ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 1, с. 43-51
УДК 66.011
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙ ЭКСТРАКЦИИ ИЗ ПОЛИДИСПЕРСНОГО ЗЕРНИСТОГО СЛОЯ РАСТИТЕЛЬНОГО МАТЕРИАЛА © 2014 г. А. Г. Егоров, А. А. Саламатин, Р. Н. Максудов*
Казанский (Приволжский) федеральный университет *Казанский национальный исследовательский технологический университет
egorov2@ksu.ru Поступила в редакцию 28.01.2013 г.
Аналитически решена задача нахождения кривой выхода экстракта на основе модели сужающегося ядра при сверхкритической флюидной экстракции из полидисперсного зернистого слоя молотых семян масличных культур. Функциональная зависимость, полученная для бидисперсного приближения засыпки, с высокой точностью описывает результаты известных лабораторных экспериментов. Обсуждаются пути решения обратной задачи построения функции распределения частиц зернистого слоя по размерам на основе экспериментальных кривых выхода масла.
DOI: 10.7868/S0040357114010011
ВВЕДЕНИЕ
Новые технологии извлечения компонентов молотого растительного сырья на основе сверхкритической флюидной экстракции (СФЭ) заметно превосходят традиционные промышленные методы, как по качеству конечного продукта, так и по экологичности процесса [1, 2]. Это вызывает повышенный интерес к математическому моделированию процессов СФЭ из зернистого слоя измельченного растительного сырья.
Полная модель СФЭ должна включать в себя две подмодели: "внешнюю", макромасштабную, описывающую процессы переноса в аппарате — экстракторе, содержащем зернистый слой, и "внутреннюю", в которой представлена кинетика извлечения масла из одиночной частицы слоя. Первая обычно формулируется [3—7] как модель реактора идеального вытеснения с возможным учетом продольной дисперсии. Вторая предполагает схематизацию формы и структуры частиц слоя, конкретизацию процессов растворения и диффузионного переноса внутри частиц.
Зернистый слой, как правило, описывается в монодисперсном приближении, а при построении внутренней модели часто используют концепцию сужающегося ядра (SC — shrinking core) [3—6]. В рамках такого представления в частице выделяются внутренняя маслосодержащая зона (ядро) и периферийная транспортная зона. Радиус ядра уменьшается со временем за счет диффузионного выноса содержащегося в ядре масла через выработанную транспортную зону в межзерновое пространство. Концентрация масла в ядре остается
постоянной. Процесс извлечения из зерна заканчивается, когда радиус ядра обращается в нуль.
Применение 8С-модели к расчету процессов экстракции из семян различных масличных культур (см., например, цитированные выше работы) показало, что схема сужающегося ядра, в целом, верно описывает динамику извлечения из частиц зернистого слоя. Однако в ряде экспериментов [7—9] наблюдается явно выраженный двухста-дийный характер процесса экстракции с высоким начальным темпом извлечения и последующим резким замедлением выхода масла. Адекватное описание таких эффектов предполагает расширение модели 8С на случай полидисперсного зернистого слоя [6, 7].
В данной работе дается постановка соответствующей задачи в виде гиперболической системы уравнений с интегродифференциальным оператором, определяемым функцией распределения частиц по размерам. Найдено ее аналитическое решение. Выполнено тестирование модели на представительном наборе известных экспериментальных данных. Обсуждаются пути решения обратной задачи построения функции распределения по экспериментальным кривым выхода масла.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Процесс СФЭ реализуется посредством фильтрации сверхкритического флюида, обычно сверхкритического диоксида углерода, через загруженный в реактор зернистый слой частиц молотого растительного сырья. При этом содержащееся в растительных клетках масло растворяется в про-
питывающем зерна флюиде, диффундирует к их поверхности и транспортируется флюидом к выходному сечению реактора по поровым каналам слоя. Частицы имеют характерный размер порядка 1 мм, в каждой из них содержится 103—105 растительных клеток. В зависимости от вида сырья форма частиц зернистого слоя может быть различной. В данной работе ограничимся рассмотрением двух случаев: сферических частиц и частиц плоской формы, толщина которых много меньше их продольных размеров. Помимо практического аспекта, связанного с экстракцией масла из листьев растений, специальный интерес к плоским частицам вызван двумя обстоятельствами. Во-первых, полученные в этом случае расчетные формулы оказываются наиболее простыми и наглядными. Во-вторых, как будет показано в дальнейшем, в широком и практически важном временном диапазоне динамика экстракции масла из полидисперсного слоя частиц любой формы описывается теми же асимптотическими формулами, что и для плоских частиц.
Обозначим через I время, г — пространственную координату, отсчитываемую от входного сечения вдоль оси экстрактора, т — пористость зернистого слоя, V — скорость фильтрации флюида. Будем обозначать через а размер частиц, равный радиусу сферических и полутолщине плоских частиц, через / плотность, а через ¥ — функцию распределения частиц по размерам. По определению величина й¥ = /(а)ёа представляет собой объемную долю частиц с размером от а до а + da. Определим также массовую концентрацию масла С в сверхкритическом флюиде в поровом пространстве зернистого слоя и равновесную концентрацию 0* в растворе при заданных давлении и температуре. Отношение массы начальных запасов масла в частице к ее объему будем обозначать через 90. Ограничимся рассмотрением типичного случая частиц с высоким содержанием масла, когда 9о > 0*.
