КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 3, с. 187-196
УДК 550.385.37
ПРОДОЛЬНАЯ СТРУКТУРА БАЛЛОННЫХ МГД ВОЗМУЩЕНИЙ В МОДЕЛЬНОЙ МАГНИТОСФЕРЕ
© 2014 г. Н. Г. Мазур1, Е. Н. Федоров1, В. А. Пилипенко1 2
Институт физики Земли РАН, г. Москва 2Институт космических исследований РАН, г. Москва ngmazur@mail.ru Поступила в редакцию 20.08.2012 г.
Крупномасштабные тороидальные Рс5 пульсации принято трактовать как альвеновские колебания силовой линии. Их продольная структура хорошо описывается теорией в соответствии с наблюдениями. В то же время продольная структура азимутально-мелкомасштабных полоидальных Рс5 пульсаций практически неизвестна. Эти пульсации связаны с баллонными возмущениями, которые описываются системой зацепленных уравнений для альвеновской и медленной магнитозвуковой (ММЗ) мод. В данной работе для описания равновесной плазменной конфигурации в неоднородной магнитосферной плазме конечного давления в криволинейном магнитном поле использована модель Фойгта. Для этой модели рассчитаны спектральные характеристики и пространственная структура собственных баллонных мод. Модельные расчеты показывают возможность образования разных продольных масштабов для поперечной и продольной магнитных компонент колебаний вблизи вершины силовой линии.
Б01: 10.7868/80023420614030078
БАЛЛОННЫЕ МОДЫ В ОКОЛОЗЕМНОЙ ПЛАЗМЕ
Ультра-низкочастотные (УНЧ) колебания диапазона Рс5 (периоды порядка 3—10 мин) — так называемые "буревые Рс5 пульсации" — являются неотъемлемым элементом магнитной бури. Эти длительные (от нескольких до десятков часов) квазимонохроматические колебания предположительно возбуждаются протонами кольцевого тока на восстановительной фазе магнитных бурь. Характерной особенностью этих колебаний является наличие большой продольной (сотрге88Юпа1) магнитной компоненты и малый азимутальный масштаб (азимутальные волновые числа т — 30—100).
Практически все наблюдения плазменных процессов в околоземном пространстве проводились либо в приэкваториальной области магнитосферы, либо на низковысотных околоземных орбитах. Поэтому продольная структура вдоль силовой линии УНЧ процессов остается практически неизвестной и является областью теоретических догадок. Установлено, что крупномасштабные в азимутальном направлении (т.е. с малыми азимутальными волновыми числами т) тороидальные Рс5 пульсации являются альвеновскими колебаниями с продольным масштабом порядка длины силовой линии между сопряженными ионосферами. В то же время продольная структура азиму-тально-мелкомасштабных полоидальных Рс5 пульсаций остается неизвестной. Эти колебания
возбуждаются преимущественно при инжекции в магнитосферу энергичных частиц, т.е. когда давление магнитосферной плазмы становится конечным. При таких условиях мелкомасштабные альвеновские колебания эффективно зацепляются с медленными магнитозвуковыми (ММЗ) колебаниями, и образующуюся гибридную моду называют баллонной модой [1—3]. При резком спадании давления плазмы к периферии магнитной ловушки баллонные возмущения могут спонтанно генерироваться. Такая баллонная неустойчивость может рассматриваться как возможный кандидат на роль триггера взрывной фазы суббури в магнитосфере Земли [7, 15]. Баллонные поперечно-мелкомасштабные возмущения представляют и общефизический интерес: они могут развиваться в корональных петлях и являться зародышем формирующегося коронального выброса массы на Солнце [4] и представляют в ряде случаев наибольшую опасность с точки зрения устойчивости для удержания плазмы в лабораторных установках [5].
Баллонные возмущения в плазме конечного давления, находящейся в криволинейном магнитном поле, описываются системой зацепленных уравнений для альвеновской и ММЗ мод [6, 11, 13]. В реальной ситуации баллонные возмущения, по-видимому, локализованы вдоль силовой линии в приэкваториальной области магнитосферы, где резко возрастает отношение теплового
и магнитного давлений р. Кроме того, в этой области силовые линии сильно искажаются и вытягиваются в хвост магнитосферы, благодаря чему резко увеличивается их кривизна.
Для теоретического описания продольной структуры баллонных колебаний необходимо рассматривать систему зацепленных МГД уравнений в равновесной плазменной конфигурации. В данной работе для описания равновесия мы используем двумерную модель Фойгта [8], в которой уравнение равновесия Грэда—Шафранова линеаризуется и точно решается аналитически. В рамках этой модели нами рассчитаны спектральные характеристики и пространственная структура устойчивых баллонных мод. Аналогичная задача решалась в работе [21], где рассматривалась плазма с анизотропным давлением; однако в этой работе использовалось простое приближенное решение уравнения Грэда—Шафранова, пригодное лишь при малых р.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БАЛЛОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Рассмотрим ситуацию, когда плазма конечного давления удерживается искривленными силовыми линиями. Ограничимся изучением двумерной модели: пусть В = В(х, z) — равновесное магнитное поле с силовыми линиями, лежащими в плоскостях у = const (х, y, z — декартовы координаты). Введем локальный ортонормированный базис, связанный с криволинейной геометрией равновесного магнитного поля: е3 = B/B, e2 = еу, e1 = = е2 х е3, и введем обозначение для компонент оператора градиента по направлениям базисных векторов: Vn = еп • V. Неоднородности плазмы и магнитного поля характеризуются тремя параметрами, имеющими размерность обратной длины: относительным градиентом давления плазмы, относительным градиентом магнитного поля
и кривизной силовой линии кр = P1V1 P,
кв = B 1 ViB, к = ei • V3e3 (|кс| = 1 /R).
