ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2015, том 41, № 3, с. 262-276
КИНЕТИКА ПЛАЗМЫ
УДК 533.95
Q, G-МЕТОД В ФИЗИКЕ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ
© 2015 г. В. И. Кузнецов, А. Я. Эндер
Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, С.-Петербург, Россия e-mail: victor.kuznetsov@mail.ioffe.ru Поступила в редакцию 29.04.2014 г.
Предлагается аналитический метод исследования нестационарных процессов в бесстолкновитель-ной одномерной ограниченной плазме — Q, G-метод. Получены формулы для функции распределения заряженных частиц, вылетевших с границы и движущихся без столкновений в нестационарном электрическом поле произвольного вида. Выявлены и изучены характерные свойства этой функции.
DOI: 10.7868/80367292115020067
1. ВВЕДЕНИЕ
Во многих плазменных устройствах заряженные частицы поступают в рабочий объем с поверхности электродов с известными функциями распределения по скоростям (ФР) и в дальнейшем движутся в самосогласованном поле, практически не испытывая столкновений. Одно из таких устройств — кнудсеновский диод с поверхностной ионизацией (КДПИ) с плоской геометрией электродов, в котором ионы и электроны поступают с поверхности эмиттера (а иногда и с коллектора) с полумаксвелловскими ФР. Типичные представители КДПИ — термоэмиссионный преобразователь тепловой энергии в электрическую и О-машина. В обоих этих устройствах экспериментально наблюдали релаксационные колебания тока большой амплитуды, связанные с развитием электронных неустойчивостей [1—5]. Существует целый класс электронных приборов, у которых в рабочий объем поступает поток разогнанных электронов большой плотности с ФР, близкой к моноэнергетической. Здесь, как правило, образуется потенциальный барьер, отражающий часть электронов (он называется виртуальным катодом). Работа таких устройств основана на взаимодействии электронов с нелинейными колебаниями электрического поля. Сюда относятся СВЧ-генераторы, приборы для коллективного ускорения ионов, плазменные размыкатели и т.д. (подробнее см., например, обзор [6] и ссылки в нем).
Важная особенность нестационарных процессов в ограниченной бесстолкновительной плазме состоит в том, что за промежуток времени, сравнимый с временем пробега заряженных частиц через характерный размер системы, происходит сильный обмен энергией между частицами и
электрическим полем. В результате, на ФР заряженных частиц возникает ряд особенностей, она изменяется по сравнению с ФР в момент вылета частиц с границы и вдали от границы сильно отличается от равновесной и, как правило, является разрывной. Для правильного описания процессов в плазме необходимо решать кинетические уравнения самосогласованно с уравнением для поля. Такую задачу удается решить аналитически только для очень ограниченного числа частных случаев.
В статье предлагается полуаналитический метод исследования нестационарных процессов в одномерной бесстолкновительной плазме — Q,G -метод. Ранее он был кратко описан в [7], а отдельные его фрагменты опубликованы в труднодоступной литературе [8, 9].
В настоящее время нестационарные задачи в физике плазмы решаются в основном с использованием численных методов. Чаще всего привлекается один из разновидностей метода крупных частиц — PIC код [10]. Сравнение возможностей различных численных кодов можно найти, например, в [11]. Q,G -метод является частью численного метода. В нем при построении областей интегрирования в выражении для концентрации частиц необходимо интегрировать уравнения их движения. Иногда это приходится делать численно. Использование Q, G -метода позволяет выявить все тонкие особенности функции распределения по скоростям заряженных частиц и с высокой точностью рассчитать их концентрацию. Кроме того, изучение ряда эффектов, характерных для бесстолкновительной плазмы, Q, G -метод позволяет провести аналитически. Например, можно оценить порог захвата электронов в потенциальную яму, формирующуюся в ходе раз-
вития неустойчивости Пирса в плазменных диодах [12], определить порог развития электронной неустойчивости в таких диодах [13].
В разд. 2 описан общий метод построения ФР заряженных частиц, движущихся в нестационарном электрическом поле произвольного вида. В отличие от стационарного случая она дополнительно зависит от двух важных функций: О, определяющей обмен энергией частицы с полем, и (, характеризующей группировку частиц, связанную с нестационарностью поля. В разд. 3 на примере конкретного нестационарного поля, потенциал которого линейно зависит как от времени, так и координаты, получены явные выражения для всех описанных в разд. 2 функций и подробно исследованы особенности ФР. Если в общем случае для построения функций О и ( необходимо проводить численные расчеты траекторий частиц, то для случая, когда нестационарная часть поля мала по сравнению со стационарной, удается получить явные выражения для этих функций. Это показано в разд. 4.
2. О, О-МЕТОД
Рассматривается диод плоской геометрии, в котором с левого электрода (эмиттера) поступают заряженные частицы с известной функцией распределения по скоростям /0. Это может быть, например, полумаксвелловская или 5-образная функция. Считаем, что вылетевшие частицы движутся между электродами без столкновений. Для изучения процессов, протекающих в плазме межэлектродного промежутка, необходимо решать уравнение Пуассона, в правой части которого стоят концентрации ионов и электронов, а для вычисления концентрации заряженных частиц, в бесстолкновительном случае необходимо знать функцию распределения частиц по скоростям.
