ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 3, с. 46-51
УДК 517.3
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ЗОНДИРОВАНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
© 2013 г. В. И. Дмитриев
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и кибернетики, г. Москва E-mail: dmitriev@cs.msu.su Поступила в редакцию 21.05.2012 г.
В статье рассмотрены современные методы решения трехмерных прямых и обратных задач электромагнитных зондирований. Показана эффективность применения метода интегральных уравнений при математическом моделировании электромагнитных полей в трехмерных неоднородных средах. Проведена адаптация метода интегральных уравнений к решению обратных задач.
Ключевые слова: электромагнитное зондирование, математическое моделирование, метод интегральных уравнений, обратные задачи.
DOI: 10.7868/S000233371303006X
ВВЕДЕНИЕ
Одной из характерных черт научно-технического развития на современном этапе является широкое использование математических методов. В геофизике активно развиваются автоматизированные системы обработки и интерпретации геофизических данных. Эти системы базируются на специализированном математическом обеспечении ЭВМ, а также на вычислительных алгоритмах, ориентированных на эффективное решение обратных задач интерпретации данных разведочной геофизики.
В настоящее время активно развиваются численные методы решения трехмерных прямых задач электродинамики. В теории электромагнитных зондирований прямая задача состоит в расчете электромагнитного поля в неоднородной среде. Основной моделью здесь является неоднородная зона с произвольным распределением электропроводности, которая находится в слоистой среде. Среда возбуждается известным локальным источником поля или плоской волной, нормально падающей на земную поверхность, в случае удаленного источника.
Для решения трехмерных задач, в основном, применяются три класса методов:
— конечно-разностные методы;
— метод интегральных уравнений;
— проекционные методы, в частности, метод конечных элементов.
Наиболее просто реализуются на компьютере конечно-разностные методы. Более сложно реализуется метод интегральных уравнений, но он
дает более точный и контролируемый результат. В настоящее время в связи с развитием суперкомпьютеров и параллельных вычислений метод интегральных уравнений становится основным методом решения трехмерных задач геоэлектрики. Поэтому мы подробно остановимся на изложении этого метода.
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Применение метода интегральных уравнений к решению задач электродинамики неоднородных сред состоит из трех этапов:
— редукция дифференциальной задачи к интегральному уравнению и интегральному представлению поля;
— алгебраизация интегрального уравнения, т.е. сведение интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений;
— численные методы решения системы алгебраических уравнений, учитывающие структуру системы, отражающую специфику интегральных уравнений.
На последнем этапе выделяются методы решения интегральных уравнений, адаптированные к обратным задачам электромагнитных зондирования.
Рассмотрим вначале редукцию общей задачи о расчете электромагнитного поля, возникающего в неоднородной зоне, расположенной в плоскослоистой среде, к объемному интегральному уравнению. Вывод интегральных уравнений в электродинамике неоднородных сред опирается на лемму Лоренца, которая связывает поля, возбуждаемые
различными источниками в одной и той же среде. Рассмотрим вывод леммы Лоренца.
Пусть Е(к),Н(к) к е [1, 2] — поля, удовлетворяющие уравнениям Максвелла.
гоШ(к) = о(х, у, 1)Е(к) +
го1Е(к) = /юц 0Н(к) + '2к),
(1)
где ^к), — источники электрического и магнитного типа. Рассмотрим выражение
АУ [Е(1) X Н(2) ]- АУ [Е(2) X Н(1) ] =
= Н(2)го1Е(1) - Е(1)гоШ(2) -
- Н(1)го1Е(2)
■ Е(2) гоШ(1) =
= Н(2) ((На)- Н(1) ((Н(2)
'2))- Е(1) (аЕ(2) +
(1)
(2)
- Е(2) (аЕ1
Откуда получаем дифференциальную форму леммы Лоренца:
Шу ([Е(1) х Н(2) 1-ГЕ(2) х
]-[Е(2) х Н(1) ]) =
тт(2).(1) Н ' т
тт(1):(2)
Н ' т
Е 'е - Е 'е •
(2)
= • пйэ,
V 5
где п — внутренняя нормаль к S, получим:
: Н(1) ]) • пйэ =
К[Е(1) -
Н(2) ]-[:
-1 Е(2) х
5
К 'т - н(1) +Е(2) -
е(1) 'е2) ).
(3)
Это — интегральная форма леммы Лоренца. Она выведена для ограниченной области с непрерывным распределением электропроводности. Пусть теперь мы имеем неограниченную область V, состоящую из конечного числа подобластей с непрерывным распределением а. На границах подобластей возможен разрыв электропроводности, где выполняются условия непрерывности тангенциальных составляющих электромагнитного поля. Следовательно, на границах подобластей непрерывно выражение
([Е(1) х Н(2) ]-[Е(2) х Н(1) ]) • п.
Если применить лемму Лоренца (3) для всех подобластей и просуммировать все полученные выражения, то интегралы по границам подобластей сократятся. Это связано с тем, что эти интегралы
входят как по внешней границе подобласти, так и с обратным знаком по внутренней границе соседней подобласти. Интеграл по границе в бесконечности равен нулю в силу убывания полей на бесконечности. В результате лемма Лоренца для неограниченной области с кусочно-непрерывным распределением электропроводности приобретает вид:
|(Н(2) '2) - Н(1) '22)) ¿V = = |(е (1) 'е2) - Е (2)
(4)
Рассмотрим теперь сведение трехмерной задачи электромагнитного зондирования к интегральному уравнению. Мы имеем уравнения Максвелла
(5)
гоШ = ст(х, у, г)Е + 'е; го1Е = /юц0Н
для среды с распределением электропроводности
а(х, у, I) =
Из дифференциальной формы можно получить интегральную форму леммы Лоренца. Пусть имеется область V, ограниченная поверхностью S, в которой непрерывно распределение электропроводности а(х, у, ¿). Тогда, применив к (2) формулу Гаусса
ан(х, у, z) при М(х, у, z) е V, ас^) при М(х, у, z) € V.
