ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2014, том 50, № 3, с. 119-129
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ АДАПТАЦИЯ И ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРОМЫСЕЛ РЫБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ
© 2014 г. В.Г. Ильичев, В.В. Ильичева1
(Ростов-на-Дону)
В рамках дискретной модели процесс перемещения рыбной популяции задается конечномерной марковской матрицей. Формализовано изменение данной матрицы как средство адаптации ее к состоянию кормовых ресурсов и управлению. Численно обнаружена ключевая характеристика пространственной адаптации - это вектор распределения времен пребывания популяции в районах водоема. Оказалось, что этот вектор является собственным положительным (перроновским) вектором финальной матрицы перемещения.
Ключевые слова: миграция, матрица, адаптация, оптимальный промысел, перроновский вектор.
Классификация JEL: Q57.
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема оптимального вылова является популярной темой как в теоретических, так и в прикладных исследованиях (Скалецкая и др., 1979; Clark, 1985; Абакумов, 1993; Ильичев и др., 2000). Как правило, используются жесткие постановки задачи, в которых характеристики популяций при эксплуатации предполагаются неизменными.
В биологии, в отличие от технических систем, управление вызывает адаптивный ответ не только отдельных элементов, но и всей структуры в целом. Так, при длительном многолетнем вылове рыбных популяций происходит измельчение особей, что уменьшает вероятность попадания их в сети; а также изменение маршрута пространственной миграции рыбного стада. Последнее обстоятельство имеет экономическое значение для стран, ведущих одновременный промысел на одном водоеме. Поэтому важно построение оптимального вылова с учетом адаптивного пространственного поведения рыбных популяций.
В данной задаче перемещение рыбного стада определяется некоторой неотрицательной матрицей M, которая в зависимости от факторов среды и управления может эволюционировать до некоторой финальной матрицы M*. При исследовании обнаружено, что ключевое значение имеет (перроновский) вектор r, который оказывается неотрицательным собственным вектором финальной матрицы M*. Компоненты r соответствуют временам пребывания популяции в соответствующих районах.
В рамках единой модели трудно одновременно соединить процессы вылова (блок "Вылов") и адаптации (блок "Адаптация"). Ситуация упрощается, когда в модели поочередно задействованы указанные процедуры. В данной статье реализован такой последовательный подход, с помощью которого исследуется эволюционный ответ популяции на управление. В частности, покинет ли популяция тот район, где производится значительный вылов?
1 Авторы искренне благодарны рецензету за полезные рекомендации.
2. ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ МИГРАЦИИ
Пусть модель акватории водоема разбита на п районов, тогда передвижение рыбной популяции может быть задано линейным оператором Х+1 = МХ\ где компонента г вектор-столбца X представляет текущую (т.е. в момент времени ^ биомассу популяции в районе г. В целях экономии места будем записывать все вектор-столбцы в строчной форме. Предположим, что временной шаг достаточно большой, а рыба передвигается довольно быстро. Поэтому рыбная стая за единицу времени может попасть из одного района в любой другой. В матрице М = (ту) размера п х п каждый элемент ту можно трактовать как вероятность перехода из у в г. Обычно, чем дальше эти районы друг от друга, тем меньше тгу. С учетом закона сохранения массы сумма элементов в каждом столбце Мравна единице и тгу > 0. Матрицы маршрута миграции Мпринято называть марковскими. Отметим, что эта схема допускает естественное усиление: матрица М может зависеть от сезона или факторов среды (течения, температуры и солености).
Считаем, что чистое воспроизводство - смертность в популяции - задается нелинейным оператором Хт = ГХ), в котором все компоненты вектор-отображения Г = (/1,...,/п) являются монотонно возрастающими, вогнутыми, гладкими положительными функциями одной переменной. По сути, данная система оказывается набором независимых одномерных разностных уравнений
х+1 = / (хгХ (1)
где г = 1,..., п. Из естественного условия /(0) = 0 вытекает представление /(х) = х{г(х) при некоторой гладкой функции Фг(х). Кроме того, из вогнутости функции /(х) следует, что скорость роста Фг(х) строго уменьшается с ростом х. Например /(х) = х^ + г/(1 + х)) при положительных параметрах d и г.
Пусть выполняются неравенства Фг(0) > 1 и Фг(то) < 1 для всех г. Так, в приведенном примере /(х) = х^ + г/(1 + х)) эти условия эквивалентны неравенствам d + г > 1 и d < 1. При данных ограничениях в одномерной модели (1) существует единственное положительное равновесие, глобально устойчивое в Я+.
Последовательное действие процессов воспроизводства и миграции приводит к модели (с более крупным временным шагом):
Хж = М о Г(Х). (2)
Далее под термином глобальная устойчивость некоторого положительного равновесия будем подразумевать его способность притягивать к себе все фазовые точки из положительного конуса Я+. Пусть 6 - положительное равновесие в (2), т.е. 6 = М о Г(6). Тогда справедливо следующее утверждение (Ильичев, 2011, с. 129).
Предложение 1. Точка 6 глобально устойчива в Я+.
