научная статья по теме ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ И ВОЛНИСТОГО ШТАМПА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И ИЗНОСА Математика

Текст научной статьи на тему «ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ И ВОЛНИСТОГО ШТАМПА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И ИЗНОСА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 1, 2014

УДК 539.3

© 2014 г. И. А. Солдатенков

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ И ВОЛНИСТОГО ШТАМПА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И ИЗНОСА

Рассматривается пространственная (трехмерная) задача об изнашивании волнистого штампа, скользящего по упругому слою, связанному с неде-формируемым основанием, при условии полного контакта штампа и слоя. Допускается наличие кулонова трения и износа штампа. Аналитическое выражение для контактного давления строится с помощью общего решения Папковича—Нейбера, гармонические функции в котором представляются в виде двойных интегралов Фурье, после чего задача сводится к линейной системе дифференциальных уравнений. Установлено, что гармоники, составляющие форму штампа и контактное давление, сдвигаются относительно друг друга во времени по линии скольжения штампа. Скорость этого сдвига зависит от продольной и поперечной частот гармоники, т.е. наблюдается дисперсия волн.

Впервые решение периодической контактной задачи теории упругости было дано для системы штампов с плоскими основаниями, контактирующих с упругой полуплоскостью при отсутствии трения [1]. Позже был рассмотрен случай периодического контакта гладких штампов [2, 3], было принято во внимание трение скольжения на контакте [4], а также возможность сцепления и изнашивания контактирующих тел [5]. Имеется достаточно полное описание разных постановок периодических контактных задач теории упругости и методов их решения [6].

Контактные задачи для волнистых тел можно разделить на две группы — с полным и частичным контактом тел. Полному контакту отвечают однородные граничные условия, что позволяет получать точные решения соответствующих контактных задач, в том числе и пространственных [7, 8]. Задачи с частичным контактом тел относятся к более сложному классу смешанных граничных задач. Их аналитическое решение возможно только при некоторых упрощающих допущениях, например, в случае слабого нагружения [9].

Ниже рассматривается пространственная задача о полном контакте волнистого штампа с упругим слоем; ее постановка, в отличие от вышеупомянутых пространственных контактных задач, допускает трение и изнашивание штампа. Строится точное решение этой задачи.

1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим подвижное сопряжение упругого слоя толщины к, сцепленного с абсолютно жестким плоским основанием, и абсолютно жесткого тела (штампа), контактирующего со слоем по всей его поверхности (фиг. 1). Упругие свойства слоя задаются модулем сдвига О и коэффициентом Пуассона V. Введем систему координат Оху1, плоскость Оху которой совместим с границей основания, а ось z проведем через некоторую фиксированную точку £ штампа.

Пусть основание вместе со слоем движется со скоростью V противоположно оси х, при этом сама система координат Oxyz остается на месте, а штамп может перемещаться только вдоль оси z (фиг. 1). В результате скольжения штампа по слою возникает трение и происходит изнашивание штампа. Положим, что порождаемые трением касательные граничные напряжения т связаны с контактным давлением р законом Кулона [10]

Т = ЦР + Т 0; Т = = н, Р = -Gz\z = Н

(1.1)

Фиг. 1

где ц — коэффициент трения скольжения, т0 — адгезионная составляющая трения. Здесь и далее используются общепринятые обозначения для компонент напряженно-деформированного состояния [11].

Локальный износ штампа W определяется соответствующим контактным давлением согласно элементарному закону изнашивания [10]

5 Ж(х, у, г)/дг = ккр(х, у, г) (1.2)

кК, — параметр износостойкости, который, как и коэффициент трения ц, может зависеть от скорости скольжения V. Здесь и далее полагается, что х, у е (—<», <»), а за начало изнашивания принимается момент времени t = 0.

Условие полного контакта штампа со слоем (по всей его поверхности) означает положительность контактного давления:

р(х, у, г) > 0 (1.3)

Проверку неравенства (1.3) необходимо выполнить для найденных распределений контактного давления.

