УДК 556.013
Принцип Ле-Шателье и его адаптация для замыкания осредненных уравнений гидродинамики
Г. П. Скребков*, А. С. Ложкин**, С. Н. Ложкин***
Получена обобщенная формулировка принципа Ле-Шателье, позволяющая относиться к нему как к общефизическому закону смещения и установления равновесия в открытой системе. Применение обобщенной формулировки к явлению "кинематический эффект безнапорного потока" позволило сформулировать правило для вычисления локального эффекта противодействия интегральному эффекту в релаксационном процессе перехода неустановившегося турбулентного движения в установившееся. В режиме с установившимся движением локальный эффект противодействия интегральному эффекту достигает максимума при заданных и неизменных внешних условиях. Условие максимума локального эффекта противодействия интегральному применено для замыкания уравнения плановой эпюры скоростей. Приведен пример, доказывающий справедливость теоретических построений.
Принцип Ле-Шателье в традиционной его редакции констатирует, что "если на систему, находящуюся в состоянии устойчивого равновесия, производится внешнее воздействие, выводящее систему из равновесия, то равновесие смещается в том направлении, при котором эффект внешнего воздействия ослабляется" [16].
Удобство этой формулировки принципа Ле-Шателье заключается в том, что она позволяет в рамках имеющейся модели системы, не проводя детального анализа условий динамического равновесия компонентов системы, определить то направление релаксационного процесса, при котором ослабляются результаты произведенного над системой внешнего воздействия. То есть принцип Ле-Шателье здесь выступает как принцип смещения равновесия. В приведенной формулировке принцип Ле-Шателье применяется в химии, где умение предсказывать направление смещения динамического равновесия химических реакций помогает в деле оптимизации выхода готовой продукции. Однако в других областях естествознания при решении практических задач данная формулировка не эффективна, ибо в ней нет критерия останова, позволяющего судить о завершении этого (уже отобранного) релаксационного процесса. А без такого критерия останова
* Чувашский государственный университет.
** г. Москва.
*** Научно-технический центр по ядерной и радиационной безопасности.
релаксационного процесса не понятно, как в рамках модели можно осуществить предельный переход к состоянию устойчивого равновесия, значения макропараметров в котором детерминистическим образом связаны с заданным стационарным уровнем внешнего воздействия.
Отметим, что в приведенной выше формулировке принципа Ле-Шате-лье имеется важная информация об ослаблении эффекта внешнего воздействия при установлении в системе состояния устойчивого равновесия. И эта информация могла бы стать основой для недостающего критерия останова, если бы в ней дополнительно сообщалось о конкретной величине этого ослабления при достижении системой состояния устойчивого равновесия. Но самое интересное здесь в том, что такая недостающая информация о величине ослабления давно известна и, более того, имеется формулировка принципа Ле-Шателье [3, с. 22], в которой акцент сделан именно на величине ослабления внешнего воздействия: "система стремится к таким изменениям, которые минимизировали внешние воздействия". Но, к сожалению, в этой формулировке утеряна прежняя информация о принципе Ле-Шателье, как о принципе смещения равновесия. В общем нужно просуммировать эти две формулировки принципа Ле-Шателье, и тогда, в итоге, получим формулировку принципа смещения и установления равновесия:
В любой открытой диссипативной системе изменение внешних условий всегда индуцирует релаксационный процесс, стремящийся ослабить результаты произведенного воздействия. Если частота изменения внешних условий такова, что интерференции индуцированных процессов не происходит, то каждый из них успевает перевести систему в такое состояние устойчивого равновесия, в котором максимально ослаблен итоговый результат соответствующего внешнего воздействия. В режимах с интерференцией индуцированных процессов состояние устойчивого равновесия в общем случае отсутствует.
Обратимся теперь к проблеме замыкания осредненных уравнений гидродинамики. "Вопрос о принципе отбора возможных решений уравнений движения жидкости — один из сложнейших и нерешенных вопросов гидромеханики, так как неизвестно... какие из математически возможных решений... являются и физически возможными, т. е. будут адекватными реальным течениям, и каким "принципом отбора" следует руководствоваться, чтобы "узнать" или "отобрать" именно это решение" [15, с. 176]. Проблема замыкания возникла из-за того, что в рамках осредненных уравнений гидродинамики традиционные принципы отбора установившегося движения, такие как принцип минимума диссипации энергии и принцип максимума энтропии, приводят к решениям, не только количественно, но и качественно далеким от реальности.
