ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 2, 2009
УДК 531.36:534.1
© 2009 г. В. С. Асланов
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ
Рассматривается пространственное хаотическое движение тела затупленной формы в атмосфере при периодическом изменении положения центра масс. На тело действует восстанавливающий момент, описываемый би-гармонической зависимостью от пространственного угла атаки, малый возмущающий момент, вызванный периодическим изменением положения центра масс, а также малый демпфирующий момент. Изучается режим движения, когда скоростной напор остается постоянным. При отсутствии малых возмущений фазовый портрет системы может иметь точки устойчивого и неустойчивого равновесия. Поведение системы в окрестности сепаратрисы исследуется с помощью метода Мельникова. Получено аналитическое решение уравнения движения тела по сепаратрисе. Найдены критерии возникновения хаоса и представлены результаты численного моделирования, подтверждающие справедливость полученных решений.
При изучении движения твердого тела вокруг центра масс при спуске в атмосфере наиболее сложные вопросы связаны с исследованием резонанса, оказывающим значительное влияние на характер поведения тела (см. например [1, 2]). При решении этой проблемы, как правило, используются классические методы нелинейной механики [3, 4]. Однако в настоящее время большое распространение получили методы хаотической динамики, в частности, метод Мельникова [5-10].
1. Постановка задачи. Будем рассматривать тела осесимметричной формы, аэродинамические характеристики которых, как правило, задают с помощью зависимостей коэффициентов тангенциальной ст(а) и нормальной силы сп(а) и положения центра давления ха(а) от пространственного угла атаки а [11]. Часто вместо координаты центра давления используют коэффициент момента относительно носика тела т0(а). Тогда коэффициент статического аэродинамического момента относительно центра масс тела определится формулой
та(а) = -сп(а)[ ха (а) - хс ] = т0 (а) + сп(а) хс; ха = ла/Ь, хс = хс /Ь (1.1)
где хс - координата центра масс тела относительно носика, Ь - характерная длина тела. Статический аэродинамический момент имеет вид
Ма = та(а) qSЬ (1.2)
где S - площадь миделева сечения тела, q - скоростной напор (динамическое давление). На тело помимо статического момента (1.2) действует малый демпфирующий момент
Мв = -5тю(а)а
(1.3)
Фиг. 1
где 5 - малый положительный параметр, шю - четная периодическая функция угла атаки, для сферического тела ~ 1 + 8ш2а [1]. В дальнейшем будем использовать эту зависимость.
Для эффективного торможения в разреженной атмосфере Марса используются неуправляемые космические аппараты (КА) малого удлинения, имеющие затупленную форму [11, 12]. Такие КА, в зависимости от положения центра масс, могут иметь помимо двух балансировочных положений пространственного угла атаки (а* = 0, п) еще и третье положение равновесия: а* б (0, п). Для аппроксимации статического момента (1.2) используется бигармоническая зависимость от пространственного угла атаки [2]
Ма(а) = а вт а + Ь а (1.4)
КА рассматриваемого класса в положении равновесия а = 0 должен быть статически устойчивым, поэтому
dMa(a)
d a
= (a cos a + 2 b cos2a)|a = 0 = a + 2 b < 0 (1.5)
a = 0
Если существует промежуточное балансировочное положение на интервале (0, п), то справедливо равенство
Ma(a) = a sin a + b sin2a = sin a(a + 2b cos a) = 0 Оно выполняется при
|b| > |a|/2 (1.6)
При b < 0 неравенства (1.5) и (1.6) выполняются одновременно.
На фиг. 1 показана зависимость скоростного напора от высоты для траектории спуска КА Beagle 2 [13] при следующих начальных условиях входа в атмосферу Марса: высота H0 = 120000 м, скорость V0 = 3500 м/с и угол входа 90 = -8°. В конце траектории при H < 20000 м наблюдается участок равновесного спуска, когда скоростной напор q почти не изменяется. На этом участке происходит раскрытие парашютной системы мягкой посадки.
Очевидно, что если в момент раскрытия парашюта пространственный угол атаки a будет больше п/2, то парашют, расположенный в задней части КА, не раскроется. Следовательно, изучение поведения КА при его движении вокруг центра масс на конечном участке траектории представляется весьма важным. На КА при движении в атмосфере действуют различные возмущения, связанные с малой аэродинамической и
динамической асимметрией [1, 2]. Эти возмущения периодического характера могут оказывать значительное влияние на движение КА.
Рассмотрим влияние одного модельного вида возмущения - периодического изменения положения центра масс с малой амплитудой
xc = xc0 + Axc sin ю t (1.7)
где Xcо - начальное положение центра масс, AXc - малый положительный параметр, ю > 0 - частота внешнего возмущающего момента. При учете аппроксимации (1.4) и формул (1.1), (1.7) представим аэродинамический момент (1.2) в виде
Ma = a sin а + b sin2a + e(a sin а + b sin2a) sin юt (1.8)
где e - малый параметр, который отвечает равенству
е(a sin а + b sin2a) = Axccn(а)qSL
Уравнение возмущенного пространственного движения тела вокруг центра масс можно записать в виде [2]
.. (G - R cosа)(R - Gcos а) . , . 0 а + --^--- a sin а - b sin2а =
sin а
= е(a sin а + b sin2а) sin (юt) - 5тю(а)а (1.9)
где R и G - с точностью до множителя проекции вектора кинетического момента на продольную ось и на направление скорости.
