КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 6, с. 536-546
УДК 52-60
ПРОЕКТИРОВАНИЕ КВАЗИСИНХРОННЫХ ОРБИТ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВОКРУГ ФОБОСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОСАДКИ НА
ЕГО ПОВЕРХНОСТЬ
© 2008 г. А. Г. Тучин
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 29.04.2008 г.
Рассмотрена задача проектирования квазисинхронных орбит КА вокруг Фобоса. Квазисинхронные орбиты - это далекие по отношению к сфере Хилла квазиспутниковые орбиты с обратным направлением вращения в ограниченной задаче трех тел. Орбита должна проходить через заданную точку в заданный момент времени и обладать свойством минимальной удаленности от поверхности Фобоса при каждом прохождении над районом предполагаемой посадки. Уравнения динамики представлены в форме, описывающей орбиту в виде композиции движений по двум дрейфующим эллипсам: внутреннему и внешнему. Центр внешнего эллипса находится на внутреннем эллипсе. Получена формула, связывающая средние значения полуосей внутреннего и внешнего эллипсов. Она использована при построении начального приближения численно проектируемой орбиты, что позволило значительно упростить и ускорить процесс расчета. Приведены полученные в результате вычислений таблицы начальных условий.
PACS: 95.10. Ce
ВВЕДЕНИЕ
Обеспечение успешной посадки КА на поверхность Фобоса предполагает решение следующей задачи проектирования квазисинхронной орбиты (КСО) КА вокруг Фобоса. Выбирается точка на поверхности Фобоса и время, в которое проектируемая КСО должна пройти над этой точкой. Точка на поверхности выбирается специалистами в области геологии и учеными, обеспечивающими эксперименты после посадки КА на поверхность Фобоса. Время, в которое КСО должна проходить над заданной точкой поверхности, выбирается из условий освещенности и радиосвязи со станциями слежения [1].
Движение по КСО может быть описано как облет Фобоса по дрейфующему эллипсу [2-5]. Большая полуось эллипса ориентирована вдоль орбитального движения Фобоса. КА обегает эллипс в направлении, обратном к орбитальному движению Фобоса, с периодом, близким к периоду обращения Фобоса вокруг Марса. Дрейф эллипса также проходит вдоль оси, ориентированной по орбитальному движению Фобоса.
Для обеспечения успешной посадки нужна такая КСО, дрейф которой был бы минимален. Это позволит при необходимости, если процесс посадки не был начат, начать его в одном из следующих прохождений над районом посадки, повторить посадку, произвести телевизионную съемку района посадки, выполнить измерения высоты до поверхности Фобоса при его облете. Подобные КСО КА вокруг
Фобоса для удалений от его поверхности на расстояния 50, 55 и 60 км были найдены в [1]. Кольцеобразные области, в которых находятся КСО, имеют ширину: 5.3, 6.7 и 8.3 км для начальных удалений 50, 55 и 60 км соответственно. Облет КА вокруг Фобоса на таких орбитах происходит быстрее по отношению к периоду обращения Фобоса вокруг Марса. Средняя относительная разность угловых скоростей находится в диапазонах: 0.215-0.234, 0.1820.199 и 0.154-0.170 для КСО с удалениями 50, 55 и 60 км соответственно.
При поиске КСО в качестве упрощенной модели движения использовалась плоская эллиптическая задача Хилла в безразмерных переменных.
В настоящей статье предложен более быстродействующий, по сравнению с [1], алгоритм поиска КСО в рамках упрощенной модели. Быстродействие алгоритма достигнуто за счет использования начального приближения, формируемого из эволюционных уравнений.
При разработке алгоритма были использованы идеи и методы, изложенные в работах [5-10]. Задачи баллистико-навигационного проектирования в проекте "Фобос-Грунт" представлены в работах [11-16].
1. УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрена система дифференциальных уравнений, приближенно описывающая движение КА относительно Фобоса в безразмерных переменных:
U = 2 V + pi 3x -
x = U, у = V,
x
V = -2 U - p ¿
(1)
где r = л/x2 + у2, p = 1/(1 + ecos v), v - истинная аномалия Фобоса.
Точка означает дифференцирование по истинной аномалии. При e = 0 система имеет первый интеграл (интеграл Якоби): u2 + v2 - 3x2 - 2/r.
Рассмотрим движение KA относительно Фобоса в его орбитальной системе координат. Центр этой системы координат совпадает с центром масс Фобоса. Ось X направлена по линии визирования Марс - Фобос. Ось Y ортогональна оси X, лежит в плоскости орбиты Фобоса и направлена в сторону его орбитального движения.
Безразмерные переменные x и y связаны с положением KA относительно Фобоса следующими соотношениями:
X = pkRx, Y = p кяу, где кн = P • з
Дрь +
25.287,
(2)
X, У - координаты КА в орбитальной системе координат Фобоса, в км, Р - параметр орбиты Фобоса, цРЬ, цм - гравитационные постоянные Фобоса и Марса.
Невозмущенное движение (г1 <§ 1) с нулевым эксцентриситетом е описывается системой дифференциальных уравнений:
х = и, у = V, и = 2 V +3х, V = -2 и. (3)
Решение уравнения (3) можно представить в виде:
х = 2 к 3 + k1cos ^ + у, у = -3к3у + к4-2к^т у + 2 к 2cos у, где к1, к2, к3, к4 - постоянные.
(4)
Решение уравнения (1) можно рассматривать как движение по эллипсу, центр которого имеет
3
координаты: X = 2k3 и Y = -3k3v + k4 = — Xv + k4.
