ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2013
УДК 531.3
© 2013 г. Ахметханов Р.С.
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ОДНО-, ДВУХ- И ТРЕХМЕРНЫХ МАССИВОВ ДАННЫХ
Статья посвящена применению вейвлет-преобразований для выявления локальных масштабных особенностей массивов данных, полученных при диагностике технических систем или из эксперимента (натурного или численного). Используется кратно-масштабный анализ для выявления энергетических характеристик частотных составляющих. Приведены примеры использования вейвлет-преобразований при анализе локальных масштабных особенностей временных рядов при диагностике технических систем и изображений микрошлифов при циклических нагрузочных испытаниях образцов конструкционных материалов.
При эксплуатации технических систем происходит накопление повреждений, которые приводят к разрушению элементов конструкций и, в конечном счете, к авариям и катастрофам. Аварии на объектах с большими запасами накопленной энергии или опасного вещества могут приводить к значительным ущербам и человеческим жертвам. В связи с этим большое значение для обеспечения безопасности объекта, персонала, населения и окружающей среды имеет ранняя диагностика предаварийного состояния технического объекта.
При диагностике технических систем и экспериментальных исследованиях образцов и материалов можно использовать различные методы анализа данных. Эти данные могут быть представлены в виде массивов различной размерности (как правило, это одномерные и двухмерные, но могут быть и трехмерные массивы).
Часто для оценки состояния технических объектов используют временные ряды. К этим данным можно применить вейвлет-анализ, который позволяет выделить их масштабные и локальные особенности. С его помощью можно определить предвестники изменения динамического режима системы, и по ним вероятность возникновения аварии или катастрофы. Переход с одного динамического режима (аттрактора) на другой может быть катастрофическим. Такой переход можно определить как предвестник. Например, известно, что в некоторых случаях предвестниками аварий в технических системах или возникновения землетрясения может быть фликкер-шум.
Обычно анализ временных рядов заключается в построении математической модели ряда, с помощью которой можно объяснить их поведение и осуществить прогноз его дальнейшего поведения. Усовершенствование методов приближения функций, Фурье-анализа привело к разработке нового математического аппарата вейвлет-пре-образования и основанного на нем вейвлет-анализа. Здесь удалось уйти от многих недостатков методов, используемых для анализа временных рядов. Теория вейвлетов берет истоки в таких классических областях математики, как теория функций вещественного переменного, теория ортогональных рядов, преобразование Фурье и другие интегральные преобразования, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ [1].
Теория вейвлетов и области их применения неразрывно связаны с развитием прикладных областей современной науки: цифровая обработка сигналов и изображений, теория фильтрации и кодирования, теория сплайнов, дискретных и быстрых преобразований в приложении к медицине, механике и т.д.
В общем виде вейвлет-преобразование /ф] функции /(?) состоит в разложении этой функции по базису, сконструированному из семейства функций уаЬ(0 [1—3]
да
-)} = \А. О^аъС -) ^ • (1)
—ТО
Это семейство нормированных на |а| 1/2 функций УаДО
Чаъ( -) = \а\^Ч^) (2)
получено из функции-прототипа у(0, называемой материнским вейвлетом, путем масштабных преобразований (дилатаций), определяемых действительным числом да > а > 0, и путем параллельных переносов (трансляций), определяемых действительным числом да > Ь > —да. Числа а и Ь называют соответственно параметрами масштаба и сдвига.
Интегральное вейвлет-преобразование по определению (1) локализует сигнал во "временном окне" ^ [Ь + а( — аЛ¥, Ь + а( + аЛ¥], с центром окна в Ь + а( и шириной, равной 2аЛ?, где Л¥ — радиус функции окна. В анализе сигналов это носит название "временная локализация".
Локализация в частотной области осуществляется "частотным окном"
'®* -1 л , ®* + 1 Л "
.а а 4 а а .
центр которого находится в точке ю*/а, а ширина равна Л?/а. Частотно-временное окно сужается по переменной ? при больших частотных центрах ю*/а; в то же время площадь частотно-временного окна остается постоянной, равной 4Л?Л?.
Вейвлеты, являясь функциями времени, имеют свое частотное представление, называемое средней круговой частотой вейвлета ю0. В частотной области спектры многих вейвлетов напоминают всплеск, пик которого приходится на частоту ю0. Если приближенно трактовать вейвлет как модулированную синусоиду, то ее частота и будет средней частотой вейвлета.
Прямое непрерывное вейвлет-преобразование означает разложение произвольного входного сигнала на совокупность волновых пакетов — вейвлетов, которые характеризуются четырьмя принципиально важными свойствами [1—3]: имеют вид коротких, локализованных во времени (или в пространстве), волновых пакетов с нулевым значением интеграла; обладают возможностью сдвига по времени; способны к масштабированию (сжатию/растяжению); имеют ограниченный (или локальный) частотный спектр.
