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ЗОННОГО КАТАЛОГА
Векторные сферические функции обычно определяются для всех точек сферы, где они обладают свойствами ортогональности и полноты (Арф-кен, 1970). Как было сказано выше, в астрометрии нередки случаи, когда измерения проводятся только в некоторой зоне склонений. В подобных случаях можно также ввести полную систему ортогональных функций. Пусть данные некоторого зонного каталога принадлежат следующей области небесной сферы:
Z =
0 < а < 2п,
§min < § < ¿max •
Введем преобразование
5 = arcsin
2 sin § s2 + s1
S2 - Si S2 - Si
которое при
S1 = sin §n
(1)
(2)
(3)
(4)
S2 = Sin ámax
переводит всю сферу на область Z.
Рассмотрим в касательной плоскости к сфере систему взаимно ортогональных ортов ea, e¿, er соответственно в направлениях изменения прямых восхождений, склонений и луча зрения. Используя определения векторных сферических функций, данные в (Арфкен, 1970), введем радиальные Vnkp(a, S), тороидальные Tnkp(a, S) и сфероидальные Snkp(a, S) векторные сферические функции посредством следующих соотношений:
Vnkp = Кпкр(а, 5)(
Тпкр — Тпкреа + Тпк e¿ — ——
л/и(и + 1)
(5)
(6)
r
X
( дКпкр{а,5) 1 дКпкр/(а,5)
X | ^ Gry ^ _
\ дб
cos ö da
Snkp — Snkpea + Snkpe&
sjn(n + 1)
X (7)
, 1 dKnkp(a,ö) dKnkp(a,ö) \ x | -----ea H--—-ег .
cos
Ö da
д ö
Здесь через Кпкр обозначены сферические функции, для которых мы будем использовать следующее представление:
(8)
Кпкр(а, <5) =
{Рп,о(5), к = 0, р = 1; = ^^п^ \ Рпк(¿) вт ка, к = 0, р = 0; [ Рпк(5)со8 ка, к = 0, р = 1,
д^^ШГА» *>* ,9,
» 1 1, к = 0.
В этих формулах через Рпк (¿) обозначены соответственно полиномы Лежандра (при к = 0) и присоединенные функции Лежандра при к > 0. Явный вид формул для вычисления Рпк (¿) и компонентов Тпкр и Бпкр приведены в работе Витязева, Цветко-ва (2009).
Наши функции удовлетворяют следующим соотношениям:
Ц(\г ■ V-) йш = Л (Т ■ Т,-) йш = (10)
(Si • Sj) dw
0, i = j; 1, i — j;
УУ (Vi • Tj) dw — УУ (Vi • Sj) dw —
Z
(Si • Tj) dw — 0, yi,j, jj (Ti • Tj) dw —
Z
2n ¿max
— f da j (та (a, Ö)Ta(a,ö) +
(11)
где, например,
В этих формулах через i и j обозначены различные наборы индексов (n,p, к). Другими словами, функции Vnkp(a,ö), Tnkp(a,ö), Snkp(a,ö) образуют на множестве Z ортонормированную систему функций.
Рассмотрим теперь реальное поле скоростей звезд, заданное в области Z на небесной сфере:
U(a, ö) — Vr/rer + Kßa cos öea + es, (13)
в котором Vr — лучевая скорость, ßa,ß& — компоненты собственного движения звезд по прямому восхождению и склонению, r — расстояние до звезды, K — 4.738 — множитель перевода размерности собственных движений звезд мсек. дуги/год в км/с кпк-1.
Используя систему определенных выше векторных сферических функций, мы можем разложить поле скоростей следующим образом:
U(a,ö) — ^ VnkpVnkp(a,ö) + (14)
nkp
+ ^ ^ tnkpTnkp(a, Ö) + ^ ^ SnkpSnkp(a, Ö), nkp nkp
где в силу ортонормированности базиса коэффициенты разложения vnkp, tnkp и snkp вычисляются по формулам:
Vnkp — УУ (и • Vnkp) dw — (15)
Z
2п ¿max
— У da J Vr (a,ö)/rVnkp (a, Ö)cos ödö,
0 ¿min
tnkp
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.