МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 36, № 4, с. 300-310
^ ПРОБЛЕМЫ
НАДЕЖНОСТИ ИС
УДК 621.3.049.77.019.3
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТТЛ ИС ПО ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ОТКАЗАМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
АРПСС-МОДЕЛЕЙ
© 2007 г. М. И. Горлов, А. В. Строгонов
Воронежский государственный технический университет andreis@hotmail.ru Поступила в редакцию 07.07.2006 г.
Методом Бокса-Дженкинса (АРПСС-модели) проведено прогнозирование наступления параметрических отказов высоконадежных ТТЛ ИС типа 134ЛБ1, 106ЛБ1, 133ЛР3, 11ЛА8 по результатам испытаний на долговечность продолжительностью 110-150 тыс.ч. Интервальными прогнозами АРПСС-моделей для ИС типа 106, 134 не подтверждается гарантийная наработка - 150 тыс. ч, а для ИС типа 133ЛР3, 133ЛА8 подтверждается гарантийная наработка в облегченном режиме - не менее 200 тыс.ч, установленная в ТУ [1].
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА БОКСА-ДЖЕНКИНСА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ИС
ПО ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ОТКАЗАМ
Из всех известных методов прогнозирования долговечности ИС получил наибольшее применение метод Бокса-Дженкинса (модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего -АРПСС-модель). Поставлена задача апробировать данный метод на результатах испытаний ТТЛ ИС различных заводов изготовителей на долговечность и применить его для прогнозирования долговечности по основным параметрам: выходное напряжение низкого уровня (UOL) и выходное напряжение высокого уровня (UOH).
Метод получил мощную поддержку в универсальных статистических пакетах программ (СПП) таких, как SYSTAT, SAS, WINKS, STAT-GRATHICS, SPSS, Statistica for Windows, Мезозавр. Модуль СПП SPSS Trends позволяет с ис-
пользованием ARIMA-моделей решать задачи: управления производством; обработки данных; прогнозировать объемы продаж; проводить социальные исследования. Программный продукт Forecast Expert (система построения экономических прогнозов), базирующийся на методе Бокса-Дженкинса, предназначен для прогнозирования любого параметра, в отношении которого имеется должное количество замеров в конкретном промежутке времени [2].
Метод Бокса-Дженкинса основывается на том, что гладкий нестационарный временной ряд путем взятия разностей некоторого d-го порядка можно свести к эквивалентному стационарному, т.е. к случаю, для которого разработаны методы анализа и прогнозирования. В методе Бокса-Дженкинса нестационарный временной ряд представляется в виде модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС, ARIMA) в прямой и возвратной форме [3-5]:
Прямая форма: ф(В)УйХ{ = 0(В)а{, г = +1, +2,
Возвратная форма: ф(К)1УйХг = 0(К)е(, г = -1, -2, ...,
р
ф( В) = 1- ф1 В - ф2 В2- ... - фРВР = 1- В = АР - оператор,
1 = 1 ч
0(В) = 1 - 0!В - 02В2 - ... - 0чВч = 1 - £ 0,Вг = СС - оператор,
1 = 1
или
ф( В) Ж, = 0( В) а,, Ж, = VйX,
Ж = ф1 Ж_1 + ... + фрЖ_р + а, - 01 а,_1- ... - 0ча,-ч,
где ф(В), ф(Р) - операторы авторегрессии (АР); В, ^ - операторы сдвига; V - оператор разности:
V1 X, = X, - X, = (1- В) X,;
ё - порядок разности, обеспечивающий переход от нестационарного ряда к эквивалентному стационарному; р - порядок авторегрессии; д, 0(В), - порядок и операторы проинтегрированного скользящего среднего (СС) соответственно; а, е( - последовательности независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение (белый шум):
Е [ а( ] = 0, Уаг[а(] = а'а.
Значения белого шума а, согласно методу Бокса-Дженкинса должны быть получены прогнозиро-
ванием назад с использованием возвратной формы временного ряда.
Смешанный процесс АР и СС представляет собой эффективную модель для описания стационарных и нестационарных временных рядов. АРПСС-модель эффективна, когда временной ряд является суммой независимых составляющих, каждая из которых описывается либо моделью АР, либо моделью СС, но которые непосредственно не наблюдаются. Процесс АРПСС можно получить из белого шума а,, с помощью трех операций фильтрации.
АРПСС-модель имеет физический смысл, т.к. она является дискретным аналогом линейного дифференциального уравнения, используемого для описания линейных систем [6]:
d y
% d tn
n -1
+ an-1 Тп~У + a"+ - + °1 d + О0У(^ =
n -2
y
m -1
m - 2
dx
= bm -rm: + bm-1—m~7 + bm-2-m-7 + - + Ь1~ц + bQx(t)
a
m
где x(t) - входной сигнал, y(t) - выходной сигнал, ai и bj - постоянные коэффициенты.
