ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2011, том 37, № 4, с. 377-386
ДИАГНОСТИКА ПЛАЗМЫ
УДК 533.9.082.76
РАДИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ИОННОГО ТОКА НА ЗОНД В ПЛАЗМЕ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ОБЪЕМНОЙ ИОНИЗАЦИИ И СТОЛКНОВЕНИЙ С АТОМАМИ
© 2011 г. В. И. Сысун, В. С. Игнахин
Петрозаводский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 10.06.2010 г. Окончательный вариант получен 08.08.2010 г.
Рассматривается ионный ток на сферический и цилиндрический зонды с учетом ионизации и столкновений с атомами в приближении холодных ионов. Получено выражение для концентрации ионов при одновременном учете ионизации и столкновений в области возмущения конечных размеров. Путем численного решения уравнения Пуассона вычислены вольтамперные характеристики
1/2
для безразмерных параметров гЗДд = 0.0001 -10, X1 /Хд = 0.01 -да, гХ д/(кТе /МТ = 0 - 5. Получены аппроксимирующие выражения.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время для теоретической интерпретации ионной части зондовой характеристики плазмы низкого давления применяются радиальная [1] и орбитальная [2, 3] теории. Орбитальная теория применима в случае, когда ионы обладают значительным моментом количества движения (ионная температура Т отлична от нуля) и выполняется приближение бесстолкновительного движения ионов. Следует отметить, что даже редкие столкновения ионов с нейтралами разрушают орбитальное движение частиц и сильно влияют на величину ионного тока [4, 5]. Когда модель орбит становится неприменимой (особенно при малой ионной температуре), можно использовать теорию радиального дрейфа.
В радиальной теории моментом импульса ионов пренебрегается (считается Т /Те = 0) и ионы движутся радиально со скоростями, определяемыми локальным потенциалом и законом сохранения энергии. В этом случае возможно численное решение уравнения Пуассона без разбиения на области квазинейтральной плазмы и слоя [1]. Ионный ток задается на бесконечности, а ионизацией в объеме пренебрегается. Концентрация электронов предполагается распределенной по
Больцмановскому закону пе = п0 ехр , где
п0 — концентрация невозмущенной плазмы. Тогда уравнение Пуассона для цилиндрического и сферического случая соответственно имеет вид
1 £ /йф) = гйг\ йг!
е_
е 0
2пг13е4-2фЫ
- п0ехр
е_ 60
1 £ г2 йг I з
(г! 2)
: - п0 ехр
кТе
еф кТ
(1)
(2)
4пг V-2еф/М
Эти уравнения интегрировались численно при заданном ионном токе 1з [6—8] при следующих граничных условиях: г ^ да, п ^ п0, ф ^ 0, йф/йг ^ 0 и для отношений радиуса зондов к электронному дебаевскому радиусу гзД,д > 0.25 — цилиндр, гз/Хд > 0.05 — сфера. В [9] рассчитывался плавающий потенциал сферического зонда в
широком диапазоне значений 10-4 < г3/Хд < 104 для аргона и гелия, но вольт-амперные характеристики не рассчитывались.
Расширение расчетных данных для малых гз/X д актуально для диагностики сильноразреженной плазмы. Помимо этого, зондовая теория применяется для описания процессов зарядки пылевых частиц в плазме и образования плазменных кристаллов, где размеры частиц в эксперименте составляют (0.0001—0.05)гзДд.