По нашему мнению, причину неудачи применения принципа минимума диссипации энергии следует увязать с тем, что в условиях отсутствия моделей для внутренней энергии турбулентного потока, способных описывать образование и взаимодействие вихрей разного масштаба [12, с. 9], "расчеты потерь энергии по гидравлическим зависимостям являются сугубо приближенными, поэтому нет никакой гарантии, что решение, для которого подсчитанные потери будут наименьшими, будет на самом деле имен-
но решением с минимальной диссипацией энергии" [15, с. 207]. Хотя есть и относительно удачные попытки, например, в [14] для турбулентного течения в плоском канале (как наиболее простого) получено качественное согласие с опытными данными, но о количественном согласии все же говорить затруднительно.
Что касается результатов практического применения принципа максимума энтропии, то они также всецело зависят от умения корректно рассчитывать энергию взаимодействия молекул рассматриваемого тела, ибо математическое выражение энтропии макроскопического тела содержит в себе функцию плотности распределения вероятности в его фазовом пространстве, которая непосредственно связана с полной энергией рассматриваемого тела [4]. Поэтому, когда мы надежно знаем внутреннее строение тела и потенциалы взаимодействия между его молекулами, то мы можем корректно вычислить полную энергию тела и его энтропию, а далее по условию максимума энтропии найти значения параметров тела в состоянии его термодинамического равновесия с внешней средой (и, по-видимому, они будут близки реальным). Но если полную энергию тела мы вычисляем грубо приближенно (как это имеет место в случае с энергией турбулентного потока), то решение, отвечающее максимуму энтропии, может уже не иметь ничего общего с действительностью.
Как видим, в условиях отсутствия моделей, описывающих внутреннюю структуру турбулентного движения (в частности, процессы образования и взаимодействия вихрей разного масштаба и энергии), использование принципов минимума диссипации энергии и максимума энтропии для отбора решения, адекватного установившемуся турбулентному движению, бесперспективно. Появление же таких моделей в ближайшей перспективе вряд ли состоится. Ибо "структура и физические свойства реальных жидкостей в сильнейшей степени зависят от химической индивидуальности образующих ее частиц и от характера и интенсивности сил, действующих между этими частицами...Размеры и форма молекул, и еще в большей мере характер и интенсивность межмолекулярного взаимодействия, решающим образом влияют на характер относительного расположения и относительного движения частиц жидкости...Эти вопросы еще мало изучены экспериментально, и еще меньше — теоретически. Можно выделить один класс жидкостей, для которых имеются достаточно подробные рентгенографические данные об их структуре и для которых молекулярная теория их строения и физических свойств в какой-то мере уже развита. Это — жидкости, состоящие из сферически симметричных, бездипольных частиц, с ненаправленными и ненасыщающимися ван-дер-ваальсовыми силами взаимодействия. Будем называть эти жидкости простыми. Строго говоря, сюда следует отнести только сжиженные благородные газы...Типичной непростой жидкостью, которая сравнительно хорошо изучена, является вода. Направленные и насыщающиеся водородные связи между молекулами, реализующие большую часть сил сцепления в воде, приводят к тому, что молекулы воды в среднем сохраняют примерно тетраэдрическую взаимную координацию, близкую к существующей во льду, и в этом смысле "квазикристалличность" в окрестности любой частицы сравнительно сильно выражена. Однако одновременно оказывается, что происходит сильное растя-
жение и изгибание водородных связей, кроме того, имеются заметная доля разорванных водородных связей и много "дислоцированных" молекул, заполняющих собой пустоты тетраэдрической структуры. Поэтому дальний порядок в системе отсутствует и "квазикристалличности" в смысле трансляционной повторяемости истинной, мгновенной структуры нет. Еще сложнее обстоит дело с другими непростыми жидкостями, состоящими из многоатомных молекул со сложными взаимодействиями. Вопросы их структуры и молекулярного объяснения их свойств еще мало изучены" [13, с. 18—21].
Из вышесказанного понятно, почему на молекулярном уровне описать механизм возникновения и развития турбулентности не представляется возможным (по крайней мере, по состоянию "на сегодня"). Поэтому в рамках модели осредненных уравнений гидродинамики для отбора решения, адекватного установившемуся турбулентному движению, мы решили применить принципиально другой критерий, свободный от понятий энергии и энтропии, т. е. принцип смещения и установления равновесия.
Но чтобы воспользоваться его формулировкой для замыкания осреднен-ных уравнений гидродинамики, прежде необходимо наполнить конкретным содержанием понятие "максимальное ослабление результата внешнего воздействия", ибо именно наличие максимального ослабления указывает, согласно принципу, на то, что турбулентное движение является установившимся.
С этой целью рассмотрим физическое явление, известное как "кинематический эффект безнапорного потока" [1]. Сут
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.