Эти параметры связаны между собой условием локального равновесия
(р/2 )кр + кв - к = 0, (1)
где р = 2ц0РВ-2 — отношение давлений плазмы и магнитного поля.
Пусть в равновесии смещение плазмы и электрическое поле отсутствуют. Тогда для гармонического возмущения ~ехр(-/ю?) линеаризованные уравнения МГД имеют вид
2 —1 —1 ю р% = Vp + b х (V х B) + B х (V х b),
p = - % •VP — yP V • %, (2)
b = V х (% х B),
где р, Р, и В — равновесные плотность, давление и магнитное поле, % = (2^, £,2, £,3) — смещение плазмы из положения равновесия, Ь — возмущение магнитного поля, р — возмущение давления плазмы, у — показатель адиабаты. Для возмущений с азимутальной структурой к ехр(1к2х2) система (2), записанная относительно неизвестных: компонент смещения £,2, относительного сжатия плазмы и = V • % и нормированного возмущения полного давления q = В-2(р + В£3/ц0), имеет вид
(V1 — к + ik2%2 — k— Lsu = 0, (Lp + ркскр )£,! + уркси + (ркр — V1) q = 0, l&2 — ik2 q = 0, 2 кА2^ + Lcu + k2 q = 0.
(3)
Здесь ЬР = V3B-1V3B + к\ — полоидальный альве-
новский оператор, Ьт = B-1V3BV3 + к\ — тороидальный альвеновский оператор, =
= к2BV3В1к— Vз + к2 — магнитозвуковой оператор, Ьс = + кА, кА = а/УА — альвеновское волновое число, к5 = ©/V — магнитозвуковое волновое число, УА = В(ц0р)-1/2 — альвеновская скорость, V = (уР/р)1/2 — скорость звука. Волновое число
кс = (кА + к5) соответствует так называемой
касповой скорости Ус = УАУ8 ( + V2) 1/2 = ю/кс.
Будем рассматривать МГД моды колебаний плазмы, для которых поперечный масштаб возмущений много больше ионного ларморовского
радиуса: к±Г/ <§ 1, где к± = (к2 + к2)1/2. Если при этом возмущения мелкомасштабны в поперечном направлении по сравнению с поперечным масштабом а равновесного распределения поля и плазмы (к± > а-1), то возмущение полного давления является малой величиной, быстрый магнитный звук отщепляется, и получается приближенная система уравнений [6, 7, 9, 20]
(Lp + k21 kj LT + ркскр)^1 + уркси = 0,
LcU + 2 ^£,1 = 0.
(4)
Качественно эту систему можно представлять себе как уравнение колебаний для альвеновской моды (первое) и ММЗ моды (второе) в продольно неоднородной среде, зацепленные между собой последними членами в левых частях уравнений. Это зацепление проявляется только при конечных кс и р, т.е. благодаря кривизне силовой линии и конечному давлению плазмы.
Рассмотрим полоидальные возмущения (к1 < к2). В этом случае член с тороидальным оператором
Ьт отсутствует, и систему уравнений (4), описывающую баллонные возмущения, можно представить в виде
[ В1 д,( В 2)] + к\ + ркскР + уркси = 0,
урд„и + 2к2Аы + у[д,р - рд, 1п(Вк2л)]д,и + (5)
2 2 + урклы + 4 ккл = о.
Координата вдоль силовой линии ж отсчитывает-ся от вершины силовой линии (магнитосферного экватора); продольная производная дж = У3. Следующие соотношения позволяют найти различные компоненты колебаний по решению системы (5):
Ъ, = д, (В£,1), Ър Ьз = (Р / 2 )(к ^ + у и) В, Еу = — /ю В£,1, = = - (уР/ ю2р)д,и.
(6)
Изучим собственные колебания плазмы, сильно неоднородной вдоль силовой линии, описываемые уравнениями (5). В качестве граничных условий на концах силовой линии ж = ±«Б ("ионосфере") рассмотрим простейшие:
2 (±,Е) = 0, и (±,Е) = 0.
(7)
Более общий случай граничных условий на ионосферных торцах рассмотрен в [10].
Продольные масштабы связанных МГД мод.
Отличительной чертой рассматриваемой задачи о собственных колебаниях является наличие двух пространственных масштабов, присущих взаимосвязанным модам: альвеновской и ММЗ. Эти масштабы особенно резко различаются в пределе холодной плазмы, т.е. при р ^ 0. Это различие возникает ввиду присутствия во втором уравнении системы (5) малого множителя р при старшей производной [23]. Выскажем ряд соображений, относящихся к этому случаю и позволяющих качественно оценить поведение спектра и собственных функций в указанном пределе.
При р = 0 система (5) превращается в систему
д, [ В1 д,( В 2,1)] + кА Ъ = 0, и + 2 кс = 0,
(8) (9)
общий порядок которой уменьшился на два. Несмотря на это, можно найти ее решение, удовлетворяющее всем четырем граничным условиям (7). Решая уравнение (8) с граничными условиями (7), находим дискретный спектр собственных частот альвеновских колебаний холодной плазмы
юАт) и собственные функции 2,1? (ж); после этого соотношение (9) дает соответствующие функции (ж) = —2 кс (ж), которые также удовлетворяют граничным условиям (7).
Однако в высших порядках разложения по степеням р получаются неоднородные системы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.