Учет столкновений в радиальной теории при низких и промежуточных давлениях проведен в [10]. После столкновения в точке г' ионы стартуют с нулевой скоростью и движутся чисто ради-
ально со скоростью V, = V 2е |ф(г) — ф(г ')| /М. Вероятность того, что ион, испытавший столкновение в точке г', дойдет до точки г без рассеяния опре-
деляется экспонентой ехр[-(т'- т)/Х¡], где X1 — длина пробега иона. Концентрация определяется делением потока ионов на их скорость и интегрированием по всем точкам рассеяния т':
щ =■
ЛС Гехр(-(г'- г)/Х1 )йт'
У
еХ,та Ч2е(ф(т') — ф(т))/М'
(3)
е_ е о
г гт п0ехр
-1 Га J
г •>
V 2ф = ^еф(т )Л
V кТе У
йт'
^2е(ф(г') -ф(т))/М
■п0ехр
^еф(т)Л
(4)
у0 = 0.3444еп0
2кТе_ М
для плоского объема плазмы,
кТ \2кТ
ф0 = 1.115—1, у0 = 0.2703еп0.1-1 для цилин-
е V М
где уз — плотность тока на зонд, а = 1 для цилиндра, а = 2 для сферы.
Приравняв концентрацию ионов (3) концентрации электронов, распределенной по Больцма-ну, авторы [10] получили уравнение, связывающее потенциал, концентрацию в невозмущенной области и ионный ток. Численное решение на больших расстояниях совпадало с аналитическим решением ф(т') - ф(т) = Е(т'- т), Е = у/еп|I, где цI — подвижность ионов, а у — плотность тока. Вторая граница (радиус слоя) определялась условием обращения йф/йт в бесконечность.
Применение результатов работы [10] ограничено, поскольку использовалось приближение квазинейтральности, и, также как и в [6—9] не учитывалась ионизация в объеме, что требует задания ионного тока на бесконечности, иначе вся плазма конечных размеров уйдет на зонд.
Ионизация в объеме учитывается в работах по пристеночному потенциалу, когда стенку можно интерпретировать как большой зонд. Основополагающей является работа Тонкса и Ленгмюра [11], где получено уравнение "плазма—слой":
кТ \2кТ
дрического и ф0 = 1.4248—е, у0 = 0.2136еп0./-е
е V М
для сферического. В то же время без учета ионизации по критерию Бома при Т ^ 0 во всех слу-
кТ ¡2кТ
чаях ф0 = 0.5—е, у0 = 0.429еп0.1-е. Таким обра-
еМ зом, учет генерации ионов приводит к возрастанию потенциала на границе плазмы и уменьшению ионного тока на слой. Это отклонение от случая отсутствия генерации возрастает с переходом от плоской к цилиндрической и далее к сферической геометрии. В дальнейшем результаты [11] уточнялись в [12—15].
В [16] учитывалась объемная ионизация в радиальной теории при конечной области возмущения плазмы зондом "г0". Применялось уравнение "плазма—слой" Ленгмюра (4) для ионного тока с граничными условиями на внешней границе
т = т0 принималось ф = 0, — = 0. В работе получе-
йт
ны зависимости плавающего потенциала зонда (пылевой частицы в плазме) от частоты ионизации и связанного с ней значения т0/Xд. Столкновения с атомами не учитывались, вольтамперные характеристики зондов не вычислялись.
В настоящей работе рассматривается ионный ток на сферический и цилиндрический зонды с учетом ионизации и столкновений в приближении холодных ионов. Вычислены вольтамперные характеристики для безразмерных параметров
гзДд = 0.0001-10, X1/Xд = 0.01-ю, = 0-5.
^ д
VкТе / М
Здесь г — частота ионизации, производимой од-
,а
т
ним электроном, — гпе(т' )йт' — плотность потока
та
ионов в точке г, родившихся в элементе йт'.
Численные расчеты в [11] выполнены для области плазмы, в которой принималось щ = пе. Граница плазма—слой определялась условием йф/йт ^ да. В этой точке определялись потенциал ф0 и плотность ионного тока на слой у0. В результате, при генерации ионов, пропорциональной
кТ
электронной плотности, получено ф 0 = 0.854—е,
е
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА
Определим радиус области возмущения плазмы зондом т0. В [17, 18] область возмущения определяется объемом плазмы вокруг зонда, в котором при пренебрежении объемной рекомбинацией число образующихся в единицу времени ионов за счет ионизации равно току на зонд. Для холодных ионов в радиальной теории это определение соответствует нулевой дрейфовой скорости ионов на границе области возмущения. Внутри этой области ионы идут на зонд, а их концентрация поддерживается объемной ионизацией. Вне т0 ионы движутся на стенку и электроды. Этот уход и определяет частоту ионизации, производи-
J ст^ с
мую одним электроном, г
N
где N — полное
число электронов в объеме, уст, «ст — плотность ионного тока на стенку и площадь стенки.
