ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2014, том 50, № 1, с. 91-99
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ РЕГРЕССИОННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
© 2013 г. А.В. Затонский, Н.А. Сиротина
(Березники)
Предложено использовать многофакторную модель на основе регрессионного дифференциального уравнения для прогнозирования развития социально-экономической системы. На нескольких примерах показано преимущество такой модели по сравнению с линейными многофакторными моделями и трендами. Разработано специальное программное средство и приведена методика его использования.
Ключевые слова: экономическая модель, дифференциальное уравнение, регрессия, прогнозирование.
Классификация 1ЕЬ: С25, С35, С14.
В практике экологического, социального и экономического моделирования часто используются модели динамики вида y_x(t), z(t), t) = a0 + '/aixi(t) + '/bjZj(t), где x(t) = [xx(t), x2(t), ...} -вектор факторов, Z(t) = {zj(t), z2(t),...,} - вектор возмущений, y(-) - реакция исследуемого
объекта; или y(x(t), Z(t), t) = a0 + %a,x;(t) + %bjZj(t), либо, для функций одного аргумента -
i i i
y(x(t), z(t), t) = a0 + /aix(t)' + /bjz(t)j, либо модели временных рядов в форме y(t) = /ait'.
i k i = 0 Поиск в Интернете дает ссылки на несколько авторефератов докторских диссертаций, в которых
используются подобные модели (Дзюба, 2011, с. 29; Мицек, 2011, с. 27; Миролюбова, 2012, с. 10, 16) и т.п. Назначение моделей обычно - прогнозирование свойств объекта в зависимости от принятых в будущем решений x (t).
Такие модели можно упрощенно "прочитать", например, так: если вкладывать в предприятия (отрасль) инвестиции по графику x1(t), то на выходе получим чистый дисконтированный доход (или другой показатель экономической эффективности) y(x 1(t), z 1(t)) с учетом спроса на продукцию (возмущающего воздействия) z1(t). Дальше обычно речь идет об идентификации at и bj, учете обратных связей, выраженных некоторой функцией F(y), а точнее
y(x(t), z(t)) = a0 + /atxt(t) + / bjzj(t) - F(y(x(t), z(t))) (1)
ik
и т.п. При этом молчаливо принимается предположение, что существует прямая связь между факторами и значением реакции, ^а единственный динамический элемент в модели - чистое запаздывание вида y(x(t)) = a0 + /aixi(t - Dt).
i
Однако подобное предположение не всегда близко к реальности. Например, удобряя поле по определенным правилам, можно получить рост урожая (и дальнейшие экономические или социальные бонусы). То есть достоверно, из множества наблюдений известно, что внесенное количество удобрений x1 ускоряет рост урожая в каком-то диапазоне внесения удобрений:
dy (x, z, t)
---. a0 + a 1 x(t) 6t: 0 < x(t) < xmax, a 1 > 0,
dt
а снижение количества осадков в определенных условиях снижает скорость роста: dy(x, z(t), t)
я . a0 + b 1 z(t) 6t: zmin < z(t) < z^, b 1 > 0, 6t: z(t) < 0. dt
Для сложных систем, особенно учитывающих естественные процессы в природе и обществе, идентификация коэффициентов связи между у(^ и xi(t) приводит к порождению моделей (Лосев, 2010), адекватно интерполирующих прошлое, но не способных дать прогноз будущего - что, собственно, и требуется от моделей поддержки принятия решений. То же можно утверждать и в отношении экстраполяции у(^ вперед по данным временных рядов (трендов), особенно с учетом ошибок или ненаблюдаемых внешних возмущений. Кроме того, полиномиальные модели не позволяют рассчитывать асимптотические приближения критерия, наблюдаемые в реальности.
Попытки реализовать всеобъемлющие модели на основе дифференциальных уравнений в частных производных делались неоднократно, например (Акаев, 2008; Файзрахманов, 2002). Однако их сложность, и особенно сложность подготовки адекватных данных для их использования, порождает ряд проблем при практическом применении. Хотелось бы получить столь же простой инструмент, как регрессионная многофакторная модель, для которой не возникает серьезной проблемы идентификации, но лишенный вышеперечисленных недостатков.
Возникает вопрос, что же идентифицировать при построении динамической экономико-математической модели: связь между фактором и реакцией или связь между фактором и динамикой изменения реакции под воздействием этого фактора. В теории автоматического управления, как известно, фактор (или динамика его изменения) линеаризуется, а затем исследуется его влияние на динамику поведения объекта. Подобные подходы к экономико-математическим системам также разработаны очень давно. Например, в (Арнольд, 1990, с. 99) формулируется модель экологического равновесия
---= У - У - ^)У, °< x^)<1, (2)
дt
соответствующая по форме (1), от которой недалеко как до доходности (определяемой здесь квотой вылова x(t)), так и до катастроф в развитии популяции, что, собственно, и рассматривается далее в книге.
В работе (Затонский, 2012) подробно рассматривается попытка прогнозирования по "зашум-ленной" модели (2) с помощью трендов и моделей наподобие (1) и делается вывод, что в данном конкретном случае модель на основе регрессионных дифференциальных уравнений более адекватная. Описанные в этой работе неудачные попытки не доказывают невозможности удачных аппроксимаций и экстраполяций временных трендов в эколого-экономическом моделировании с использованием традиционных и широко распространенных методов, но они иллюстрируют преимущества применения в качестве основы моделей ОДУ. Однако в основе модели априори лежит дифференциальное уравнение первого порядка. Не удивительно, что прогнозные модели на основе полиномов аппроксимируют ее хуже, чем модель на основе ОДУ.