Эта среда возбуждается электрическим током 'е. Введем понятие нормального поля Е^, И^. Это поле, возбуждаемое в слоистой среде стс^). Тогда для аномального поля Еа = Е — Е^; Иа = И — И^, согласно (5), имеем уравнения Максвелла:
гоШа = стс^)Еа +'а; го1Еа = /ю^На,
(6)
где ]а = (а (х, у, z) — (z)) Е — аномальный ток, возникающий в неоднородности. Аномальное поле примем за первое поле в лемме Лоренца (4),
где = 0; = За второе поле в лемме Лоренца возьмем фундаментальное поле в слоистой среде
с \т = 0; ^ = 15 (гмм0), где 1 - единичный вектор, а 8 (гМщ) — функция Дирака. Тогда из леммы Лоренца получаем:
1|Еа(М)5 (гммо = |Е(;)(М, Mo)jа(M)dvм
V V
или, учитывая свойства функции Дирака, найдем
1Еа(мо) = ]Е(0(м, MoУja(M)dvм. (7)
V
Фундаментальное поле Е(/)(м, м0) зависит от направления вектора 1 и является решением уравнения Максвелла в слоистой среде для электрического диполя, направленного по вектору 1:
гоШ(/) = стс^)Е(/) + 15 (
мм0
); го1Е(/) = /иц0Н(/). (8)
(9)
Если взять \х = (1, 0, 0), iy = (0, 1, 0), ц = (0, 0, 1), найдем поля, которые составляют тензоры Грина электрического и магнитного типов:
6Е (И, И0) = (е(х), Е(у), Е(г)),
6 н (И, И0 ) = ((, Н(у), И(г)).
Эти фундаментальные тензоры электромагнитного поля являются решением уравнений Максвелла в тензорном виде:
гоЮ н = стс(г)6 Е + 5 ( Гищ ),
ГоШЕ = /ЮЦ0Он,
где 5 — тензорная функция Дирака
(10)
^ (rMM0 ) —
f5 (rMM0 ) 0
5 (rMM0)
Л
0
V 0 /
ч 0 0 5 (ГИИ0)
В результате выражение (7) можно записать в виде:
Ея(И0> = Е(И, М>)(о(И) - асЕ(И)Й?vи. (11)
V
Откуда получаем интегральное уравнение в виде: Е(И0) - ]се(И,И0)(а(И) - cJc(z))E(И)dvи =
(12)
= EN (M0).
Определив из (12) E(M) в области V, согласно (11), находим Ea в любой точке пространства. Магнитное поле в любой точке пространства определяется, согласно уравнениям Максвелла, по формуле
1
H4M0) = ■
-rotE" =
гю^о
= JGн(M, M0) (a(M) - ac(z)}E(M)dvM.
(13)
области V для заданной слоистой среды, легко получаем ядро интегрального уравнения по формуле (14). Таким образом, в результате имеем эффективный метод решения интегрального уравнения для произвольной неоднородности, расположенной в известной слоистой среде.
Тензоры Грина G E (M, M0) и G н (M, M0) для слоистой среды легко вычисляются по известным алгоритмам расчета полей для произвольного электрического диполя в слоистой среде. [Дмитриев, 1969; Дмитриев, Захаров, 2008].
Под "алгебраизацией" понимается переход от интегральных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений. Обычно этот переход осуществляется блочным методом, при котором вся область неоднородности разбивается на блоки, где считается постоянным избыточный токja = (a(х, y, z) — ac (z)) E. Область неоднородности выбирается всегда в виде параллелепипеда. Это не ограничивает общность модели, так как там, где нет неоднородности электропроводность внутри параллелепипеда, достаточно положить a = ac, и получим неоднородность, ограниченную произвольным контуром, приближенным прямоугольной сеткой.
Разобьем область V на N ячеек Vn, n е [1, N и будем считать, что в n-ой ячейке E(n) = const. Тогда интегральное уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений:
N
E(n) - Xg^ -tff ) = ENn, к=1
gEnk) = JG (m, m0 )dvM,
(15)
(16)
АДАПТАЦИЯ К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ
Заметим, что ядро интегрального уравнения (12) равно
К(И, И0) = (а(М) - ас(^) е(И, И,), (14)
где 6 Е (И, И0) зависит только от параметров известной слоистой среды ас(г) и не зависит от параметров неоднородности а(М). Именно это свойство позволяет адаптировать метод интегральных уравнений к решению обратной задачи, в которой необходимо решать многократно прямую задачу для различных неоднородностей, расположенных в одной и той же слоистой среде.
Введем область У0 в виде параллелепипеда, внутри которого, согласно анализу экспериментальных данных, находится зона неоднородности (V е F0).
Тогда, вычислив 6 Е (И, И0) на некоторой сетке в
где Мп — центральная точка п-ой ячейки, ак — сред, (к) няя проводимость к-ой ячейки, а С — проводимость слоистой среды в к-ой ячейке, Е — нормальное электрическое поле в п-ой ячейке. Система имеет размер 6N, так как ищутся три комплексных компоненты поля E. При малом размере N < 1000 система решается прямым методом. При бо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.