КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2014, том 59, № 4, с. 529-543
ОТИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
УДК 548.12
ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ КАК ОРБИТЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ГРУПП СИММЕТРИИ © 2014 г. Т. И. Овсецина, Е. В. Чупрунов
Нижегородский государственный университет E-mail: ovsetsina@yandex.ru Поступила в редакцию 17.06.2013 г.
Анализируются простые формы кристаллов как орбиты точечных групп симметрии на множестве плоскостей кристаллического пространства. Известные всем многогранники описаны и структурированы на основе теории орбит групп, что обеспечило новый, более стройный подход к данной проблеме. Орбиты групп могут быть как общими, так и частными, характеристическими или нехарактеристическими. Все возможные варианты таких орбит всех кристаллографических групп объединены в таблицу. Рассмотрен вопрос эквивалентности многогранников как орбит точечных групп симметрии. Анализ показал, что 32 точечным кристаллографическим группам симметрии соответствуют 139 симметрийно-неэквивалентных многогранников.
DOI: 10.7868/S0023476114040134
Одним из проявлений симметрии атомного строения кристаллов является их способность расти в виде комбинации многогранников с плоскими гранями (простых форм). Описанию и перечислению простых форм кристаллов посвящено достаточное количество работ, наиболее известными в настоящее время являются [1—5]. Однако до сих пор актуальна задача формального описания кристаллических многогранников на основе теории кристаллографических групп с минимальным количеством интуитивных представлений. Одним из способов придать большую строгость в перечислении и описании простых форм кристаллов является их представление как орбит точечных групп симметрии на множестве плоскостей кристаллического пространства.
Напомним основные положения теории орбит групп [6—8]. Пусть задано некоторое множество А принципиально совмещаемых друг с другом физических или математических объектов. Рассмотрим группу преобразований симметрии 0, которая отображает множество А в себя. В качестве множества А могут выступать множество точек пространства, множество функций, принадлежащих определенному классу, множество атомов в кристаллическом пространстве.
Для каждого элемента а,- с А существует подгруппа Р' с 0 (возможно, тривиальная) преобразований элемента а, в себя — группа собственной симметрии данного элемента.
Рассмотрим некоторую подгруппу О с Q. Группа О действует на множестве А, если каждому элементу ат е А посредством одного из элементов е О ставится в соответствие элемент gíаm = ак е А. Для единичного элемента е справедливо
равенство еат = ат. Подмножество Оат е А, полученное из элемента ат посредством всех элементов группы О, называется орбитой элемента ат относительно группы О.
Орбиты разных элементов из А либо совпадают, либо не пересекаются, т.е. множество А группой О разбивается на непересекающиеся множества — орбиты.
Кристаллографические группы симметрии рассматриваются, как правило, в связи с их действием на множестве точек кристаллического пространства, множестве узловых плоскостей, прямых и так далее. Они выделяют правильные системы точек, простые формы, реберные формы.
Простые формы можно описать как орбиты точечных групп симметрии на множестве кристаллографических плоскостей. В качестве множества А выступает множество плоскостей кристаллического пространства, инвариантное относительно одной из голоэдрических групп (группа 0. Конкретная точечная группа О с Q выделяет из множества А конечное число плоскостей, получающееся выбором одной плоскости и размножением ее всеми операциями группы О.
Грани, составляющие множество А, могут быть гладкими или структурированными ("штрихованными"). Гладкие и "штрихованные" грани различаются группами собственной симметрии. Гладкая грань имеет симметрию, которая описывается плоской группой С^, штрихованные грани описываются подгруппами данной группы.
Любой симметричный многогранник можно представить в виде совокупности (суперпозиции) орбит некоторой точечной группы симметрии на
530
ОВСЕЦИНА, ЧУПРУНОВ
множестве гладких или структурированных ("штрихованных") граней.
Для каждого элемента а,- существует такая
(возможно, тривиальная) подгруппа ЕО с О. Все операции ЕО преобразуют элемент а,- в себя, т.е. ЕО а, = а,. Для элементов одной орбиты группы ЕО взаимно изоморфны и называются стабилизаторами. Заметим, что группа — стабилизатор ЕО в общем случае не совпадает с группой собственной симметрии грани Р', а является ее подгруппой.
Конкретная орбита группы О может быть также инвариантна относительно надгруппы Т □ О, которая также является подгруппой 0. Для каждого элемента орбиты можно ввести стабилизаторы Е'Т в группе Т. В общем случае ЕТТ □ ЕО.
Можно построить следующую систему описания и классификации орбит любой кристаллографической группы О на основе конструкции из четырех групп-стабилизаторов ЕО, Е'т, группы Т — максимальной подгруппы группы 0, относительно которой инвариантна данная орбита и, есте-
ственно, группы О, которая "породила" данную орбиту.
Если элементам орбиты соответствуют тривиальные стабилизаторы ЕО = {е} в группе О, то такую орбиту назовем общей. Если стабилизаторы
ЕО нетривиальны, то орбиту будем называть частной.
