ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2008, том 72, № 5, с. 622-627
УДК 537.534
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЛОКАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЭРОЗИИ ПОВЕРХНОСТИ ИОННОЙ БОМБАРДИРОВКОЙ
© 2008 г. А. С. Рудый1, В. И. Бачурин2
E-mail: rudy@yaroslavl.ru
Предложена модель эрозии поверхности твердых тел при ионной бомбардировке. Модель учитывает зависимость локального коэффициента распыления от нанометрового рельефа в данной точке и точке падения первичного иона. Такой учет приводит к пространственно-нелокальной модели эрозии, предсказывающей образование волнообразного рельефа при наличии на поверхности неодно-родностей нанометрового масштаба.
ВВЕДЕНИЕ
Образование волнообразного рельефа (ВР) на поверхности твердых тел при ионной бомбардировке относится к числу наиболее интересных и наименее изученных явлений. Волнообразный рельеф формируется на поверхности проводников, полупроводников и диэлектриков при облучении ионами как инертных, так и химически активных газов [1]. Наиболее подробно экспериментально изучен процесс зарождения и развития ВР на поверхности кремния. Установлено, что ВР формируется в определенном диапазоне углов падения ионов, ширина которого определяется энергией и типом первичного пучка. Эти же параметры определяют длину волны рельефа и глубину, на которой происходит его зарождение. Следует отметить, что значения этих величин характерны для каждого набора экспериментальных условий (тип первичных ионов, их энергия и угол падения). Экспериментально установлено, что глубина (или доза облучения) будет наименьшей при использовании ионов азота. Она на порядок меньше, чем при
облучении 81 ионами 0+, и на два порядка меньше,
чем при использовании ионов Лг+.
К настоящему времени существуют два подхода к описанию развития рельефа на поверхности при ионной бомбардировке: детерминистический и стохастический [2]. В первом предполагается, что поверхность бомбардируется ионным пучком с постоянной плотностью потока J. Во втором случае учитывается случайный характер падения ионов посредством включения флуктуаций в среднюю плотность потока ионов. Распыленный атом может покинуть поверхность в точке, находящейся достаточно далеко от места падения иона. Это приводит к тому, что если размеры элемента рельефа сравнимы с размерами каскада смещения, то коэффи-
циент распыления будет зависеть не только от угла падения, но и от координат точек поверхности.
В детерминистической модели эрозия поверхности описывается уравнением
д0 J0 2 0 д
----- = —cos 0 dt р дх
tg 0 =
Y(0о- 0) dz
co s ( <0 o - O ) cos 0
(1)
dx'
1 Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова.
2 Ярославский государственный технический университет.
где J0 - плотность потока первичных ионов, р -плотность атомов мишени, 0 - угол между осью г и локальной нормалью к поверхности, 0О - угол бомбардировки, У(0О - 0) - коэффициент распыления [2]. Уравнение (1) известно как уравнение ударной волны, так как в задачах газодинамики подобные уравнения описывают распространение волновых фронтов. Уравнения (1) допускает кусочно-непрерывные решения [3], соответствующие изломам поверхности, действительно наблюдающиеся при распылении, что свидетельствует об адекватности модели.
Уравнение (1) применимо до тех пор, пока пространственной удаленностью точки внедрения первичного иона от точки эмиссии вторичного иона можно пренебречь. Как показано в [2, 3], уравнение (1) можно использовать, если размер неоднородности превышает 1 мкм. При меньших размерах масштаба поверхностной топографии уравнение (1) неадекватно описывает эволюцию поверхности; в частности, решения задачи Коши для исходного ВР предсказывают затухание волн, что противоречит многочисленным наблюдениям волновых структур нанометрового масштаба.
Стохастические модели эрозии, из которых наиболее известна [4], основаны на теории эрозии Зигмунда [5], учитывающей зависимость скорости распыления в локальной точке от кривизны поверхности и поверхностную диффузию атомов. Согласно [4], исходный периодический рельеф на поверхности приводит к формированию ВР. Воз-
никновение исходного рельефа представляет собой отдельную задачу. Один из подходов для ее разрешения предложен в [6], где приповерхностный слой полупроводников, подвергнутых ионной бомбардировке, рассматривается как вязкая жидкость. В [7] предложена модель зарождения ВР, основанная на рассмотрении аморфизованного слоя как высоковязкой ньютоновской жидкости, динамика которой определяется вязкостью, поверхностным натяжением и объемной силой, обусловленной падающим потоком ионов. Модель, представленная уравнениями Навье-Стокса, предсказывает зарождение периодической структуры на поверхности аморфизованного слоя в ограниченном интервале углов падения ионов.
Имеется, однако, ряд экспериментальных работ [8, 9], в которых показано, что при наличии на поверхности исходных неоднородностей наномет-рового масштаба процесс формирования ВР значительно ускоряется. Более того, исследования, выполненные в [10] показали, что возникновению ВР на поверхности 81, облученного ионами инертных газов, предшествует формирование стохастического рельефа нанометрового масштаба.
В данной работе предложена модель эрозии, основанная на модели [2] и учитывающая геометрические факторы распыления [5]. Учет этих факторов существенно расширяет область применимости уравнения (1), поскольку допускает как кусочно-непрерывные, так и волновые решения и снимает ограничения на масштаб поверхностной топографии [11-13].
