Цена 18 ^уб, Двоеплех 1 в.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2005г., том 17, номер 1, стр. 3-9
ПРИМЕР ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ И ТЕСТОВЫЕ РАСЧЕТЫ
ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
©
В.М. Галкин
Томский политехнический университет; e-mail: vlg@tpu.ru
Для дифференциальных уравнений, описывающих одномерное стационарное течение с переходом через скорость звука, предлагаются зависимости в правых частях этих уравнений. Эти зависимости позволяют получить аналитические выражения для параметров газа как в сопле Лаваля, так и в канале постоянного сечения. Применимость предложенных соотношений проверена численными методами.
3r the one-dimensional stationary
............................... 3
............................... 10
ill total momentum imbalance on
............................... 19
using two-dimensional multiphase
............................... 34
insitional bog ecosystem........ 43
solitons in parametrically driven,
............................... 65
• discontinous Galerkin schemes 79
.........'.................... 93
mvection-diffusion problem with .............................. 109
lar 70x100/16 Печать офсетная раж 315 экз. Тип зак. 8923
EXAMPLE OF THE EXACT DECISION AND TEST CALCULATIONS
FOR THE ONE-DIMENSIONAL STATIONARY EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
V.M. Galkin
Tomsk Polytechnic University
For differential equations describing one-dimensional stationary current with transition through sound speed, dependences are suggested in the right side of these equations. This allows to receive analytical expressions for parameters of gas both in a Laval nozzle and in the channel of constant section. The applicability of the offered ratio is checked up by numerical methods.
1. Введение
Важнейшим этапом математического моделирования является тестирование созданной программы. Для этого проводится сравнение либо с уже известными численными результатами, либо с точными решениями. Поскольку опубликованные численные результаты приводятся, как правило, в виде графиков, то в этом случае сравнение проводится качественно и характеризуется оценкой «графическое совпадение с известными результатами», в то время как при использовании точного решения дается количественная оценка, что, естественно, предпочтительнее.
При решении газодинамических задач также возникает проблема апробации разработанных программ путем сравнения, например, с автомодельными решениями. Практически все классы автомодельных решений для классических уравнений газовой динамики рассмотрены в [1]. В [2] дан обзор аналитических методов отыскания решений, в том числе с использованием группового анализа. Среди рассмотренных задач можно выделить решения, описывающие течение или примыкающее к области покоя, или с областью стационарного движении среды, такие, как точечный взрыв, истечение в вакуум сферического объема газа, сходящаяся ударная волна [2], течение от источника (стока) [3]. Все эти задачи могут использоваться для тестирования соответствующих программ. Излюбленным тестом является расчет параметров за ударной волной и сопоставление их с точными значениями, полученными из адиабаты Гюгонио [4].
Для стационарных газодинамических уравнений, описывающих одномерное течение в канале с переходом через скорость звука, точных решений немного. Прежде всего, это транс-
В.М.Галкин
Тесты для одному
цендентное уравнение, описывающее распределение числа Маха в сопле Лаваля при изоэн тальпическом, изоэнтропическом течении идеального совершенного газа [3]:
• , ,Ч ( , Л(7+1)/(2(7-1» U
Ш1П(Л) _ ^ у + 1
2 + (у-1)М
(1)
где М = и^р/(уР) - число Маха; р, £/, Р, А, у - плотность, скорость, давление, площадь поперечного сечения сопла, показатель адиабаты газа. Большинство других решений базируется на (1). Так в [5] нахождение параметров двухфазного течения сводится к решению уравнения (1) путем использования гипотезы о законе отставания частиц и введением некоторого эффективного показателя адиабаты.
В данной работе предлагаются зависимости в правых частях уравнения движения и энергии, при которых дифференциальные уравнения имеют точное решение в виде трансцендентного уравнения для распределения числа Маха вдоль сопла и явные выражения для остальных параметров газа. Поскольку полученные решения могут быть основой для тестирования программ, была проведена оценка границ применимости предложенных правых частей с использованием итерационного метода и метода установления. *"•■ "<
2. Исходные уравнения
Рассмотрим одномерные стационарные уравнения для идеального совершенного газа [1]:
dApU=Qt d(p Ц'+П+£риг=с dpUH_ + ^LpUH = c2,
dx dx A dx A
\
(2)
где Я = Ру/(р(у-1)) + [/2/2 - полная энтальпия; х - продольная координата, принадлежащая рассматриваемой области [ха\хь]; С/ и Сг - правые части уравнений движения и энергии. Штрих обозначает производную по «х». Полагается, что у=соп$1; задана площадь А(х); заданы граничные условия на входе в сопло в виде Н=Н(ха), 5=5(ха); С\(ха)=С2(ха)=0', внутри рассматриваемой области число Маха больше нуля, монотонно возрастает от дозвуковой до сверхзвуковой величины и существует только одна точка х>, в которой М=1.
Переходя к переменным Я, 5, М, Ы, перепишем уравнения (2) в следующем виде:
dS_ dx
М
и 1
у+ 1
(у-1) dH_ = £2_ dx р U
2 + (у-1)М
Р'
«о
min(A') N
где S = р/рУ , Я0=( у+ 1)7(2(7-1)), 50=1/у, / = 1/(1-у).
