МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2011
УДК 539.3
© 2011 г. В.М. АЛЕКСАНДРОВ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО СЛОЯ
Рассмотрены две пространственные задачи о вдавливании без трения штампа в верхнюю грань слоя при наличии в слое однородного поля начальных напряжений. Используется модель изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала, задаваемого потенциалом Муни. Исследуются два случая: когда нижняя грань слоя после его преднапряжения жестко защемлена к когда нижняя грань слоя после его преднапряжения оперта о жесткое основание без трения. Считается, что дополнительные напряжения от действия на слой штампа малы по сравнению с начальными. Такое предположение позволяет линеаризовать задачи по определению дополнительных напряжений. В дальнейшем задачи сводятся к решению двумерных интегральных уравнений (ИУ) первого рода с симметричными нерегулярными ядрами относительно давления в области контакта. В качестве примера рассмотрен случай действия на слой плоского эллиптического в плане штампа.
Впервые пространственная контактная задача для предварительно напряженного упругого полупространства была рассмотрена в [1].
Ключевые слова: пространственная задача, преднапряженное упругое тело, вдавливание эллиптического штампа.
1. Постановка задачи. Рассмотрим слой толщины к из изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала Муни. Слой находится в однородном наряженном состоянии, создаваемом растягивающими силами, приложенными на бесконечности. Выберем декартову систему координат Ох1х2х3 таким образом, чтобы ось х3 была перпендикулярна поверхности слоя. Компоненты тензора напряжений в начальном состоянии имеют вид
00 0 п 0 0 0 п /11Ч = 02 = СТз = 0, ти = Т13 = Т23 = 0 (1.1)
Далее будем считать, что после предварительной большой деформации нижняя грань слоя х3 = 0 жестко защемлена (задача А), либо оперта на жесткое основание без трения (задача В), а в верхнюю грань х3 = к вдавливается жесткий штамп. Область контакта штампа со слоем определяется условиями х3 = 0, О = О.(х1, х2).
Предполагается, что вызванные воздействием штампа возмущения деформаций и напряжений относительно малы. Это позволяет линеаризовать задачи по определению дополнительных напряжений и перемещений на фоне основного напряженно-деформированного состояния.
В результате линеаризации уравнений нелинейной теории упругости [2] получим выражения для нужных в дальнейшем дополнительных напряжений
ди
СТз = 2 Ц-3 + д*, Т13 = ш
(ди1 ди3
дх
(дхз дхг
= (ди2 + ди-23 (дхз дх2-
(1.2)
а также уравнения Ламе и условие несжимаемости
^Аи1 - т цАи2 - т
( ~2 ~2 \
д и, д и2 -1 +-—
дх, д х1 дх2у
2
д и2
дх1 дх2 дх-
2
ди
+ дд* = о
дх1
+ дд* = о
дх2
(1.3)
д2 и2
+ дд* = о
Л ( ди,
цАи3 - т--+
(дх1 дх3 дх2д х/ дх3
д и1 /дх1 + ди2 / дх2 + ди3 / дх3 = 0
Здесь А — оператор Лавласа, ц — модуль сдвига, д* — дополнительное гидростатическое давление, ик — дополнительные перемещения вдоль осей хк. Граничные условия задач имеют вид
х3 = к: т13 = т23 = 0, аз = 0 при г > а из = -5(хь х2) = -[5 -/(х 1, х2 ], при г < а далее для задачи А:
х3 = 0: и1 = и2 = и3 = 0 для задачи В:
х3 = 0: т13 = т23 = 0, и3 = 0
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Здесь 8 — величина погружения штампа в слой, / (хь х2) задает поверхность штампа.
2. Сведение задач к решению ИУ. Рассмотрим сначала вспомогательные задачи с граничными условиями
хз = к: Т13 = Т23 = 0, аз = -д (х 1, х2)
(2.1)
Граничные условия (1.5) и (1.6) сохраняются.