Вейвлет-анализ часто рассматривают в качестве математического микроскопа, для которого локальная позиция точки фокусировки и увеличение определяется параметрами сдвига Ь и масштаба а, оптические возможности определяются выбором вейвле-та у(0- Это сравнение отражает мощное свойство вейвлет-анализа сохранять хорошую разрешающую способность на разных временных и частотных масштабах.
Результатом вейвлет-преобразования временного ряда является двухмерный массив коэффициентов (амплитуд) этого преобразования в координатах "частотный масштаб а, временная локализация Ь". Он называется вейвлет-спектром WaЬ{/(?)] и несет информацию об изменениях относительного энергетического вклада частотных со-
ставляющих сигнала во времени. Вейвлет-спектр Wab{/(()} временного ряда представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Чаще используется двухмерная визуализация в виде проекции на плоскость (а, Ь) коэффициентов С(а, Ь) изолиниями или теневыми картинами, по которым обычно отслеживают изменение амплитуд и локальных экстремумов вейвлет-преобразования. Малые значения параметра а, характеризующие быстрые процессы в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) — низким.
Обычно величины коэффициентов С(а, Ь) вейвлет-преобразования в графическом представлении закодированы оттенками цвета. Более светлые области относятся к большим коэффициентам С(а, Ь), определяющим больший энергетический вклад соответствующей частотной составляющей. Картины линий локальных экстремумов (максимумов) четко показывают внутреннюю структуру исследуемого процесса и его изменения по времени. Вейвлет-преобразование хорошо приспособлено к анализу каскадных процессов, моно- и мультифрактальных множеств, имеющих иерархическую природу, что важно при анализе динамических характеристик сложных технических систем. Вейвлет-спектрограммы отчетливо выделяют такие особенности сигнала, как небольшие разрывы, изменение знаков первой и второй производных, изменение частоты составляющих сигнала и их энергий во времени и т.д., именно те особенности сигнала, которые плохо выделяются на спектре Фурье-сигнала.
Возможности вейвлет-анализа позволяют также эффективно применять его для фильтрации сигналов, очистки от шума, статистической обработки данных, анализа регрессии по результатам оценки плотности сигналов, разложения сигнала на составляющие, анализа изображений и т.д. В механике (физике) и математике накоплены успешные примеры применения вейвлет-технологий в решении различных задач [1].
При анализе вейвлет-спектров важное значение имеет оценка распределения энергий по частотам (частотным составляющим). Энергии составляющих можно определить исходя из существования для вейвлет-преобразования аналога теоремы Парсева-ля [4], которая гласит, что сумма (или интеграл) квадрата функции х(0 равна сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования. Математическая формулировка теоремы имеет вид
| х (о1= | и 01V,
где Л(?) обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной или пространственный сигнал х(0 с его представлением в частотной области /). Таким образом, теорема Парсеваля устанавливает равенство между энергией сигнала и суммарной энергией его спектра.
Из данной теоремы следует, что в пространстве действительных функций полную энергию сигнала можно записать через амплитуды вейвлет-преобразования в виде
г Г ^ ГГтгА_ ,_\dadb
Е =
Е; = |х2(0VI = а, Ь)*
2
а
где С-1 — нормализующий коэффициент (аналогичный коэффициенту (2п)-1/2, нормализующему преобразование Фурье).
Плотность энергии сигнала Е(а, Ь) = Ц2(а, Ь) характеризует энергетические уровни (уровни возбуждении) исследуемого сигнала /(0 в пространстве (а, Ь) — (масштаб, время).
Одной из основных особенностей вейвлет-преобразования является возможность получать локализованные характеристики и изучать локальные энергетические свой-
а!
>
ства спектра. Зная плотность энергии Ец(а, Ь), можно с помощью окна определить локальную плотность энергии в точке Ь0 (или [4]
а, -о) = ^а, Ъ^
йЪ.
Эта характеристика позволяет проанализировать временную динамику передачи энергии — процесса по масштабам обмена энергией между составляющими процесс компонентами разного масштаба в любой заданный момент времени. Данная временная динамика может являться критерием для оценки динамического состояния технической системы.
Полная энергия ряда распределена в соответствии с величиной коэффициентов вейвлет-преобразования
Таким образом, имея вейвлет-преобразование можно оценить глобальную и локальную энергию или энергии частотных составляющих. На этом строится кратно-масштабный анализ временных рядов и изображений. При анализе сигнала зачастую полезно представить его в виде совокупности последовательных приближений. Например, при передаче изображения по сети можно сначала переда
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.