ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 39, № 10, с. 755-767
УДК 524-4
РАДИАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЗВЕЗДНЫХ СИСТЕМ БЕЗ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИНГУЛЯРНОСТИ
© 2013 г. В. Л. Поляченко1*, Е. В. Поляченко1, И. Г. Шухман2**
1 Институт астрономии РАН, Москва 2Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск
Поступила в редакцию 27.02.2013 г.
Исследуется новый класс простейших равновесных двухпараметрических функций распределения сферических звездных систем, обладающих радиальной анизотропией распределения звезд по скоростям. Рассматриваемые модели являются менее сингулярным аналогом так называемых обобщенно-политропных моделей, которые в прошлом являлись одними из самых популярных моделей в работах о равновесии и устойчивости гравитирующих систем. Предлагаемые модели, в отличие от известных моделей обобщенных политроп, обладают конечными значениями плотности и потенциала в центре. Отсутствие сингулярности необходимо для предполагаемого впоследствии корректного рассмотрения неустойчивости радиальных орбит, которая является важнейшей неустойчивостью звездных систем. Даются сравнения основных наблюдаемых параметров предлагаемых моделей (потенциала, плотности, анизотропии) с соответствующими параметрами в известных равновесных моделях.
Ключевые слова: звездные системы, звездные скопления и ассоциации, звездная динамика.
DOI: 10.7868/80320010813090052
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе проводится исследование новой серии анизотропных моделей сферических бесстолк-новительных самогравитирующих звездных систем c функциями распределения вида Г(Е, Ь) ж ж Н(Ьт — Ь)(-2Е), где Н(х) — ступенчатая функция Хевисайда, являющихся "более мягкими" аналогами известных обобщенно политроп-ных моделей (см., например, Бисноватый-Коган, Зельдович, 1969; Энон, 1973). Здесь Е = + + у±) + Ф(г) и Ь = ту± — энергия и абсолютное значение углового момента звезды. Параметр Ьт характеризует ширину области фазового пространства модели по угловому моменту Ь. Допустимый диапазон изменения параметра q совпадает с диапазоном изменения показателя политропы в классических политропных моделях. Формальных ограничений на параметр Ьт нет, за исключением его неотрицательности. При значениях, меньше некоторого критического (Ьтв моделях преобладают радиальные движения, а при Ьт > > (Ьтмодели перестают зависеть от этого
Электронный адрес: epolyach@inasan.ru Электронный адрес: shukhman@iszf.irk.ru
параметра и становятся изотропными. Таким образом, рассматриваемая серия является радиально-анизотропной, в отличие, скажем, от анизотропных моделей вида Г(Е,Ь) ж (1 + Ь2/Ь2С)1 ехр(—Е/Т), недавно предложенных Бисноватым-Коганом и др. (2009), где преобладает трансверсальная анизотропия.
Интерес к радиально-анизотропным моделям связан с желанием корректно исследовать устойчивость систем с орбитами, близкими к радиальным. Дело в том, что в чисто радиальных моделях гравитационный потенциал имеет сингулярность, которая приводит к невозможности применения стандартных методов теории устойчивости и ставит под сомнение ряд имеющихся работ по неустойчивости радиальных орбит. Наличие даже небольшой дисперсии по угловым моментам исправляет ситуацию и позволяет исследовать устойчивость радиальных систем и близких к ним с общих позиций стандартной теории. Однако не всякая дисперсия устраняет проблему сингулярного потенциала. Например, неудачным в этом смысле является применение классических обобщенных политроп. В отличие от них предлагаемая серия анизотропных функций распределения позволяет построить модели с регулярным потенциалом. Заметим, что
755
2*
от поведения потенциала в т = 0 зависит поведение скорости прецессии при малых моментах, которая играет существенную роль в устойчивости системы (Поляченко и др., 2010). При сингулярных потенциалах скорость прецессии перестает быть пропорциональной моменту и очень быстро (с бесконечной производной) растет при удалении момента Ь от нуля (см., например, Тоума, Тримейн, 1997). При этом обычные рассуждения о механизме неустойчивости радиальных орбит (которые, в частности, использовали это линейное представление, см. например, Палмер 1994) теряют смысл.
Отметим также, что почти во всех ранее выполненных работах по численному определению спектра матричным методом использовались модели, которые ни при каких значениях параметров не могут стать сколь угодно близкими к моделям с чисто радиальными орбитами. Как правило, в таких работах используются модели типа Осипкова-Мерритта (см. Осипков, 1979; Мерритт, 1985), где есть ограничения на максимально возможную радиальную анизотропию. В предлагаемых нами анизотропных политропных моделях предел чисто радиальных систем существует для различных по своим свойствам семейств в широком диапазоне изменения показателя политропы д. С другой стороны, относительная простота предлагаемых моделей позволяет достичь хорошей точности при нахождении спектра и границ устойчивости. Это, в свою очередь, поможет нам понять механизм неустойчивости радиальных орбит.
2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИССЛЕДУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ
В данной работе исследуется равновесие моделей вида
где N — нормировочная константа, определяемая из условия нормировки полной массы, М = 1. Положим также равным единице гравитационную постоянную и размер системы: С = 1, К =1. Зависимость функции распределения от энергии предполагается такой же, как и в политропных моделях, т.е.
Р0(Е) = (—2Е^,
(2.1
отрицательных потенциала Ф0 и энергии Е положительные величины Ф(т) = —Ф0(т), Е = —Е.