При дальнейшем изложении важную роль играют геометрические свойства семейства марковских матриц. Так, матрицу М можно изобразить точкой, координаты которой упорядочены по её строкам. Например, для п = 2 данное соответствие имеет вид:
т11 т12
I" (т„, т12, т21, тгг). \т21 т22 /
Множество таких точек образует замкнутый, ограниченный и выпуклый многогранник Б в евклидовом пространстве размерности п2. Диаметром Б является наибольшее евклидово расстояние между его двумя точками. В силу компактности Б, диаметр всегда существует и реализуется на двух конкретных точках. Для семейства марковских п х п-матриц диаметр равен п.
Множество вершин Б образуют специальные матрицы {£,}. В работе (Ильичев, 2007, с. 97) показано, что марковская матрица является вершиной Б, если и только если в каждом ее столбце находится одна 1, а остальные элементы равны 0.
Каждая внутренняя точка Б является выпуклой комбинацией его вершин. Поэтому матричные вершины составляют своеобразный базис в семействе марковских матриц. Их число
О 1 с о а Ъ а ь а ъ
с 5 с 6 Ъ □ 7 с Ъ ^
Рисунок. Графы базисных матриц из списка (4), набор {а, Ь, с} является некоторой перестановкой чисел во множестве {1, 2, 3}
равно пп. Всякая базисная матрица М = (ту) задает свой маршрут передвижения. Наглядно маршрут можно изобразить в виде графа из п точек: при ту = 1 строим стрелку (ориентированное ребро) из точки у в точку а при ту = 0 никаких переходов не возникает (Робертс, 1986, гл. 2).
При п = 2 существуют четыре базисные матрицы:
* 1 =
'1 1 00
(3)
Будем считать, что графы имеют один и тот же тип, если они совпадают при изменении нумерации вершин. Так, в (3) Е1 и Е4 - матрицы одного типа, а остальные матрицы имеют попарно разный тип.
При п = 3 существуют двадцать семь базисных матриц, графы которых сводятся к следующим 7 типам (рисунок):
1 0 0' 1 0 1' 0 0 1' 0 1 0'
Е1 = 0 1 0 , Е 2 = 0 1 0 , Е 3 = 1 1 0 , Е 4 = 0 0 1 ''
0 0 1' 0 0 1' 0 0 0' ,1 0 0,
0 0 0' 0 1 0' 0 1 0'
Е 5 = 1 1 1 '' , Е 6 = 1 0 1 '' , Е 7 = 1 0 0
,0 0 0' ,0 0 0' ,0 0 1'
(4)
Все остальные графы базисных матриц получаются из графов типичных матриц (4) перенумерацией их вершин.
Разумеется, основная характеристика маршрута - это набор его поглощающих состояний и циклов. Спустя конечное время популяция попадает в одну из поглощающих структур (состояние или цикл). Пути, ведущие в поглощающую структуру, играют здесь второстепенную роль.
3. МЕХАНИЗМ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ АДАПТАЦИИ
Предположим, что перемещение исходной популяции У задается некоторой матрицей М0. А ее корм описывается положительным вектором К = (кх,.., кп), который преобразуется своей невырожденной матрицей Ы: К ^ ЫК. Для простоты считаем, что популяция потребляет, но не выедает компоненты К (т.е. все к сразу восстанавливаются).
Наряду с исходной популяцией У зададим популяцию-мутанта Z со своей маршрутной матрицей М1 = (1 - 8)М0 + 8Ы, здесь 8 - положительно и мало. Поскольку в любой норме выполняется неравенство || М1 - N || < (1 - 8)|| М0 - N ||, маршрут мутанта по сравнению с движением исходной популяции ближе к маршруту движения корма. В этой связи будет ли более приспособленный к корму (так называемый Ы-близкий) мутант побеждать исходную популяцию в конкурентной борьбе?
В качестве тестового примера рассмотрим модель конкуренции исходной популяции У = (у1,..., уп) и ее близкой мутантной формы Z = (г1,..., гп). Понятие близости означает, что популяции оказывают друг на друга одинаковое конкурентное давление. Поэтому динамика их биомасс имеет вид:
г+1 г / г , к г+1 г / г , г\ •
Уг = Уг Ф г (Уг + = {г (у,- + г,), г = 1, ..., п.
В трофической функции Фг(^) = d + гк/(к1 + коэффициент смертности (1 - d) заключен в диапазоне (0, 1); г - скорость роста. Предположим, что содержание корма в районах может изменяться (но не выедаться) в результате перемешивания.
Данные популяции-конкуренты имеют одинаковые экологические характеристики и отличаются только маршрутами миграции, поэтому влияние корма на них, в целом, разное. При расчетах в качестве маршрутов были взяты базисные матрицы из списков (3) для п = 2 и (4) для п = 3. В результате компьютерных экспериментов обнаружено, что исходная популяция никогда не вытесняет Ы-близкого мутанта; в большинстве случаев данный мутант вытесняет исходную популяцию; иногда они сосуществуют.
Механизм пространственной адаптации популяции можно реализовать посредством задания конкурентного отбора в сообществе исходной популяций и ее мутантов ^т}. Такой
подход соответствует идеологии эволюционного моделирования (Фогель и др., 1969). Обозначим через {Х1,..., Ьт} маршруты миграции мутантов, которые мало отличаются от М0-маршрута исходной популяции. Разумеется, таких матриц мутантов существует бесконечное множество. Поэтому следует выделить конечный, но представительный набор матриц. Например, положим:
Ц = (1 - 8)М0 + 8Ек, (5)
где 8 - положительно и ма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.