Согласно [9, 10], орбиты, для которых группа Т является нетривиальной надгруппой О, назовем нехарактеристическими орбитами. Если группа Т совпадает с О, то орбиты будем называть характеристическими. Как общая, так и частная орбита может быть характеристической и нехарактеристической.
Для всех частных орбит стабилизаторы ЕО должны описываться нетривиальными группами; для всех нехарактеристических орбит стабилизаторы Е'т также всегда являются нетривиальными. Это означает, что элементы частных и общих нехарактеристических орбит обязательно должны иметь некоторую нетривиальную симметрию.
Приведенную классификацию можно проиллюстрировать следующей схемой:
общая орбита
\
частная орбита
/ \
характеристическая: Т = О, ЕО = {е}, Е'т = {е}
нехарактеристическая: Т ^ О, ЕО = {е}, ЕТт — нетривиальная характеристическая: Т = О, ЕО = Е'т — нетривиальная
нехарактеристическая: Т ^ О, ЕО — нетривиальная, Е'т — нетривиальная
Таким образом, орбиты формально можно обозначать характеристическим набором из четырех групп {О, Е'т, ЕО и Т}. Для одного множества А орбиты, обладающие одним и тем же характеристическим набором, считаем эквивалентными.
Следовательно, основой для описания простых форм кристаллов могут быть множество многогранников безотносительно структуры их граней (их, как известно, 47 [3]) и характеристики множества граней как орбит кристаллографических точечных групп.
В качестве примера рассмотрим точечную группу С4, которая действует на множестве полубесконечных гладких или всевозможным образом "штрихованных" плоскостей в трехмерном кристаллическом пространстве. Допустим, симметрия множества А описывается голоэдрической группой Б4Ь. Выбирая произвольную плоскость,
которая не параллельна и не перпендикулярна оси симметрии, можно построить соответствующую орбиту (из четырех таких полуплоскостей — тетрагональную пирамиду, которая и считается общей простой формой для данной группы).
В случае абсолютно гладких плоскостей, несмотря на то, что они размножались операцией симметрии группы С4, орбита также будет инвариантна относительно отражений в плоскостях симметрии, параллельных оси симметрии (рис. 1а).
Стабилизаторы ЕО тривиальны, а Е'т = С\ (четыре взаимно изоморфные группы). Таким образом, данный многогранник будет инвариантен относительно группы С41/ и характеристический набор для данной орбиты можно записать в виде {С4, С1, С, С4^}, что соответствует общей нехарактеристической орбите группы С4.
ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ
531
Рис. 1. Орбита группы С4 на множестве гладких полуплоскостей (а); асимметричная штриховка грани (б); орбита группы С4 на множестве гладких бесконечных плоскостей (в).
Если при построении орбиты в качестве исходной была взята плоскость с асимметричной штриховкой (рис. 1б), то группы Т и С совпадают,
и группы я1т также тривиальны; получаем общую характеристическую орбиту группы С4 с характеристическим набором {С4, С1, С1, С4|.
Если группа С4 действует на множестве бесконечных плоскостей, то орбита имеет соответствующий вид (рис. 1в). В зависимости от собственной симметрии плоскостей орбиты могут быть как общими характеристическими, так и нехарактеристическими.
При нахождении нехарактеристических орбит точечной группы полезно провести анализ ее нормализатора (С) [4, 6, 7]. Нормализатор группы С в ее надгруппе О — это максимальная подгруппа группы О, содержащая С в качестве нормального делителя q з ыд (С) ► С. Если О — группа всех изометрических преобразований симметрии сферы, то нормализатор называется евклидовым ые (С) и может быть интерпретирован как группа симметрии, относительно которой инвариантно множество элементов симметрии группы как геометрических объектов [4].
Напомним, что здесь О — одна из семи голоэдрических групп С,-, С2к, В2к, Вза, Ок [8].
Для нехарактеристических орбит точечных групп имеет место нетривиальное пересечение
я1м = (С) п р групп собственной симметрии элементов орбиты и группы нормализатора. При
этом выполняется соотношение я^ з я10. Группа Т
получается перемножением групп С и я1м — обычным перемножением операций симметрии [8].
Если группа Т является подгруппой одной из перечисленных голоэдрических групп, то полученные орбиты и соответствующие простые формы назовем кристаллографическими. В более общем случае следует рассмотреть действие точеч-
^^ 2 (а)
|01 У 3 4 I /
й
Рис. 2. Гномостереографические проекции симмет-
рийно-независимых граней кристаллографических
простых форм группы В4 (а) и элементов симметрии
нормализатора (Б4) = Б4Н (б).
ных групп симметрии на множестве гладких плоскостей, не связанных с кристаллической решеткой.
В этом случае группа Т может быть либо некристаллографической, либо кристаллографической, но не являющейся подгруппой соответствующей голоэдрической группы. Такие простые формы будем считать некристаллографическими. В данной работе рассматриваются лишь криста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.