СКОРОСТЬ ЭРОЗИИ ЭЛЕМЕНТА ПОВЕРХНОСТИ
Если рассматривать поверхностную топографию г(х, г) как суперпозицию г(х, г) = г (х, г) + г (х, г) микроскопического г (х, г) и субмикронного г (х, г) рельефов (рис. 1), то угол наклона локальной нормали п к оси г можно представить как 0 = 0 + 0. Предположим также, что распыляемая среда однородна, средняя длина пробега иона постоянна и
равна \11, а поверхность постоянной энергии, выделяемой первичным ионом, имеет вид сферы. В соответствии с этими предположениями центры сфер (центры энерговыделения) будут расположены на
кривой, полученной трансляцией г (х, г) на вектор I.
Оставаясь в рамках детерминистического подхода, будем считать, что каждый центр энерговыделения приводит к эмиссии У атомов в точке поверхности, расположенной ближе всего к данному центру, т.е. на нормали к поверхности. Тогда число атомов йЫ5, распыленных с элемента поверхности йБ, будет равно произведению числа центров энерговыделения на такой же площадке йБ (рассматриваемые отрезки поверхности г (х, г) и поверхности
г(х)
¿БдаостьчентРяов
энерговыделения
Рис. 1. Влияние субмикронной топографии гх в точке выхода вторичного атома х на коэффициент распыления в рамках модели Зигмунда.
центров энерговыделения полагаются параллельными прямыми) на коэффициент распыления
У(0о - 0).
Скорость движения элемента поверхности вдоль локальной нормали можно выразить как произведение числа атомов, распыленных с элемента поверхности в секунду, йИ5 /йг и объема, занимаемого одним атомом в мишени 1/р:
дп Эг
йЫ„ 1 йг р'
(2)
где р - плотность атомов. Скорость эмиссии атомов с поверхности, как сказано выше, вычисляется как
й _ ИТУ(00-0)'
(3)
где йЫI /йг - скорость генерации центров энерговыделения, участвующих в распылении данного элемента поверхности. Таким образом, локальная скорость понижения поверхности будет равна
д_1 дг
1У (0о- 0) йИ1 р
ео8 0 йг '
(4)
Коэффициент распыления в точке х может отклоняться от усредненного по поверхности экспериментального значения У(0О - 0). С учетом зависимости от локальной топографии 1\ = г (х) в точке выхода вторичного атома (рис. 1) и в точке внедрения первичного иона 12 = г (х - 1х) (рис. 2), коэффициент распыления принимает вид У = У[(0О -
- 0), , г2 ]. Здесь 1х = Iзт(0о - 0 )соз0 - параметр, физический смысл которого иллюстрирует рисунок 3.
Введенный выше коэффициент распыления -неизвестная функция локального угла бомбардировки и параметров ^ , 12. При условии малости
г
х
z« z*\
_J_An Г
'поверхность центров
энерговыделения
Рис. 2. Влияние субмикронной топографии ¿2 в точке внедрения первичного иона х - 1х на коэффициент распыления в точке х в рамках модели Зигмунда.
l sin(0o-0)cos 0
Рис. 3. Оценка параметра 1х в первом приближении, не учитывающая зависимость 1х от ¿1, 12 и полагающая, что изоэнергетические поверхности имеют форму сферы.
распыляемый элемент
Y (0о) =
cose0(
-exp (а - а /cos 0о),
(6)
из которой следует, что -д---Y--
д n
к =
cos 0 =
а - В cos (00 — 0) Y(0о - 0) v 0 ;
l cos2 (0о - 0)
cos 0.
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЛОКАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЭРОЗИИ
Если 0 (х - 1х) = 0, то число ионов, эмитированных с площадки dS в одну секунду (рис. 4), определяется скоростью генерации центров энерговыделения dNi /dt под элементом поверхности dS. Последняя вычисляется как произведение плотности
потока JОcos(0О - 0) и площади элемента dS:
dN■ — -
d- = Jocos(0о - 0)dS,
(8)
\ ле-Х!—V поверхность центров
l dS энерговыделения
Рис. 4. Влияние угла наклона субмикронного рельефа в точке внедрения иона х - 1х на скорость распыления в точке х.
г1, г2 она может быть разложена в степенной ряд, ограниченный линейными членами:
У[00 - 0, ¿1, ¿2] = У(00 - 0) - ^ + кг2, (5)
где к = \(дУ/дп)(дп/д г) \г = 0 = \ЭУ/Эп |со8 0.
Параметр к может быть оценен различными способами, в данном случае использована формула Ямамуры:
где (0О - 0) - угол между локальной нормалью и
направлением бомбардировки. Если 0 (x - lx) Ф 0, то центры энерговыделения будут образовываться на
элементе площадью dS, повернутом относительно dS на угол 0. Таким образом, угол между нормалью к dS и направлением бомбардировки будет равен 0О - 0 - 0 .С учетом соотношения dS = = cos 0 dS выражение для скорости генерации центров энерговыделения на элементе dS примет вид
ddp = J0[ cos (0О - 0) + sin (0О - 0) tg 0 ]dS. (9)
В уравнении (9) 0 - угол наклона элемента поверхности в точке внедрения первичного иона x - lx,
поэтому целесообразно выразить tg 0 через производную ¿2:
tg 0 =
cos2 0 Z2
(10)
1 + Z2 sin 0 cos 0
Ограничимся случаем малоуглового рельефа
Z' sin 0 cos 0 < 1, для которог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.