ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 4, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. А. Д. Мышкис ПРОСТЕЙШАЯ ДИСКРЕТНАЯ СИСТЕМА С РЕЛАКСАЦИЕЙ
Исследуются существование и устойчивость положительных периодических режимов системы, описываемой скалярным уравнением
I xn-1- hxn-2; xn-1- hxn-2 > 0
1; xn-i-hxn - 2 < 0
для n 6 N и {0} и различных h = const > 0.
1. Введение. Ранее была рассмотрена [1] непрерывная система с запаздыванием и релаксацией, описываемая скалярным уравнением
x(t) = f (x(t + 01),..., x(t + 9m), xt) (1.1)
где 0; - заданные неположительные постоянные, xt(0) := x(t + 0)(0O < 0 < 0), и условием релаксации:
x(t) = 0 ^ x(t+) = l, l = const > 0 (1.2)
Были получены достаточные условия того, что такая система имеет ровно одно (с точностью до произвольных сдвигов вдоль оси t) периодическое решение, к которому сходится при t ^ го любое неотрицательное решение той же задачи (1.1), (1.2). Аналогичный результат был получен [2] для m = го, 0О = -го.
Цель этой статьи - исследование простейшей дискретной системы с релаксацией, описываемой скалярным уравнением
xn = xn-1-hxn-2; n 6 N := N и {0}, h = const > 0 (1.3)
Заданные начальные значения x-2 и x_j, а также все значения xn(n 6 N ) считаем положительными (в дальнейшем это требование не будет оговариваться). Условие релаксации принимаем следующим: если при последовательном вычислении x0, x^ ... по
формуле (1.3) получаем впервые xni < 0, то вместо этого полагаем xni = 1 и при n > n1
строим решение уравнения (3) по найденному x -1 и xni = 1 в качестве начальных
значений, до следующего значения x < 0, вместо которого полагаем x = 1 и т.д.
Другими словами, уравнение (1.3) с условием релаксации можно записать так:
\xn при xn-1-hxn-2 > 0 -
xn-1-hxn-2 = L , , n 6 N
[ 1 при xn-1- hxn-2 < 0
Аналогично определяются решение уравнения (1.3) с условием релаксации для n > n0, а также для n 6 Z. Задачу о построении решения уравнения (1.3) с условием релаксации назовем задачей R.
2. Периодические решения малого периода. Периодические решения (ПР) {хп} задачи Я будем рассматривать при п е Ж. Эти решения можно классифицировать по длине N их наименьшего периода. Для ПР всегда тахп{хп} = 1, поэтому без ограничения общности можно считать, что х1 = 1. Последовательность {х1, ..., хк} будем называть циклом рассматриваемого ПР. Очевидно, что каждый цикл состоит из некоторого числар > 1 следующих друг за другом фрагментов, каждый из которых представляет собой убывающую последовательность, начинающуюся с 1.
При отыскании вида циклов заданной длины полезна следующая простая теорема. Теорема 1. При N > 1 все фрагменты цикла имеют длину, большую 1. При N > 4 по крайней мере один фрагмент имеет длину, большую 2.
Доказательство. Пусть N > 1 и для определенности первый фрагмент цикла имеет длину 1, т.е. х2 = 1. Обозначим
к := тт{п е {1, ..., N} : хп < 1}
Имеем 1 - hxN < 0, хк = 1 - Н. Но из равенства хк = 1 - Н следует, что Н < 1, чему противоречит неравенство 1 - hxN < 0.
Пусть теперь N > 4 и все фрагменты цикла имеют длину 2. Тогда N - четное число, и имеем
1- Нх2г -2 = х21 (2.1)
х2; - Н < 0 (2.2)
(Здесь и далее в этом абзаце г = 1, ..., N/2; х0 = хм). Из системы равенств (2.1), в силу ее циклического характера, следует, что
(N/2) - 1
х2; = X (-Н)1 + (-Н) N'2Х2i 1 = 0
Отсюда видим, что если число N/2 нечетное, то все числа х2г равны, и потому наименьшим периодом служит 2, а не N. Такое же противоречие получаем, если число N/2 четное, а Н Ф 1. Наконец, если число N/2 четное и Н = 1, то из равенств х2г - 2 + х2г = 1 следует, что все числа х4г равны, как и все числа х4г + 2, и потому наименьшим периодом служит 4, а не N.
Приведем вид циклов для небольших значений N.
