научная статья по теме ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ НЕСКОЛЬКО ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ В ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНЕ Математика

Текст научной статьи на тему «ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ НЕСКОЛЬКО ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ В ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНЕ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 4, 2014

УДК (532.59 + 539.3) : 534.1

© 2014 г. М. Г. Жучкова, Д. П. Коузов

ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ НЕСКОЛЬКО ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ В ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНЕ

Исследуются периодические волновые процессы в тонкой упругой пластине, плавающей на поверхности несжимаемой жидкости конечной глубины. Пластина целиком покрывает поверхность жидкости и под воздействием гравитационных волн в жидкости совершает изгибные колебания. Режим свободных колебаний в пластине нарушен вдоль набора параллельных прямых. В качестве таких нарушений рассматриваются жесткое закрепление пластины, скользящее закрепление и бесконечно тонкий разрез. Используемый аппарат построения решения обладает достаточной общностью. Другие нарушения упругих свойств пластины или ее подкрепления, реализуемые линейными гранично-контактными условиями, могут быть рассмотрены аналогично. Изучается прохождение и отражение гармонической изгибно-гравитационной волны, ортогонально набегающей на неоднородности пластины. Получены точные аналитические представления волновых полей в пластине и жидкости. Определены коэффициенты прохождения и отражения для набегающей изгибно-гравитационной волны. Найдены усилия, развиваемые в закреплениях.

При изучении отражательных способностей прямолинейных неоднородностей в плавающих пластинах, моделирующих ледовый покров, был выделен новый класс краевых задач — гранично-контактные задачи [1]; соответствующий подход неоднократно использовался другими авторами: В.В. Варламовым, С.А. Габовым, А.Г. Свешниковым, А.К. Шатовым, Д.П. Коузовым, Р.В. Гольдштейном, А.В. Марченко (например, [2—8]). Ниже также используется метод решения, основанный на сведении задачи к гранично-контактной.

Гидроупругое поведение плавающих пластин рассматривалось многими авторами. Например, были изучены [9—12] вынужденные периодические по времени колебания упругой пластины под действием набегающей на нее поверхностной гравитационной волны малой амплитуды и приложенной к пластине внешней нагрузки, а также нестационарные колебания неоднородной пластины с кусочно-постоянным распределением коэффициента цилиндрической жесткости и удельной массы. Рассматривалось [13—15] рассеяние изгибно-гравитационной волны на одной и нескольких прямолинейных трещинах в плавающей пластине, дифракция изгибно-гра-витационной волны на нескольких трещинах, имеющих конечную длину, рассеяние изгибно-гравитационной волны на нескольких точечных закреплениях плавающей пластины.

В продолжение исследования прохождения изгибно-гравитационной волны через один прямолинейный жесткий задел в плавающей пластине [16] ниже рассматривается случай, когда препятствия в пластине сосредоточены вдоль конечного набора параллельных прямых, класс таких препятствий несколько расширяется.

1. Постановка задачи. Пусть упругая безграничная пластина плавает на поверхности однородной, идеальной и несжимаемой жидкости конечной глубины. Режим свободных колебаний пластины нарушен вдоль т параллельных прямых х = ак (к = 1, 2, ... , т). В качестве сосредоточенного нарушения режима колебаний можно рассматривать как наличие всевозможных внешних элементов конструкции (опор, подкреплений), так и дефект механических свойств самой пластины (трещина, шарнирное соединение двух пластин с идентичными свойствами). Предполагается, что подводная часть

г лл/ / / / / Т7-7-7-7Г Л / /

"7 -ГУ ////// / / / / т1 У~

Н о 1 1 1 1 1 1 1 1 _ 1 1 _ 1 1 р 1 ! а 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _ 1 1 1 1 _ 1 1 1 1 1 ! а ! \ % 1 • 1 1 1 ■ 1 % 1 1 1 _ _ 1 1 1 1 _ _ 1 1 1 а3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 __ 1 1 1 \а, х 1 1 1 1 1 1 1 1 I • 1 1 1 1 _ 1

///////////////////////////

Фиг. 1

опор и подкреплении не оказывает существенного влияния на движение жидкости. Подобные конструкции можно представить, например, в виде жестких решеток, шаг и толщина которых достаточно малы, чтобы считать закрепления выполненными вдоль некоторой линии и предполагать, что они не вносят существенных изменении в движение протекающей через решетку жидкости. На поверхности жидкости рассматриваются гравитационные волны малой амплитуды, т.е. их высоты значительно меньше их длины. Используется модель тонкой упругой пластины. На практике эти приближения обычно выполняются и соответствуют типичным параметрам поверхностных волн в морях и свойствам как природных (ледовый покров), так и техногенных (гидротехнические плавучие сооружения) моделей такого рода.

Рассмотрим изгибно-гравитационную волну, набегающую под прямым углом на неоднородности, сосредоточенные вдоль набора параллельных прямых, в плавающей пластине. Введем прямоугольную декартову систему координат (х, у, г). Совместим плоскость Оху с невозмущенной нижней поверхностью пластины. Ось г направим вертикально вверх. Таким образом, неравенство —Н < г < 0 задает область, занятую жидкостью. Ось х направим вдоль направления распространения изгибно-гравитаци-онной волны. Прямоугольная система координат, выбранная таким образом, позволяет рассматривать плоский случай и решать двумерную задачу. Искомое поле не будет зависеть от координаты у.