Обозначим через 5 аппликату точки Расстояние g(x, у, 0 между контактной поверхностью штампа и плоскостью z = зф будем использовать для описания формы штампа, изменяющейся в процессе изнашивания (фиг. 1). Форма штампа считается пологой (здесь и далее индексами х, у у символа функции обозначаются соответствующие частные производные)

кх(х, у, г)| ^ 1, |*у(х, у, г)| ^ 1 (1.4)

Это, в частности, позволяет отождествить износ W с перемещением вдоль оси z контактной поверхности штампа в результате его изнашивания.

Относительно формы g(x, у, 0 штампа предположим, что она представляет собой набор из N гармоник (волн) различной частоты (всюду далее суммирование ведется от п = 1 до П = N

к(х, у, г) = г) + и(х, у, г)

(1.5)

U(x, y, t) = ^ An (t) sin (a Xnx + Pxn( t)) sin (a yny + pyn( t)) =

= ^ (an( t)cxncyn + bn(t)sxncyn + cn( t)cxnsyn + dn(t)sxnsyn) (1.6)

где axn и rnyn — заданные продольная (вдоль направления скольжения) и поперечная частоты, g (t), An(t), pxn(t), Pyn(t), an(t), bn(t), cn(t), dn(t) — коэффициенты, подлежащие определению, между которыми существует связь

an(t) = An(t) sinPxn(t) sinPyn(t) , bn(t) = An(t) COsPxn(t) sinPyn(t)

cn( t) = An(t) sinPxn(t) COs Pyn(t) , dn(t) = An( t) COs Pxn(t) COs Pyn(t) (1.7)

An( t) = [ a2n( t) + b2n (t) + c2n( t) + d2n (t)]1/2

Здесь и далее

cxn = COs ©xnx, cyn = COs №yny, = sin &xnx, Syn = sin Wyny (1.8)

Отметим, что величина g (t) представляет собой среднее по совокупности координат х, у значение функции g(x, у, t).

Начальная (неизношенная) форма штампа g0(x, y) = g(x, у, 0) считается известной и определяется равенствами (1.6) при

g( 0) = go, An (0) = Ano, Pxn( 0) = Pxn0, Pyn( 0) = Pyn0 (1.9)

an( 0) = an0, bn( 0) = bn0, cn( 0) = dn (0) = dn0 (1.10)

g0 , An0, Pxn0, Pyn0, bn0, Cn0, Cn0, dn0 - заданные коэффиЦиенты. Изношенная форма штампа g(x, y, t) получается из начальной g0(x, у) вычитанием износа:

g(x, y, t) = g0 (x, t) - W(x, y, t) (1.11)

Под действием штампа слой упруго деформируется. Соответствующее перемещение w верхней границы слоя вдоль оси z связано с формой штампа равенством (фиг. 1)

-wx(x, y, t) = g(x, y, t) - (s(t) - h) (1.12)

Здесь s0 — начальная аппликата точки S, 8(t) = s0 — s(t) — глубина внедрения штампа в слой в процессе изнашивания, 8(0) = 0.

Не ограничивая общности, далее положим s0 = h. Это позволяет, исключив g(x, y, t) из равенства (1.12) с помощью соотношения (1.11), записать следующее условие контакта штампа и слоя:

- Wl(x, y, t) + W(x, y, t) = g0(x, y) + 8(t) (1.13)

Кроме того, подставив выражение (1.6) в равенство (1.12), можно получить для перемещения w{ выражение

-Wi(x, y, t) = y(t) + U(x, y, t) (1.14)

причем имеют место соотношения

Y(t) = -Wi (t) = g(t) - (s(t) - h) = g(t) + Цt) (1.15)

которые получаются путем осреднения по совокупности координат х, у равенств (1-12)—(1.14).

В качестве характеристики нагружения штампа далее будет использоваться среднее по х, у значение р (0 контактного давленияру,

Ставится задача: располагая начальной формой штампа g0(x, у) и одной из зависимостей 8(0 или р (0, найти функции g(x, у, 0, p(x, у, 0, описывающие процесс изнашивания штампа.