Применим к уравнениям (1.3) двумерное интегральное преобразование Фурье [3]:
да да
= 2я И ик (а'Р' хз)
Кахъ вх2) , ,п
е аа ар
0 0 да да
(2.2)
О* = ^ ¡Р*(а, в, хз)
Хах1 + Рх2)
е аа ар
0 0
Подставляя (2.2) в (1.3) для определения трансформант Фурье ик и Q* получим уравнения
и
к
-( 112 их/йх23 - у и) + т(а2 и1 + ари2) + га0* = 0 -( 12 и2/ 1х3 - у и2) + т(ар и + р2 и2) + /р0* = 0
{а1ТТ!А2тт, . ( йих пси2\ 110* п
-( 1 и3/1х3 - у и3) - гт а —1 + р —2 + = 0
V 1х3 1х3 ) 1х3
си, в 1^2^ 10* (2.3)
а и1 + ри2 + 5 и3/дх3 = 0, у л/а2 + р2
Можно показать, что характеристическое уравнение системы имеет трехкратные корни у и —у. Поэтому его общее решение нужно искать в виде
ик = (ак1 + х3ак2 + х2%3)еУх3 + (акА + х3й^з + х2акб)е № (2 4)
(2.4)
0* = (Ь1 + х3Ь2 + х3Ь3)еУ*3 + (Ь4 + х3Ь5 + хф6)е У*3
где amn и Ьп (п = 1, ..., 6), определяемые функции от а.
Удовлетворяя с помощью (2.4) уравнениям (2.3) и граничным условиям (1.5), (2.1), записанным в трансформантах Фурье, определим amn Ьп и для задачи А получим
и3(а, Р, к) = --1- 0 ( а- Р )( Уксу - уИ) (2.5)
4п-у[2-(сЬ ук + у2И2) - у2И:5]
Аналогично, удовлетворяя уравнениям (2.3) и граничным условиям (1.6), (2.1) для задачи В получим
из (а, Р, к) = - Л--0(а, Р ) ( сЪ2Ук - 1 )--(2.6)
4 п-у[ 2-( у к сЬ ук + ук) - у И5]
В (2.5) и (2.6) функция Q(а, в) является трансформантой Фурье функций q(xl, х2), т.е.
да да
0(а, Р) = И | |?(£, п)е'<а + (2.7)
-да-да
Удовлетворяя, наконец, с помощью (2.5), (2.6) и (2.7) граничным условиям основных задач (1.4), получим следующие ИУ относительно контактного давления q(x1, х2) для задачи А:
да
Г Г?(£,п) ^ Г-2и2- 2и 2 /(и^) = 4я-И5(х,, х2) (2.8)
■'сЬ2и + 2и + 1 -и 5 к
П 0
да
Г Г?(£,, п) 1п [ сЬ 2 и - 1 ЛГия) 1и = 4я-И5(х1, х2) (2.9)
J J + 2 и - и5 Кк )
П 0
Здесь (хь х2) е О; J0(x) — функция Бесселя, R = Л/(х1 - £,)2 + (х2 - п)2, = ^/(2ц) (штрих далее опускаем).
3. Асимптотический метод больших к [4]. ИУ (2.8) и (2.9) однотипны, их можно переписать в единой форме
¡¡д (^п) к(|\ ^ ¿п = 4 я^5( хь х2), (х1, х2 )еП (3.1)
п
да
к( о = ¡х (и) /0( и) аи (3.2)
0
где функция L(u) для задачи А равна выражению, стоящему в (2.8) при функции Бее-селя в интеграле с пределами (0, да), аналогично для задачи В — выражению, стоящему в (2.9) при функции Бесселя в интеграле с пределами (0, да). Для обеих задач функция L(u) удовлетворяет условию
Ь(и) = 1 + О(е~2и) и ^да (3.3)
ИУ (3.1), (3.2) можно переписать следующим образом:
¡¡д п) ^ = 4 пц5(хь х2) + к ¡¡д (х 1, х2) а^п (3.4)
пп
да
Д ?) = ¡[ 1 - Ь (и)] /0( и) аи (3.5)
0
Далее на основании оценки (3.3) функцию F(t) можно представить в виде ряда
да
Д 0 = V аат = ( 1 > Г[ 1 - Ь (и)] и2таи (3.6)
0 ( 2т!! )Ч
1=0 V ^0
который, как можно показать, абсолютно сходится при |Щ < 2.
Таким образом результаты, которые можно получить на основании ИУ (3.4), (3.6), будут иметь место при 2/1 < 2, т.е. при X > 1.