Применим тот же подход для прогнозирования на основе данных о состоянии сельского хозяйства Пермского края (Пермьстат, 2012) (табл. 1).
Таблица 1. Сведения о состоянии сельского хозяйства Пермского края
Годы Показатели 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Уисх(0 Продукция сельского хо- 18 127 19 010 20 238 26 971 27 352 30 056
зяйства, млн руб.
*1(0 Посевная площадь, тыс. га 999,5 959,5 935,3 914,0 867,7 795,2
х2(0 Внесено минеральных 12,2 11,9 13,0 10,7 11,6 10,4
удобрений, тыс. т
*з(0 Внесено органических 1542 1339 1050 1053 1052 1009
удобрений, тыс. т
*4(0 Число сельскохозяйствен- 400 403 396 380 351 353
ных организаций
*5(0 Основные фонды в сель- 21 626 20 010 18 156 17 351 15 453 14 117
ском хозяйстве, млн руб.
~*"7ИСХ; -•- У по 6 годам; -д- У по 4 годам
Рис. 1. Исходные данные (Гисх) и временные тренды по 6 и по 4 годам
Представим, что в 2008 г. нам известны как история развития сельского хозяйства за прошлые года у О при t = 2005, ..., 2008, так и факторы хг(0, I = 1, ..., 5. "Запланировав" факторы х на 2009 и 2010 гг., мы в 2008 г. хотим спрогнозировать, какие значения примет у(0 при t = 2009, ..., 2010.
Рассмотрим прогнозирование развития событий различными методами построения:
1) временного ряда
у(0 = М + Ь, (3)
2) линейной модели
y( t) = a 0 + /QiX i(t);
i=1
3) квадратичной модели
5 5 5
y (t) = a 00 + /a 0i xi + //ajxix
i = 1 j = 1 i=1
4) модели на основе ОДУ
j
dy(t) dt
a 0"
/aixi(t)+ a 6 У (t )-
(4)
(5)
(6)
i =1
^нсх' -•- У по 6 годам; У по 4 годам
Рис. 2. Исходные данные (Уисх) и результат прогноза по линейным моделям по данным 6 и 4 лет
Для исключения влияния размерности нормируем данные {y, x,} и пронумеруем года. Рассчитав коэффициенты уравнения (3) по 4-му и 6-му годам, получим практически одинаковые тренды (рис. 1).
Они, естественно, не отражают переломы в y0(t) в силу их линейности. Поэтому, несмотря на близкое соответствие между y0(5) и y(5), использовать на практике такой прогноз затруднительно. Во всяком случае, большая разница в годах 2-й и 3-й - последних, наиболее значимых, с точки зрения прогнозиста, должна привести его к предположению, что прогноз неверный.
Данные по 6 годам линейной модели (4) хорошо приближают исходные (рис. 2), однако если произвести поиск коэффициентов для годов с номером 0-3, то прогноз для 4 и 5 годов существенно отличается от исходных данных. Это говорит о том, что:
- выходная величина y(t) действительно может быть определена по значениям факторов, что она действительно зависит от xi(t);
- однако коэффициенты влияния ai в разные года разные, они зависят от времени, и спрогнозировать по данным годов 0-3 значения коэффициентов влияния в 4-м - 5-м годах не удается.
Следовательно, применение линейной модели влияния факторов для прогноза развития в данном случае, как и в (Затонский, 2012), невозможно. Аналогичный вывод получим, пытаясь построить квадратичную модель (5).
Перейдем к поиску коэффициентов ОДУ (6). Для этого в Borland C Builder создан специальный инструментарий (рис. 3).
Пробные расчеты показали, что 6 точек совершенно недостаточно для эффективной аппроксимации данных ОДУ. Связано это с тем, что большинство численных методов решения ОДУ основано на дискретизации расчетной области с небольшим шагом. Совместим дискретизацию области и увеличение числа исходных точек. Перейдем от массива нормированных значений,
Рис. 3. Экранная форма программы
в программе имеющего идентификатор у0(0, длиной 6 точек, к массиву у() длиной 51 точка, разбив каждый год на L = 10 интервалов. Это значение L выбрано достаточно произвольно, но далее показано, что при нем условие сходимости численного метода решения ОДУ выполняется, и, следовательно, такую дискретизацию использовать можно.
На каждом интервале [у0(г), у0(г+1)] вычислим методом линейной интерполяции внутренние точки у,(к) (значение в точке k внутри отрезка интерполяции, k = 0, ..., 51) и аналогично вычислим ^(к) - время в точке k внутри отрезка интерполяции. Для факторов х1 такой подход оправдан только в том случае, если достоверно известны моменты их воздействия на систему. В данном же случае, например, изменение посевной площади с 999,5 тыс. га в 2005 г. до 959,5 тыс. га в 2006 г. Одна из возможностей - в течение всего 2005 г. была одна посевная площадь, а с начала 2006 г. стала другая. Другая - площадь менялась линейно. В первом случае необходимо использовать ступенчатую интерполяцию, распространяя значение в на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.