Случай N = 1. Цикл имеет вид {1}. ПР с N = 1 возможно, если и только если Н > 1. Случай N = 2. Цикл имеет вид {1, а}, где а е (0, 1). Очевидны соотношения а = 1 - На, а - Н < 0. Изобразив на плоскости а, Н линию и область, отвечающие этим соотношениям, получаем необходимое и достаточное условие существования ПР с N = 2 : Н >
> 75/4 - 1/2 = 0.618, тогда как цикл имеет вид {1,1/(1 + Н)}
Видно, что при Н > 1 возможны ПР как с N = 1, так и с N = 2.
Случай N = 3. Здесь цикл в силу теоремы 1 имеет вид {1, а, Ь}. При этом должны выполняться соотношения а = 1 - НЬ > 0, Ь = а - Н > 0, Ь - На < 0. Исключая из них Ь, приходим к соотношениям а = 1 - На - Н2, 0 < а < 1, а - Н > 0, а - Н - аН < 0. Изобразив на плоскости а, Н соответствующие линию и области, получаем, что периодическое решение с N = 3 возможно, если и только если Нх < Н < 1, где Нх ~ 0.453 - единственный вещественный корень уравнения Н3 + 2Н - 1 = 0. При этом цикл имеет вид
{1, (1 + Н2)/(1 + Н), (1 - Н)/(1 + Н)}
Таким образом, при 75/4 - 1/2 < Н < 1 возможны ПР как с N = 2, так и с N = 3.
Случай N = 4. Здесь цикл в силу теоремы 1 может иметь вид {1, а, Ь, с} (1 > а > Ь >
> с > 0) либо {1, а, 1, Ь} (1 > а > Ь > 0). Аналогично предыдущему заключаем, что цикл первого вида возможен, если и только если Н2 < Н < 1/2, где Н2 ~ 0.373 - единственный положительный корень уравнения Н4 - Н2 + 3Н - 1 = 0. При этом цикл имеет вид
{1, (1 + Н)/(1 + Н - и2), (1 - Н + Н3)/(1 + Н - и2), (1 - 2Н)/(1 + Н - Н)}
При Нх < Н < 1/2 возможны ПР как с N = 3, так и с N = 4 (первого вида).
Для циклов второго вида из доказательства теоремы 1 следует, что Н = 1, а цикл имеет вид {1, а, 1, 1 - а} с любым а е (1/2, 1). Таким образом, при Н = 1 возможны ПР с N = 1, N = 2 и N = 4.
Случай N = 5. Из теоремы 1 следует, что цикл может иметь вид {1, а, Ь, с, й} (1 > а >
> Ь > с > й > 0) либо {1, а, 1, Ь, с} (1 > а > 0, 1 > Ь > с > 0). Аналогично предыдущему
заключаем, что цикл первого вида возможен, если и только если Н3 < Н < 3/2 - 75/4 ~ ~ 0.382, где Н3 ~ 0.331 - единственный положительный корень уравнения Н5 - 3Н2 + 4Н - 1 = = 0. При этом цикл имеет вид
{1, (1 + Н2 - Н3)/(1 + Н - 2Н2), (1 - Н + Н3)/(1 + Н - 2Н2), (1 - 2Н + Н4)/(1 + Н - 2Н2), (1-3 Н + Н2)/(1 + Н - 2Н2)}
Таким образом, при н2 < н < 3/2 - 75/4 возможны ПР как с N = 4 (первого вида), так и с N = 5 (также первого вида).
Для циклов второго вида после исключения с и Ь получаем соотношения
а( 1- Н2) = 1- Н + й2, а < Н, аН < 1- Н, а(Н - Н2)> 1-2Н
Можно проверить, что уже первые три из них приводят к противоречию. Таким образом, ПР с циклами второго вида отсутствуют.
Случай N = 6. Из теоремы 1 следует, что цикл может иметь вид {1, а, Ь, с, й, е} (1 > а > Ь > с > й > е > 0) , либо {1, а, 1, Ь, с, й} (1 > а > 0, 1 > Ь > с > й > 0), либо {1, а, Ь, 1, с, й} (1 > а > Ь > 0, 1 > с > й > 0). Аналогично предыдущему заключаем, что циклы первого вида возможны, если и только если й4 < Н < 1/3, где й4 ~ 0.307 - меньший из двух положительных корней уравнения й5 + й4 + й3 + 2й2 - 4й + 1 = 0. При этом цикл имеет вид
{1, (1 + Н + 2Н2)/(1 + 2Н - Н2), (1 + й3)/(1 + 2Н - Н2),
(1- Н - й2- й3)/(1 + 2 Н - й2), (1-2 Н - й2- й3- й4)/(1 + 2 Н - й2), (1-3 Н)/(1 + 2 Н - й2)}
Таким образом, при й3 < Н < 1/3 возможны периодические решения как с N = 5, так и с N = 6 (первого вида).