Согласно модели сужающегося ядра [3—6] в частицах зернистого слоя в каждый момент времени выделяются две зоны. В ядре 0 < г < Я(1) содержание масла в растительных клетках равно 90, раствор имеет равновесную концентрацию 0*. В транспортной зоне Щ) < г < а масло в клетках полностью выработано, а концентрация раствора изменяется от 0* на подвижной границе г = Щ) до меньшего значения 9а на поверхности зерна г = а. Перепад концентраций 0* — 9а является движущей силой диффузионного переноса масла от ядра к поверхности частицы. В [5] установлено, что диффузионное сопротивление транспортной зоны много больше сопротивления пограничного слоя в фильтрующемся потоке у поверхности ча-
стиц. Это позволяет отождествить 9а с С. Там же показано, что процесс диффузии для частиц с высоким содержанием масла является квазистационарным, в силу чего скорость движения границы ядра и плотность диффузионного потока масла q из зерна в поровое пространство в каждый момент времени пропорциональны разности концентраций 0* — С:
1-1
НГ' -4
Здесь Де(Г — эффективный коэффициент диффузии, индекс п = 1 и 3 для плоских и сферических частиц соответственно.
Уравнение, описывающее распределение концентрации С масла, растворенного в сверхкритическом флюиде при его фильтрации сквозь зернистый слой, в режиме развитого фронта экстракции примет вид
V дС = ^ = (1 - т) \qfif, г, а)^ /Ша. (1)
Здесь qs — плотность источника масла, поступающего из зерен в поровое пространство в единице объема зернистого слоя, A(a) и V(a) — площадь поверхности и объем зерна размера a (A/V = n/a). При записи уравнения конвективного переноса масла (1) отброшены второстепенные члены, описывающие емкостные и дисперсионные эффекты в поровом пространстве, существенные лишь на кратковременном начальном этапе экстракции [5, 6].
В итоге внутренняя и внешняя подмодели СФЭ в полидисперсном зернистом слое преобразуются к системе двух уравнений относительно неизвестных функций R(t, z; a) и C(t, z)
e°(a - r)(R p2 f(e*- C )'
, ^ (2) dC (л ч л Çô R\
dz
(1 - m)0° J-
dt\a
f (a)da
при следующих начальном и граничном условиях: Я(0, г; а) = а, С(/,0) = 0. (3)
Предложенная модель (2), (3) содержит считающиеся заданными константы 0*, 90, Де(Г и плотность /(а) распределения частиц по размерам. Плотность распределения частиц может быть построена по результатам ситового анализа либо альтернативных гранулометрических измерений. Зависящая от условий проведения экстракции (температура, давление, состав сырья) равновесная концентрация 0* может быть априори оценена, например, по известной формуле Дель-Валле [13] для средней растворимости растительных масел в
сверхкритическом СО2 и после проведения эксперимента уточнена по наклону начального линейного участка кривой выхода масла из экстрактора [5, 6]. Начальные запасы 90 извлекаемого масла, также зависящие от условий проведения эксперимента, определяются [5, 6] по асимптоте кривой выхода масла на больших временах. Наконец, эффективный коэффициент диффузии, который может изменяться в широких пределах в зависимости от вида сырья, является адаптационным параметром модели. Он является функцией параметров экстракции и выбранного экстрагента и определяется из условия наилучшего согласования экспериментальной и рассчитанной кривых выхода масла.
Аналитическое решение задачи. Для построения решения задачи (2), (3) введем безразмерную характеристику
У (и г) =
V
Ь(1 - т)9(
I С г)
Л,
_ Ь(1 - т)ео _ \2пЬ(1 - т) Д„
vе*
V
ф (5) = ( - У)/а 2
(5)
Функция ф(ж) определена на интервале 0 < ж < 1 и имеет вид
Ф (5) =
[5 , п = 1 |3(1 - (1 -
(1 - (1 - 5 )2/3 )-25' п =
= 3.
Для обоих типов частиц ф(ж) монотонно возрастает от нуля при ж = 0 до единицы при ж = 1. Обозначим через S функцию, обратную к ф. Обращая (5) и подставляя результат в (4), придем к обыкно-
венному интегродифференциальному уравнению для функции у^, г):
| = I* [^ I/(а)^а.
(6)
Время I в этом уравнении играет роль параметра. Фигурирующая в (6) функция ^(ф) формально продолжается нулем и единицей в области ф < 0 и ф > 1 соответственно. Решение уравнения (6) с учетом второго условия (3), при у^, 0) = 0, выписывается в квадратурах
г =
I ТЛ> ^ = I*
¡к (т) I
/ (а)йа.
(7)
Принимая во внимание, что ^ = 1 при а < л/Т , и интегрируя по частям выражение для к(т)
да -^т да
к(т) = I * [-Ъ) /(а)йа + I / (а)йа = -1 Г(а)й*
■Л
а
представляющую собой накопленное к моменту времени I извлеченное масло из части зернистого слоя [0, г], нормированное на на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.