2. Расчет контактного давления. Рассмотрим задачу о фрикционном контакте штампа волнистой формы (1.6) с упругим слоем в произвольный фиксированный момент времени t. Не ограничивая общности (в силу принципа суперпозиции), будем полагать, что форма штампа представляется одной гармоникой (аргумент t опускается)

ё(х, у) = £ + аехеу + Ьэхсу + ее^у + йэ^ = £ + и(х, у)

(2.1)

при этом величины сх, с , sx, sy определяются по формулам (1.8) с опущенным индексом п.

Учитывая условие (1.4) пологости профиля штампа, воспользуемся линейной теорией упругости для описания напряженно-деформированного состояния слоя. Будем использовать квазистатическое приближение, пренебрегая динамическими эффектами.

Запишем граничные условия для рассматриваемого случая

г = 0: и(х, у, г) = и(х, у, г) = я(х, у, г) = 0

(2.2)

г = Н: Тгх(х, у, г) = - ^г(х, у, г) + То, Тгу(х, у, г) = 0, я(х, у, г) = я^х, у)

Равенства при z = 0 здесь отвечают условию сцепления слоя с основанием, первое равенство при z = к — закону Кулона (1.1), второе равенство при z = к обусловлено релаксацией касательных напряжений, поперечных к направлению скольжения [12]. Граничное перемещение ^ в последнем условии представляется в виде суммы (1.14).

Непосредственное решение задачи для слоя со смешанными граничными условиями (2.2) связано с громоздкими выкладками, поэтому вначале рассмотрим более простую вторую основную задачу теории упругости:

г = 0: и(х, у, г) = и(х, у, г) = я(х, у, г) = 0

г = Н: и(х, у, г) = их(х, у), и(х, у, г) = и(х, у), я(х, у, г) = ™х(х, у)

(2.3)

в которой граничные перемещения имеют вид

щ (х, у) а1 Ь1 с1 й1 У1

«Л (х, у ) = а2 схсу + ■ Ь2 •эхсу + ■ с2 >сЛ + ■ й2 72

(х у X аз Ьз сз й3 Уз,

(2.4)

причем в силу соотношений (1.14) и (2.1)

а, = -а,

Ь3 = -Ь,

с3 = -с,

й3 = -й,

Уз = -у

(2.5)

Решение граничной задачи (2.3) будем строить на основе общего решения Папко-вича—Нейбера через четыре гармонические функции Ф0, Фь Ф2, Ф3, при этом, пользуясь произвольностью одной из этих функций, наложим ограничения [11]

г = 0, г = Н: Ф0(х, у, г) + хФх(х, у, г) + уФ2(х, у, г) + гФз(х, у, г) = 0 (2.6)

и представим их в виде двойных интегралов Фурье

да

Фк(х, у, z) = 1 [ [[АкеИаz + Bkaz]в** + уп)Я,йц

(2.7)

—да

а = ^2 + п2, к = 0, 1, 2, 3

Затем, следуя известному методу решения второй основной задачи теории упругости для слоя [11], основанного на представлении компонент и, и, т перемещения через функции Ф0, Ф1, Ф2, Ф3 с ограничениями (2.6), сведем граничную задачу (2.3) к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов Лк, Бк из выражений (2.7). Решение этой системы при учете выражений (2.4) для граничных перемещений позволяет найти функции Ф0, Ф1, Ф2, Ф3 и соответствующее поле перемещений

и(х у, z) = [ Щ хх(х у) + и1ху(X у)] Я1(Z) + Wlx(х у)^2(z) +

+ [ и1 (X, у ) - У1 ] ^ + У1Z shX к

и(х, у, z) = [Щху(х, у) + иЬу(х, у)]Я^z) + Wly(х, у)Я2(z) + (2.8)

+ [ Ы х, у) - у 2 ] ^ + У 2 Z shX

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»