Модель является параметрической. Чтобы подобрать такую модель, нужно оценить по наблюдаемым данным набор параметров АРПСС-моде-ли: ф, 0, oa - каким-либо из известных методов, например, нелинейным методом наименьших квадратов (например, демпфированный метод Ньютона или Гаусса-Ньютона). В СПП Statistica for Windows оценивание параметров модели осуществляется квазиньютоновским методом максимального правдоподобия (МП). Используются различные способы вычисления суммы квадратов остатков: приближенный метод МП МакЛео-да и Сейлза (1), приближенный метод МП с итерациями назад (2) и точный метод МП по Мелар-ду (3) [5]. Все методы дают примерно одинаковые результаты. Для того чтобы найти прикидочные оценки параметров АРПСС-модели, рекомендуется использовать приближенный метод МП (1), а затем точный метод (3).
Согласно АР-модели, сигнал формируется путем пропускания дискретного белого шума через рекурсивный фильтр (рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр)), в модели скользящего среднего (СС-модель) используется нерекурсивный фильтр (такие фильтры имеют конечную импульсную характеристику и называются КИХ-фильтрами или цифровыми фильтрами нижних частот), а в АРПСС-модели - фильтр общего вида, содержащий рекурсивную и нере-
курсивную ветви. Фильтры АРПСС имеют обратную связь, обладают большой гибкостью, экономичны, т.е. малое число параметров в левых и правых частях [6].
Будем использовать спектральный анализ как вспомогательный метод при идентификации временных рядов. Форма спектра позволяет выявлять особенности временного ряда (определить основные гармонические составляющие случайного процесса путем разложения дисперсии процесса по разным частотам). Наличие пиков в спектре и их величины могут выявить основные периодичности, требующие физического объяснения. Полезную информацию можно получить при изучении нескольких спектров временных рядов при изменении внешних условий, например, изменение температуры испытаний. Автокорреляционные и спектральные функции связаны между собой. Описание временного ряда автокорреляционной функцией или спектром является непараметрическим методом. Цель спектрального анализа - разложить ряд на функции синусов и косинусов различных частот для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо.
В работе [7] впервые было осуществлено прогнозирование деградации характеристики входной ток высокого уровня 11Н ТТЛ ИС по результатам испытаний на безотказность в течение 1896 ч с интервалом времени между замерами 24 ч с использованием АРПСС-моделей. Общее число замеров N = 80, размер выборки 40 шт. Процесс де-
градации параметра /ш описывался моделью АРПСС (0.1,1): У1^ - 0.0295 = а, + 0.306а, - 1. Авторы работы [8] предложили неизвестные значения белого шума а, генерировать с использованием метода Монте-Карло и строить большую по объему совокупность статистически возможных продолжений ряда. Прогнозирование вести до наступления параметрических отказов. Расчет функции надежности Р(0 проводили по статистике числа пересечений прогнозом временного ряда границ рабочей области. Это позволяло считать, что время до отказа будет принимать смысл случайной величины. Такой подход применительно к прогнозированию долговечности ИС авторы назвали "имитационный", а подход, основанный на анализе временных рядов - "аналитический". Для сравнения качества прогнозов эксперимент был продолжен до 3840 ч с интервалом времени между замерами 96 ч. Было получено хорошее согласие экспериментальных и прогнозных данных.
При прогнозировании параметрических отказов высоконадежных ИС, - с использованием АРПСС-моделей по результатам испытаний на долговечность возникают причины, ограничивающие данный метод. В классическом анализе временных рядов считается, что для построения статистически адекватных моделей число замеров N должно быть 150-200 и более, но не менее 30. Точность вычислений параметров АРПСС-модели зависит от длины ряда [5].
Испытания на долговечность дороги, длятся длительное время (свыше 10 лет), а число замеров мало и они проводятся не в равные интервалы времени, что соответствует требованиям руководящих документов электронной промышленности. Например, временной ряд замеров параметров ИС типа 106ЛБ1 при испытаниях на долговечность в течение 120 тыс.ч имел вид: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120; 130 тыс.ч. Общее число замеров N = 41, размер выборки 20 шт.
Для получения значений ряда в равные интервалы времени необходимо использовать специальные методы получения недостающих значений, например, заполнение пропусков средними значениями ряда, методом интерполяции, прогнозами линейной регрессии, аппроксимацией недостающих значений кубическими сплайнами, ЕМ-алгоритм для МП-оценивания и др. [9].
ПРИМЕР ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТТЛ ИС ТИПА 133ЛА8 ДО НАСТУПЛЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ОТКАЗА ПО РЯДАМ ДЕГРАДАЦИИ БЕЗ ПРОПУСКОВ
Для ИС типа 133ЛА8 (N = 45) имеется возможность провести анализ временных рядов, не прибегая к специальным методам заполнения пропусков. Проведем анализ ряда деградации параметра UOL ИС типа 133ЛА8, анализируя АКФ, ЧАКФ и спектральную плотность, с целью извлечения полезной информации о природе временного ряда. Используя методику идентификации АРПСС-моделей, подробно изложенную в работах [2-5], построим адекватные модели для ряда деградации параметра UOL ИС типа 133ЛА8 и проведем прогнозирование числа замеров до наступления параметрического отказа.
Оценивание параметров проведем с использованием приближенного и точного метода МП, реализованных в СПП Statistica for Windows (версия 6.0) и точного метоа в СПП SPSS (версия 10).
Проанали
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.