Используя координаты центра эллипса, выражение (4) можно представить в виде:
х = X + ;A cos(v - ф), у = Y - A sin( v - ф), (5)
где A = 2,]к1 + к2 - большая полуось перемещающегося эллипса, ф - разность фаз между движением КА вокруг Фобоса и Фобоса вокруг Марса, определяемая из условия: sin ф = kJ2A, cos ф = k2/2A.
Используя (5), найдем, что
1 3
U = — A sin(v - ф), V = — X - A cos (v - ф).(6)
Соотношения (5) и (6) описывают замену переменных в уравнении (1): от переменных x, y, U, V к новым переменным X, Y, A, ф. Полученная в результате система уравнений имеет вид:
X = 2 p
-d i 1,
д Y | тУ
y = -2 X -2 p dX (1
+
+ [ 6 X + 3 A cos (v - ф)]( 1 - p),
A A дф(г) + + [6X + 3 A cos (v - ф)] sin(v - ф)( 1 - p),
(7)
ф =
-РЭ 11) -4 A д A i т
[6X + 3 A cos (v - ф)] cos (v - ф)( 1 - p)
где
3 2 2 1 2 2 2
r = I4 A sin (v - ф) + AX cos (v - ф) -2 AY sin (v - ф) + 4 A + X + Y .
Эволюционное движение системы (7) изучено в работе [3] для случая плоского кругового движения задачи Хилла (р = 1) в условиях удаления тела нулевой массы от тела меньшей массы на расстояния, значительно превышающие радиус сферы Хилла. В этой работе получены эволюционные уравнения движения центра эллипса вдоль оси Y. Найдены два первых интеграла эволюционных уравнений: большая полуось перемещающегося эллипса и интеграл Якоби. Получено соотношение для периода либра-
ции и его предельные значения для малых амплитуд либрации. Пространственный случай эволюционного движения в аналогичных условиях исследован в работе [4]. В этих работах с целью изучения эволюции вдоль оси Y при упрощении системы уравнений была исключена составляющая, описывающая эволюционное движение вдоль X. Тем самым отброшено множество движений, представляющих практический интерес [1]. Поэтому, решая задачу построения системы эволюционных уравнений для
поиска решений системы (1), обладающих заданным свойством, нужно специальным образом выбрать фазовые переменные.
Одним из основных элементов при построении системы эволюционных уравнений является представление среднего значения 1/г на интервале от 0 до 2п через средние значения выбранных фазовых переменных. Такие представления с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода найдены в работах [3-6].
Рассмотрим уравнение (1) и представим движение вокруг Фобоса с использованием двух эллипсов. КА движется по эллипсу, полуоси которого равны A(v) и A(v)/2. Разность фаз между движением КА вокруг Фобоса и Фобоса вокруг Марса составляет ф(у). Центр эллипса, по которому движется КА, также движется по эллипсу, полуоси которого равны Ka(v) и a(v), к - константа. Разность фаз между движением КА и движением центра эллипса составляет 4(v). Такому представлению движения КА соответствует замена переменных:
х = a cos (v - ф + 4) + 2-A cos (v - ф),
y = -акsin(v - ф + 4) - A sin(v - ф), U = -2 A sin(v - ф),
(8)
a = fKsin (2( v - Ф + 4))
aкЭ4(r
3K" sin (2 (v - Ф + 4)) + 3K- cos (v - Ф)х кк
x sin(v - ф + 4)
(1-p),
4 = -1 + 23Kcos2( v - ф + 4) +
+ p
12. Г 1) + -22_ A Г 1"
AdAIr) акдаVr
A" cos (v - ф + 4) cos (v - ф) + 3cos2( v - ф) +
6 2, ü " + Kcos (v - ф + 4) к
(1-p) +
(9)
3A
+ —cos (v - ф) cos (v - ф + 4)( 1 - p), а к
A Al Гд ф(г) + Э 4(1)' ' +
+ [ 6 a cos (v - ф + 4) + 3 A cos (v - ф)] x x sin(v- ф)( 1 - p),
ф
= IP А. Г1) -
A dA ( r
6 a
cos (v - ф + 4) + 3cos (v - ф) x cos(v - ф)( 1 - p), +
где
V = — a cos (v - ф + 4) - A cos (v - ф).
В результате замены переменных (8) уравнение (1) преобразуется к виду:
2 3 A 2 2
r = -""j-sin (v- ф) + Aacos(v - ф + 4)x
x cos(v - ф) + 2AaKsin(v - ф + 4)sin(v - ф) + (10) .2
A22222
+ "--"- + a cos (v - ф + 4) + a к sin (v - ф + 4).
Интеграл Якоби для системы (9) при e = 0 (р = 1) имеет вид:
A 3 a /г^/ 3 a 2
cos (2( v - ф+4))-—-r.
Исходная система (1) после замены переменных (8) преобразуется к виду (9) с использованием вспомогательных соотношений, полученных дифференцированием (10) по переменным a, 4, A и ф [13].
2. АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ РЕШЕНИИ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИИ
В результате численного интегрирования системы уравнений (9) по начальным условиям, найденным в работе [1], получены траектории, имеющие вид, показанный на рис. 1. Положение центра эллипса X, У определяется формулами:
X = а соз(у - ф + 4), У = -ак- ф + 4). (11)
Положение точки нулевой массы определяется формулами (5). Траектория, показанная на рис. 1, получена при к = 2 по начальным условиям:
V = 0, а = 0.459800, 4 = 3.141593, А = 3.376023, ф = 4.712389.
Как видно из рис. 1, движение КА (точки нулевой массы) и центра эллипса происходит в узких кольцеобразных областях, внешней и внутренней. Внешнее кольцо - это кольцо, в котором заключена траектория КА. Центр перемещающегося эллипса, по которому движется КА, остается в пределах внутреннего кольца. КА движется по перемещающемуся эллипсу с большой полуосью А^). Перемещение этого эллипса
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.