В работе используется представление дельта-функции в виде ступеньки 5ьт (Ь2) = Н(Ьт — — Ь)/ЬТ, где Н(х) — функция Хевисайда, что приводит к двухпараметрической серии (параметры д и Ьт)
Р (Е,Ь) =
Щд,Ьт) 4тг *Ь2Т
Н (Ьт — Ь)(—2ЕУ. (2.2)
Для распределения плотности получаем:
*>=* п^т»^ х «г..,.
2тг 2Ь2Т Г(д + |)
14, 2Фт2 <Ь2т, 1 — [1 — ь2т/(2Фг2)]9+3/2 , 2Фт2 >Ь2т.
Здесь Г(г) — гамма-функция Эйлера. Условие 2Фт2 < ЬТ выполняется в областях, примыкающих к центру, 0 < т < т\, и к границе шара, г2 < т < 1 (области I и III соответственно). При достаточно малых Ьт < (Ьт)1зо(^) имеется область т\ < г < < т2, в которой 2Фт2 > ЬТ (область II). С ростом параметра Ьт размеры области II уменьшаются, и при достижении некоторого критического значения Ьт = (Ьт);50(д) она исчезает, а модели становятся изотропными. Дальнейшее увеличение параметра Ьт не имеет смысла, поскольку функция распределения (2.2) и отношение Nq = N(д,ЬТ)/ЬТ перестает зависеть от Ьт. Зависимость (Ьт);50(д) показана на рис. 11а в главе 6 (Заключение).
Уравнение Пуассона
Ф" + -Ф' = -4тг р(г) т
(2.4)
а функция 5ьт(г) есть некоторая функция, являющаяся представлением дельта-функции, т.е. такая, что /О^ $ьт (г)йг = 1 и Нш^т5ьт (г) = 5(г). При записи Р0(Е) в форме (2.1) предположено, что аддитивная постоянная в потенциале Ф0(т) выбрана так, что он обращается в нуль на границе шара, Ф0(1) = 0. Далее введем для удобства вместо
совместно с граничными условиями:
Ф'(0) = 0, Ф(1) = 0, Ф'(1) = —1 (2.5)
позволяет определить потенциал и нормировочную константу N = N(д,Ьт). Последнее граничное условие следует из условия непрерывности производной потенциала на границе шара. Учитывая, что вне шара Ф'(т) = —Ф'(т) = СМ/т2, имеем Ф'(К) = —СМ/К2 = —1 (поскольку, см. выше, С = К = М = 1).
В общем случае уравнение (2.4) с указанными граничными условиями решалось численно. Исключения составляют два случая, когда уравнение становится линейным (при д = —| для изотропных моделей, см. раздел 3.1 и при д = \ для чисто радиальных моделей, см. раздел 3.2) и имеет точные аналитические решения. Заметим, что во втором аналитически решаемом случае (д = Ьт = 0), физически разумных решений нет (с конечными
Рис. 1. Зависимости потенциала Ф(г) (а) и плотности р(г) (б) для модели (2.2), обобщенно политропной модели (2.6) для д = 1/2 и модели Осипкова—Мерритта (2.7). Параметры моделей Ьт ^ 0.2, в ~ 1.3, р = —1/8, га = 0.12 подбирались так, чтобы глобальная анизотропия £ была одинаковой (£ ~ 0.65), а модель (2.7) давала профили плотности и потенциала, близкие к профилям исследуемой модели.
массой и радиусом), однако при q = \ существуют разумные приближенные аналитические решения для малых, но конечных значений размазки, Lt ^ ^ 1. Аналитические решения использовались как нулевые приближения при расчете задачи (2.4) с граничными условиями (2.5) при близких параметрах q и Lt. Затем полученные методом стрельбы значения N(q, Lt) и потенциала использовались как первоначальное приближение для расчета остальных моделей. При интегрировании уравнения (2.4) оказалось полезным перейти от координаты r к переменной x = — ln r, которая изменяется от нуля до некоторого достаточно большого значения xmax.
На рис. 1 показано сравнение потенциала и плотности модели (2.2) при q = Lt — 0.2 с соответствующими профилями, полученными для обобщенно-политропной модели (см., например, Поляченко и др. 2011):
Fgp(E,L)= C(s, q)L-s(2E)q (2.6)
и модели Осипкова—Мерритта (Осипков, 1979, Мерритт, 1985) вида
Fo-m(E, L) = A(ra,p)Qp, (2.7)
Q = £- \b2/rl
где ra — радиус анизотропии. Параметры двух ре-ференсных моделей были подобраны таким образом, чтобы глобальная анизотропия (2.9) (см. ниже) во всех моделях была одинакова и равна £ ~ ~ 0.65, что примерно отвечает преобладанию радиальной кинетической энергии звезд над транс-версальной в полтора раза. При этом параметры модели (2.7) подбирались так, чтобы профили потенциала и плотности примерно соответствовали профилям модели вида (2.2).
При т > т\ профили потенциала и плотности примерно повторяют друг друга. Отличие в их поведении наблюдается лишь в центральной области г < т\ = С(Ьт), где модель (2.2) становится изотропной, а в модели (2.6) локальная анизотропия одинакова для всех радиусов, ¡3 = Здесь параметр локальной анизотропии в(т) определен соотношением
№ = 1 - -2(1>1)/(У2г), (2.8)
где (у'2) и (у\_) — дисперсии радиальной и транс-версальной скоростей соответственно (см. например, Бинни, Тримейн 2008). Заметим, что распределение плотности здесь отличается существенно: для модели (2.2) плотность в центре ост
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.