Представление (3.6) показывает, что решение ИУ (3.4), (3.5) нужно искать в виде
да
д (хЬ х2) = V Рк( хЬ х2) - (3.7)
кк
к = 0 п
Подставляя выражения (3.6), (3.7) в уравнение (3.4), приравнивая в нем члены одинаковой степенью 1/Х, придем к бесконечной системе ИУ:
¡¡Р0 (^,п) dRгп = 4 ПИ5(хь х2), (х1, х2
п
¡¡Р1 (^,п) dRгп = а0 ¡¡Р0 (^,п) ап, (х1, х2
пп
¡¡Р2 (£,п) ^ = а0 ¡¡Р1 (^,п) ^ ап, (хь х2 )еП (3.8)
п
да
п
Таблица 1
s 0 1/2 1 3/2 2
X = 2 14.9477 14.4656 13.9631 13.4355 12.8816
X = 4 10.6214 10.4606 10.2877 10.0998 9.8946
X = 8 9.0464 8.9829 8.9135 8.8369 8.7618
Таблица 2
s 0 1/2 1 3/2 2
X = 2 11.6635 11.2706 10.8423 10.3683 9.8334
X = 4 9.4938 9.3424 9.1719 8.9762 8.7452
X = 8 8.5890 8.5241 8.4498 8.3630 8.2582
Црз (^П) = JJ[ aoPi + aiPo (^П) R ] d% (xi, x2)
Q
JJp4 (%,n) = JJ[ а°Рз (%,n) + fliPi (%,n) R2 ] d% dn, (xi, X2)
Q
Предположим, что известен оператор С, переводящий любую функцию 8(x:, x2) в функциюp0(x1, x2), т.е. известно решение первого ИУ (3.7). Тогда вся схема построения асимптотического при больших X решения ИУ (3.4)—(3.6) может быть реализована. Такая возможность предоставляется, если область контакта штампа со слоем является эллиптической. В монографии [4] по схеме (3.7) построено решение задачи для эллиптического в плане плоского (т.е. когда 8(x1, x2) = 8 = const) штампа.
Приведем формулу, связывающую вдавливающую штамп силу Р с осадкой штампа 8 [4]:
p = jjq (%,n) =
4 п [а 5 а
R (Ь)
Joo
R (Ь) = 1 + SpL +
SooЬ
oo
+
oo
+ 2 а1( 2 - е )(1 + 2ао
3 S°° Ь3 ^ S°°
п/2
S°° = J
+
d ф
o
(Л 2.2 Л/2
(1 - е sin ф)
= K( е)
+
oo
(3.9)
Здесь Ш(е) — полный эллиптический интеграл первого рода, е — эксцентриситет эллипса, a — большая полуось эллиптической области контакта.
п
п
п
п
п
Таблица 3
s 0 1/2 1 3/2 2
X = 2 12.9581 12.5779 12.1795 11.7587 11.3138
X = 4 9.4949 9.3644 9.2237 9.0704 8.9025
X = 8 8.2054 8.1528 8.0955 8.0302 7.9614
Таблица 4
s 0 1/2 1 3/2 2
X = 2 10.3548 10.0369 9.6885 9.3005 8.8592
X = 4 8.5758 8.4512 8.3105 8.1486 7.9567
X = 8 7.8264 7.7723 7.7104 7.6379 7.5503
Таблица 5
s 0 1/2 1 3/2 2
X = 2 8.5187 8.3390 8.1431 7.9431 7.7221
X = 4 6.7954 6.7266 6.6520 6.5700 6.4796
X = 8 6.0980 6.0688 6.0367 6.0012 5.9614
Таблица 6
s 0 1/2 1 3/2 2
X = 2 7.2547 7.0911 6.9090 6.7024 6.4623
X = 4 6.3039 6.2355 6.1578 6.0675 5.9595
X = 8 5.8853 5.8546 5.8193 5.7778 5.7274
В таблице приведены значения величины Р/(ц8а), подсчитанные по формуле (3.9). В первых двух таблицах даны значения, найденные при е = 0.3. В первой таблице даны значения, найденные для задачи с жестким сцеплением нижней грани слоя с основанием, во второй таблице — значения, найденные для задачи с опиранием нижней грани слоя без трения. Следующие две таблицы (3 и 4) подсчитаны для е = 0.6 и повторяют ту же последовательность задач. Таблицы 5 и 6 даны для е = 0.9.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филиппова Л.М. Пространственная контактная задача для предварительно напряженного упругого тела // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 6. С. 1080-1084.
2. ЛурьеА.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
3. УфляндЯ.Я. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.
4. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.
Москва Поступила в редакцию
E-mail: alexand@ipmnet.ru 6.12.2010
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.