О, О -метод предназначен для вычисления ФР заряженных частиц, вылетевших с плоской границы и движущихся в полупространстве в заданном нестационарном электрическом поле. Этот метод был предложен в [7, 8]. В дальнейшем он был использован при создании теории устойчивости [ 13] и теории самосогласованных нелинейных колебаний в КДПИ [14].
Следует отметить, что О, О -метод основан на одной из разновидностей лагранжевого описания частиц, в котором независимыми переменными являются текущий момент времени t и момент времени t 0, когда рассматриваемая частица вылетает с поверхности электрода [15]. Вместе с тем существует и другая разновидность лагранжевого описания, в котором независимыми переменными являются текущее время t и положение частицы z0 в начальный момент времени [16]. Здесь ча-
стицы поступают в объем в одно и то же время, но из разных точек пространства. Предлагаемый нами выбор независимых переменных связан с тем, что в диоде все заряженные частицы вылетают с поверхности одного и того же электрода, положение которого фиксировано.
Предварительно рассмотрим случай, когда поле стационарно. Обозначим распределение потенциала (РП) через Ф(г). При расчете ФР заряженных частиц будем следовать [17]. Мысленно
разобьем ФР на эмиттере / 0(v0) на группы частиц со скоростями, лежащими в узком интервале (V 0, V 0 + А V 0). Для краткости будем называть эти группы "пучками". В бесстолкновительном случае концентрация А0) и характерная скорость v(z;v 0) пучка в точке с потенциалом Ф(г) выражаются через соответствующие величины на эмиттере (^ = 0) простыми формулами. При этом А 0) и v(z; V 0) выражаются через Ф^), а в случае с отражением частиц — дополнительно через экстремумы на РП. Для построения ФР остается только выполнить суммирование (интегрирование) по всем пучкам, которые могут попасть в точку z. Следует отметить, что не все частицы, вылетевшие с поверхности электрода, смогут достигнуть точки z.
Например, рассмотрим электроны. Используя законы сохранения числа электронов для каждого пучка
Аn(z;vо)v(z;vо) = Аn(0;vо)v(0;vо) = /
(1)
и их энергии
^0) _ еФ(^ _ Шк = 0,
находим концентрацию пучка в точке z
Ап(^0) = 2 /1/2 .
[V2 + 2(е/ ш)ФШУ 2
После интегрирования получаем полную концентрацию частиц в этой точке
(2)
(3)
п(^ = X I
V2 + 2(е/т)Ф(^]1/2'
(4)
'=0,1 Ц-(г)
В (4) I = 0 и 1 соответствуют частицам, прилетающим в точку z с положительными и отрицательными скоростями. Области интегрирования на эмиттере Ц определяются видом распределения потенциала. Отметим, что для широкого класса ФР на эмиттере эти интегралы берутся аналитически [9, 17]. Аналогичные формулы можно получить для любых моментов ФР.
Нам удалось обобщить формулы для моментов ФР, аналогичные (4), на случай, когда частицы
10 + м0
>
-г0м0
Рис. 1. Положение пучка на эмиттере (г = 0, t = to) и в точке (г, 0.
движутся в нестационарном поле. Предположим, что РП Ф(г, t) известно во все моменты времени, предшествующие моменту t. Теперь пучком будем называть группу частиц, которые вылетели с эмиттера со скоростями из интервала (V0, V0 0) в течение промежутка времени ^ 0, t0 + Д t0). Так же, как и в случае стационарного поля, выразим среднюю концентрацию и характерную скорость пучка в рассматриваемой точке (г, 0 через соответствующие величины на эмиттере, а затем выполним суммирование по всем пучкам, которые смогли попасть в точку г в момент t.
Мысленно можно представить себе, что в момент t0 передняя кромка пучка находится на поверхности эмиттера, а задняя — на глубине позади поверхности эмиттера (рис. 1). Кроме того мы предполагаем, что в этом слое концентрация частиц постоянна. В момент t передний и задний фронты займут положения г+ и г- соответственно. Тогда закон сохранения числа частиц в пучке можно записать в виде
Дп(г, 0\г+ (^0, - (г^0, to + Д^)| = (5)
0 V /
= Д^oДt0 = / (V0>10>0ДV0Дt0•
Здесь точка г лежит между точками г- и г+, а Дп — средняя концентрация электронов в пучке в момент t. Переходя к пределу при Дt0 ^ 0, получаем
dn(z, t; V 0, = / to)vo \Л(г, t;vo, -1 dvo, (6) где
Л(г,t;v0, to) = Пш ~~[г +(t,to) - гЛ to + Дto)] =
д^ ^0 Дt 0
= z(t;v 0'10).
Oto
(7)
времени t сюда прилетают электроны, вылетевшие с эмиттера с одинаковыми скоростями V 0, но в близкие моменты времени. Производная берется от функции г(^0, t0) по t0, но в тот момент, когда частица оказалась в точке г. Поэтому у функции Л и оказывается четыре аргумента. Конечно, между этими величинами имеется связь, что будет видно из дальнейшего рассмотрения.
Следует отметить, что величина, равная -Л, широко используется в теории
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.