Для циклов второго вида после исключения й, с и Ь приходим к соотношениям, первые три из которых: а(1 - й2 + й3) = 1 - Н + 2й2, а < Н, аН < 1 - Н - противоречат друг другу. Таким образом, циклы второго вида отсутствуют.
Для циклов третьего вида, исключив й, с и Ь, приходим к соотношениям
а( 1- Н2) = 1- Н + й2- й3, а > Н, а( 1- Н)< Н, ай < 1- Н + Н2
а (Н - Н2 )> 1-2 Н + й2- й3
Из второго и четвертого соотношений следует, что Н Ф 1, а потому первое можно сократить на 1 - Н. Выразив из полученного равенства а, а с его помощью Ь, с и й, приходим к выражениям
а = с = (1+ Н2)/( 1 + Н), Ь = й = (1-Н) / (1 + Н)
Таким образом, цикл состоит из двух одинаковых фрагментов, что невозможно. Итак, циклы третьего вида также отсутствуют.
Исходя из полученных результатов, естественно высказать гипотезу, что при N > 2 значения Н, для которых возможны циклы длины N, состоящие из единственного фрагмента, образуют интервал [ад, рд), причем ад < Рд,+1 < адд_1 < рд (УМ > 3) и ад ^ 1/4 при N ^ ^ (см. разд. 3). При ее доказательстве может оказаться полезным следующее простое утверждение: последовательные элементы такого цикла {1, а1, а2, ..., aN_ 1} пропорциональны последовательным алгебраическим дополнениям элементов первой строки квадратной матрицы порядка N у которой вторая строка имеет вид (_1, 1, N _ 3 нуля, Н), а каждая последующая строка получается из предыдущей циклической перестановкой с помощью выставления последнего элемента на первое место. Например, при N = 4 последние три строки этой матрицы имеют вид
(-1, 1, 0, Н), (Н, -1, 1, 0), (0, Н, -1, 1)
Примеры циклов, состоящих более чем из одного фрагмента, при N Ф 4 автору неизвестны.
3. Условие отсутствия периодических решений.
Теорема 2. При Н < 1/4 задача Я не имеет ПР.
Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы 2, но задача Я имеет ПР с циклом {х0 = 1, х1, ..., % _ Тогда из результатов разд. 2 следует, что N > 7. Пусть N0 := шш{п е N : хп = 1}. Тогда в силу теоремы 1 имеем 2 < N,3 < N, причем N,3 Ф N _ 1.
Предположим сначала, что Н < 1/4. Тогда из формулы хп = С1 р1 + С2р2 для общего решения уравнения (1.3), где
р1 = (1-X)/2, р2 = (1 + X)/2, X = 71-4Н е(0,1)
а С^, С2 _ произвольные постоянные, с учетом начальных условий х0 = 1, х_г = xN_ ! е е (0, 1) получаем
хп = (Н/Х)[(х-!-Р21 )р1-(х-!-р-1) р2 ], п = -1, 0, ..., N0-1 (3.1)
Однако, по определению N3, правая часть этого выражения при п = N,3 неположительна. Отсюда с помощью простых преобразований получаем неравенство
(1 + X)^ 1 + X - 2Нх-1) < (1 - X)^(1 - X - 2Нх-1) (3.2)
очевидно, неверное.
Если Н = 1/4, то формулы (3.1) и (3.2) заменятся соответственно на хп = х_{2_ _ 1 + + (2 _ х_:)(п + 1)2_п _ и 2^0 + 1) < х_^0, что приводит к тому же результату.
Как было отмечено в разд. 2, представляется правдоподобным, что условие Н < 1/4 является не только достаточным, но и необходимым для отсутствия у задачи Я ПР.
4. Устойчивость периодических решений. Далее окажется полезным следующее простое утверждение.
Теорема 3. Если Н > 1, то для ПР задачи Я наименьш
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.