На фиг. 1 показана схема рассматриваемой модели. Здесь к — осадка пластины (высота слоя жидкости, вытесненного пластиной), Н — расстояние между нижней поверхностью пластины и дном.

Ограничимся рассмотрением гармонических процессов. Временная зависимость задается посредством множителя е-,шт (ю — круговая частота, т — время), который будет опускаться.

Искомый потенциал скорости Ф(х, г) во всем объеме жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа

д^г) + = о, _да< х < + », -н < г <

д х

дг

(1.1)

Дно предполагается жестким:

дФ(хА! = 0, г = -н (1.2)

д г

Нормальная составляющая скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластины. Отсюда в предположении малости аппликаты волны получаем линеаризованное кинематическое условие

д-фх-^ = -/ю?(х) (1.3)

дг

где ^(х) — прогиб пластины.

Уравнение равновесия однородной тонкой пластины (без дефектов) под действием сил инерции, внутренних сил упругости, силы тяжести и давления жидкости на нижнюю поверхность пластины многократно использовалось разными авторами (в том числе и в [16]) и имеет вид

Ж(£(х)) - / юрФ(х, 0) = 0, Ж(£(х)) = Б£""(х) + р(#- Ню2)£(х)

D — цилиндрическая жесткость пластины, р — плотность жидкости, рЛ — поверхностная плотность пластины, определенная на основании закона Архимеда.

Сосредоточенные дефекты пластины задаются с помощью граничного условия, в правой части которого содержится сумма линейных комбинаций 8-функции и ее трех первых производных, сосредоточенных в точках х = а1с ^ = 1, 2, ..., m). Оно аналогично равенству, которое имело бы место при наличии активных сосредоточенных источников, приложенных к бесконечной однородной пластине. Таким образом, сосредоточенные дефекты пластины выступают в качестве "пассивных источников" дифракционного поля, т.е. не генерируют энергию, но приводят к переизлучению падающего поля. Имеем

Ж(£(х)) - /юрФ(х, 0) =

т (1.4)

= ^ (48 (х - а к) + БкЪ' (х - а к) + акЪ" (х - ак) + Ьк 5"'( х - ак))

к = 1

Постоянные Ak, Bk, ak и Ь1с заранее неизвестны и определяются из гранично-контактных условий, задающих механический режим на кромках пластин, в местах их состыковки или крепления к опорным или другим конструктивным элементам.

Наивысший возможный порядок производной 8-функции в граничном условии (1.4) ограничен известным в теории дифракции условием Майкснера. Оно обеспечивает единственность решения, устраняя возможность появления фиктивного источника поля в среде, в точках различных нарушений свойств границы. При использовании традиционного уравнения изгибных колебаний тонкой пластины наивысший возможный порядок производной 8-функции равен трем. Впервые данный подход был изложен [17] при решении задачи об акустическом и вибрационном поле бесконечной пластины, упругие свойства которой нарушены вдоль некоторого набора параллельных прямых.

Из граничного условия (1.4) следует, что

[С(х)]х = „к = Б, №)]х = ак = Б, [С" (х)]х = „к = |, [С'ф] х = „к = \ (1.5)

Символ f(x)]x = a означает скачок функции f(x) при х = а:

[f(x)]x = e = f(a + 0) -f(a - 0)

Коэффициент bk определяет скачок вертикального смещения пластины при х = ak. Коэффициент ak определяет разницу между направлениями краев пластины при х = ak. Коэффициенты Ак и Bk с точностью до знака представляют собой силу реакции и ее момент при х = ak, соответственно.

Полное поле Ф(х, z), которое должно удовлетворять гранично-контактным условиям, представляет собой сумму набегающей на препятствия поверхностной волны Ф0(х, z), предполагаемой заданной, и искомого рассеянного поля ^(х, z):

ф( x, z) = Фо(х, z) + ¥(x, z); Фо (x, z) = CeX°x ch ^0 (z + H) (1.6)

C — амплитуда волны Ф0(х, z), — положительный корень дисперсионного уравнения

Д(Х) = Д0(Х)sh(XH) - рю2ch(XH) = 0; Д0(X) = X(DX4 + p(g- hю2))

Дисперсионное уравнение имеет два одинаковых по величине и противоположных по знаку вещественных корня +А,0 и —А,0, соответствующих волновым числам незатухающих прогрессивных волн, распространяющихся вдоль оси х в положительном и отрицательном направлениях. Также имеются мнимые корни, соответствующие волнам, которые экспоненциально затухают вдоль оси х при удалении от начала координат. Их счетное множество. Эти корни можно пронумеровать в порядке возрастания их модулей (|А,И| ^ +<» при n ^ +<»). Начиная с некоторого (достаточно большого) значения номера п, мнимые корни дисперсионного уравнения располагаются вблизи точек ±inn/H. При увеличении параметра Н (расстояния от дна водоема до нижней поверхности пластины) они смещаются по мнимой оси в сторону начала координат. Помимо вещественных и мнимых корней дисперсионное уравнение допускает две пары комплексно-сопряженных корней, расположенных симметрично относительно мнимой оси.

Удовлетворение гранично-контактным условиям порождает неоднородную линейную систему уравнений для нахождения неизвестных постоянных.

Приведем примеры гранично-контактных условий

1) пластина ж

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»