Градиент потенциала на границе т0 равен нулю, концентрация электронов п0 определяет зон-
зо
довый ток. Кроме влияния на ионный ток величина области возмущения плазмы зондом определяет пространственное разрешение зонда. Ток на зонд определяется также размером и потенциалом зонда, с изменением которых соответственно изменяется и область возмущения г0 таким образом, чтобы уход ионов на зонд компенсировался ионизацией в этой области.
Рассмотрим формирование потока ионов на зонд внутри г0. На элементе пути иона йг' добавляется новая плотность тока
dj' = ene (r ')zdr'+ j dr .
X,-
(5)
Вероятность столкновения пропорциональна йг' /XI, вероятность пройти путь г определяется как ехр(-г/XI). Тогда изменение плотности тока до точки г составляет
dj' exp
(r'- r)
(6)
Соотношения (5), (6) удовлетворяют условию сохранения потока
'О
j(r)=jra
J r
exp
(r'- r)
О
» »a
dj' = eTr-ane(r ')zdr'. (7)
J с
При этом все ионы плотности тока (6) будут иметь скорость /— [ф(г') - ф(г) ]. Разделив диффе-
УМ
ренциал потока на скорость, получим дифференциал концентрации йп . Полная концентрация в г будет равна
ro r
n(r) = 4г f-
г *
ne(r ')Z
eX,
exp
(r'— r)
dr'
2e M
(8)
[Ф(г ') — Ф(Г)]
ГДе j' = JT ne(r'')zr''0
dr'' .
Введем безразмерные параметры x r re . TT eq , ,П
По
- __; U = ^^
Хд ^j&okTe/no kTe
n
h =
«о
A =
z'x л
__• _ _
VкТе/М щ' еп0VкТе/М' плазменная ионная частота, у — плотность тока, X д — электронный дебаевский радиус.
Подставляя выражение (8) в уравнение Пуассона при больцмановском распределении концентрации электронов получим в безразмерных величинах:
j
j
здесь ю, —
д U + adU дх2 x дх
= exp[U(х)] f
х
ло
a exp(U(x' )) +1 J exp(U(x'' ))x'' a dx' '
li ,
exp
(x'- x)
" li .
dx
(9)
V2[U(x') - U (x)]
Решение (9) от границы области возмущения затруднено нулевыми начальными условиями для потенциала и его градиента. В [16] для начального тонкого считающегося плоским слоя от границы Ax <§ x0 = xN получено приближенное аналитическое решение в предположении ne = 1; nN = const
U(x) = (1 - nN)
(xN — x) 2
.2 2 A n
1 , 3 1 , B , B , B
nN =- + 3— +---+ J-
27 2 V27 4
3-L + B _ I B+B
27 2 27 4
(11)
2
где В =-. Однако при распространении реше-
4
ний (10), (11) на достаточно толстый слой плазмы, особенно при больших хн, где п'м ^ 1, возни-
кают неустойчивости счета. Ввиду этого методом последовательных приближений решение (10) было уточнено:
U(x) = (1 - nN)
(xN x)
1 + yr
(10) где Y =
1.363nN -1
1.818nN -1.5 цилиндр,
2
— сфера и у =
(12)
1.363nN -1 3.636nN - 3
nN-1 = п
N
1 + A (1 - 2±I
N
n
(13)
А — шаг дискретизации координаты. Эти значения потенциала и концентрации принимались в пер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.