Ставится задача показать возможность возникновения хаоса в поведении возмущенной системы (1.9) в окрестности сепаратрисы и найти методом Мельникова [5] критерии возникновения хаоса.
2. Невозмущенное движение. Уравнение возмущенного движения (1.9) при е = 0 и 5 = 0 соответствует невозмущенной системе с одной степенью свободы. Очевидно, что при b = 0 однородное уравнение, соответствующее уравнению (1.9), описывает движение твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа [14].
Найдем условия, при которых невозмущенная система имеет три положения равновесия. Соответствующее однородное уравнение имеет интеграл энергии, который после замены переменных u = cos а записывается в виде
.2
u + Wg( u) + Wr( u) = E (2.1)
2 (1- u2)
где
ттт / ч С + Я — 2СЯы ,,г , , ,2
т (и) = ---, (и) = аи + Ьи
2 (1- и )
Исследуем поведение функции Ж(и) = ^(и) + Ж/и) при разных сочетаниях параметров Я, С, а, Ь, от которых зависит фазовый портрет невозмущенной системы. Производная функции ^(и) по переменной и
^(и) = [(Я2 + о2)и - ЯС( 1 + и2)](1- и2)-2
равна произведению двух сомножителей. Первый из них имеет действительные взаимно обратные корни Я/С и С/Я, из которых только один принадлежит рассматриваемо-
му отрезку [-1, 1]. Следовательно, существует единственный экстремум функции Wg(u), причем этот экстремум, равный шах(Я2, О2)/2 > 0, очевидно, является минимумом. Анализируя вторую производную
W'g, (и) = [(Я2 + О2)(1 + 3 и2) -2ЯОи( 3 + и2)](1- и2 )-3
можно установить, что она, как и сама функция Wg(u), всюду на отрезке [-1, 1] неотрицательна. Действительно, первый сомножитель имеет экстремумы в уже известных точках Я/О и О/Я, равные соответственно (О2 - Я2)2/Я2 > 0 и (О2 - Я2)2/О2 > 0, а на концах отрезка и = ±1 принимает значения 4(О + Я )2 > 0. Отсюда следует, что функция Wg(u) не имеет точек перегиба, а ее производная монотонно возрастает на всем отрезке.
Рассмотрим теперь квадратичную функцию Wr(u). Она имеет экстремум в точке -а/(2Ы), где ее производная W' (и) = а + 2Ьи обращается в нуль. Вторая производная W" (и) = 2Ь - постоянная величина. Из сказанного следует, что при выполнении условия Ы > - Шп [W"g(и)/2] = Ы* (2.2)
-1 < и < 1
функция W(u) на рассматриваемом интервале не имеет точек перегиба. Это означает, что на фазовом портрете системы существует единственное устойчивое положение равновесия, а седловая особая точка отсутствует. Седловая точка будет отсутствовать также, если
Ы < |а|/2 (2.3)
При этом W'r (и) на всем отрезке имеет один и тот же знак, следовательно, W(u) = 0 в единственной точке, и функция W(u) имеет единственный экстремум - минимум.
Если ни одно из условий (2.2), (2.3) не выполняется, то возможно наличие двух минимумов и одного максимума функции W(u) на отрезке [-1, 1], что соответствует наличию на фазовом портрете неустойчивой особой точки типа седла. Указанная ситуация будет иметь место при выполнении условия
и*1) Г (и*2 )< о (2.4)
где и*!, и*2 - корни уравнения W"(u) = 0. При выполнении условия (2.4) фазовая плоскость разбивается сепаратрисой на три области: внешнюю А0 и две внутренние А1, А2.
3. Гомоклинические орбиты. Будем изучать две гомоклинические траектории - сепаратрисы, принадлежащие областям А1 и А2, которые пересекаются в седле и = и0. Согласно методу Мельникова для получения критерия возникновения хаоса в окрестности сепаратрис необходимо найти аналитические решения уравнения невозмущенного движения (однородного уравнения, соответствующего уравнению (1.9)) для гомо-клинических орбит.
Разрешим интеграл энергии (2.1) относительно производной:
и2 = 2 (1- и2)(Е - аи - Ыи ) + 2ОЯи - О2- Я2 =
= 2Ыи4 + 2аи3-2 (Ы + Е) и2-2 (а - ОЯ) и + (2 Е - О2- Я2) = / (и) (3.1)
Полином четвертой степени / (и) имеет ограниченное число характерных вариантов расположения корней [2]. В точках и = ±1 имеем
/(±1) = -(О + Я)2 < 0 (3.2)
Реальному процессу соответствуют значения u = cos а из отрезка [-1, 1] и неотрицательные значения функции f(u) согласно равенству (3.1). В силу соотношения (3.2) на отрезке [-1, 1] полином f (u) имеет четное количество действительных корней. Если E > W0, где W0 - значение W(u) в седловой точке, то движение происходит во внешней области A0 и полином f (u) имеет два действительных корня. При E < W0 полином f (u) уже имеет четыре действительных корня и движение может осуществляться в любой из внутренних областей A1 или A2 в зависимости начальных условий. Равенство E = W0 соответствует движению по сепаратрисе; в этом случае полином также имеет четыре действительных корня, но два внутренних корня равны друг другу в седловой точке u = u0 (фиг. 2).
Найдем гомоклинические траектории невозмущенной системы. Запишем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.