N = A
и = ы
Гя] "о 'А' /
UoJ »
2(у-1)Я
1/2
min(iV) AU
(3)
(4)
(5)
(6)
к2 + (у-1)М
С учетом вышеупомянутых ограничений на число Маха можно показать, что для N выполняется необходимое и достаточное условие существования в точке х- единственного минимума [б]:
••Я*:.!',
min(A0 = i
причем min(A0 -Произведе к минимальной i сти р», Р - к пр значим Аа=А(ха). ловие для N:
N(xa) = A
3. Точные реше
Очевидно, правые части
С,=С2=О
для численного получается из (6
3.1. лы\г< шую зависимост
М = Аа{Ь
3.1.1.
условию и уело!
5=5о(Ь1(*
тогда точное ре решение для Я Я = Я0(< а остальные па] соотношения дг
Q =
Яр
"о
причем N, 5, N
3.1.2. S=
чай 5=5o=const
Яр
"о
3.1.3. н
точное решени
5 = 50Л
Е&а
В.М.Галкин
Тесты для одномерной газодинамики
числа Маха в сопле Лаваля при изоэн-совершенного газа [3]:
(1)
этность, скорость, давление, плошадь по-
Большинство других решений базируется ) течения сводится к решению уравнения я частиц и введением некоторого эффек-
5 правых частях уравнения движения и имеют точное решение в виде трансцен-вдоль сопла и явные выражения для ос-юния могут быть основой для тестирова-нимости предложенных правых частей с овления.
ия для идеального совершенного газа [1]:
f—р ин = сг,
(2)
продольная координата, принадлежащая части уравнений движения и энергии, гго у=соп51; задана площадь А(х)\ заданы |=5(ха); С](ха)=С2(ха)=0\ внутри рассмат-ю возрастает от дозвуковой до сверхзву-соторой М=1.
уравнения (2) в следующем виде:
" * (3)
Ü-7),
(4)
(5)
и-. (6)
I можно показать, что для N выполня-я в точке х. единственного минимума
mm(N) = N(x,),
dN_ dx
= 0,
dlN
dx2
>0,
(7)
причем пип(ЛГ) - это расход.
Произведем обезразмеривание отнесением * к полуразмеру минимального сечения, А -к минимальной площади ппп(А), и - к критической скорости и., р - к критической плотности р. Р - к произведению рМ.2. Далее будем использовать безразмерные переменные. Обозначим Аа=А(ха). Тогда Я(х„)=Я0 и 5(х„)=50, а из СЛха)=С2(ха)=0 и (5) следует граничное ус-ловие для Ы:
N{xa) = Aa.
(8)
3. Точные решения
Очевидно, точному решению для числа Маха (1) будут соответствовать тривиальные правые части
С)=С2=0
для численного решения уравнений (2). При этом точное решение для остальных параметров получается из (6) с учетом Н=Н0=сот1 и 5=5о=сопЯ.
3.1. ЛГ=ЛГ(х). Пусть заданы х., Ь\, Ь2, причем ха-ос.<хь, 0<Ь\, 0<Ьг<\. Возьмем простейшую зависимость для N в виде квадратичной функции, удовлетворяющей (7) и (8):
N = Aa(Ьг({х - х.)/(ха -х,))2+1-Ь2).
(9)
3.1.1. S=S(x). Представим S в виде линейной функции, удовлетворяющей граничному условию и условию неубывания энтропии:
S=S0(¿>i(x-xa)+l), (10)
тогда точное решение для числа Маха находится из трансцендентного уравнения (4), точное решение для Я получается из (5): Я = ff0((S0/S/ N(A)"H° , а остальные параметры находятся из (6). Дифференцируя (5) по «х» и используя (3), получим соотношения для С\, Сг> которые можно использовать для численного решения уравнений (2):
" Но [м A S
(П)
причем /V, У в (11) берутся из (9), (10).
3.1.2. 5=5о. Очевидно, если в (10) положить ¿1=0, то этому будет соответствовать случай 5=5о=со1Ш и правые части для численного решения уравнений (2):
1 яои Л) 2
3.1.3. Н=Н& Для Н=Но=соп$1 и (9) точное решение для числа Маха находится из (4), точное решение для 5 получается из (5):
В.М.Галкин
Тесты
остальные параметры из (6). Естественно, что в этом случае энтропийная функция на определенном участке может убывать. Аналогично (11) правые части для численного решения уравнений (2) получаются из (3) и (5):
Л.1
(12)
где А' и А'" берутся из (9).
Отметим, что при одинаковом показателе адиабаты в предложенных соотношениях распределение числа Маха, определяемое из (4), зависит не от формы сопла, а только от параметров ха, дг», ¿>2 в (9) и, следовательно, указанные формулы можно использовать и в случае Л=СОП51 из [6].
На рис.1 приведены точные распределения чисел Маха, полученные из (4) и (9) при значениях ха=~4, д>=1, хь=2, 62={0.1; 0.5; 0.9) и у= 1.4.
3 1 М
--Ь 2=0.1 Точное решение
• •• Ь 2=Ч). 5 Точное решение
--Ь2=0.9 Точное решение
+ + + Начальное распределение
................ ^
о
-4 -2
Рис.1. Распределение числа Маха.
теле [ коряе' ря на боты
3.2. М=М(дг). Если задать монотонное распределение числа Маха М=М(х) и обозначить М 2 + (у - 1)М
то с учетом (4) можно взамен (9) использовать удовлетворяющее (7) и (8), в следующем виде:
N = А.
Я(х)/
'Ч&аУ
Очевидно, использование последней формулы не внесет никаких принципиальных изменений в пункты 3.1.1 - 3.1 3 и поэтому далее рассматриваться не будет.
4. Физическая интерпретация
Рассмотренные правые части допускают достаточно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.