Автоматика и телемеханика, № 11, 2008
РАСЗ 02.30.Yy
© 2008 г. Я.И. ПЕТРИКЕВИЧ, канд. техн. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
РАНДОМИЗИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ1
Предлагается новый подход к задаче стабилизации систем регуляторами низкого порядка, основанный на генерировании случайных устойчивых полиномов или матриц и их проектировании на пространство параметров регулятора.
1. Введение
Задача стабилизации регуляторами низкого порядка является одной из фундаментальных задач в теории управления линейными системами. Регуляторы низкого порядка, особенно ПИ- и ПИД-регуляторы, широко используются в практической деятельности [1,2]. Задача синтеза таких регуляторов сводится к отысканию устойчивого полинома или матрицы в аффинном семействе, что, как известно, является NP-сложной задачей [3,4], и до сих пор не существует универсального теоретического подхода к построению такого регулятора для заданного объекта. Более того, до сих пор не разработаны способы проверки существования стабилизирующих регуляторов фиксированной структуры для заданного объекта.
Рандомизированный подход, ставший очень популярным за последние несколько лет, уже применялся для решения задач стабилизации (см., например, [5]). Однако большинство подобных прямых методов малоэффективны потому, что они имеют дело с пространством коэффициентов полинома, тогда как область устойчивости системы в пространстве параметров регуляторов обычно очень мала.
Предлагается решение задачи стабилизации на основе случайного генерирования устойчивых полиномов или матриц и их проектирования на множество характеристических полиномов (матриц) системы. Такой способ весьма эффективен, если существует достаточно большая область устойчивости в пространстве параметров регулятора. Но на практике эта область, как правило, очень мала, что практически исключает возможность случайного попадания в нее при проектировании случайных полиномов. В таких ситуациях предлагается использовать итеративный алгоритм сдвига нестабилизирующих проекций случайных устойчивых полиномов в область устойчивости в пространстве параметров регулятора.
В работе рассматриваются в основном дискретные SISO- и MIMO-системы, поскольку для них существуют простые и эффективные алгоритмы генерирования устойчивых полиномов и матриц. Модификация предложенных алгоритмов на случай непрерывного времени не представляет особой трудности. Приведено несколько численных примеров, демонстрирующих простоту и высокую эффективность предложенного подхода.2
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты X» 06-08-01474, X» 08-08-00371) и Комплексной программы фундаментальных исследований Президиума РАН X» 22.
2 Предварительные результаты были представлены на конференции [6].
2. Дискретные SISO-системы
Рассмотрим дискретную SISO-систему (т.е. систему с одним входом и одним выходом) , состоящую из объекта с известной передаточной функцией
G(z) = аЦ, deg a(z) < deg b(z)
и регулятора вида
d(z, q)
(1) C(z)
f (z,q)'
в котором q = ,..., е К£ - вектор неизвестных коэффициентов передаточной функции регулятора, входящих в числитель и знаменатель линейным образом. Пусть степени полиномов ¿(г^), /(г^) фиксированы, и тем самым структура регулятора полностью определена. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
Р(г,я) = а(г)^г^) + Ь(г)/(г,д), degр(г, q) = п.
Очевидно, что корни полинома р(г^) являются функциями от неизвестных параметров: г, = г^), г = 1,... ,п. Будем считать полином дискретно устойчивым (шу-ровским), если все его корни г, лежат внутри единичного круга:
С1 = {г, е С : < 1}, г = 1,...,п.
Задача состоит в отыскании таких значений параметров q*, при которых р(г, q*) устойчив (если такие q* существуют).
Предположим, что старший коэффициент полинома р(г, q) не обращается в нуль ни при каких значениях q. Тогда характеристические полиномы замкнутой системы при изменении ^ в К£ образуют аффинное семейство инвариантной степени п:
£
(2) р(г,ч) = р0(г)+^ qiРi(z),
¿=1
где р,(г), г = 0,... ,£ - полиномы, имеющие различные степени.
Если регулятор имеет всего два настраиваемых параметра (q1, q2)т, то задача о построении регулятора, стабилизирующего заданную систему, легко решается графически, например с помощью ¿-разбиения [7,8]. Однако при наличии большего числа неизвестных параметров такие методы уже не применимы. Для решения этой проблемы используем рандомизированный подход, состоящий из трех основных этапов:
1) генерирование случайного шуровского полинома;
2) его проектирование на множество характеристических полиномов системы и проверка устойчивости проекции;
3) локальный сдвиг неустойчивых проекций в пространстве параметров регулятора в область устойчивости.
Рассмотрим каждый из этих этапов подробнее.
2.1. Генерирование устойчивых полиномов Для генерирования случайного шуровского полинома вида
(3) ип(г) = гп + ип-1гп-1 + ... + щг + ио используем следующую лемму [9,10].
Лемма 1. Любой приведенный шуровский полином un(z) вида (3) может быть получен с помощью рекуррентной процедуры
(4) uo(z)=1, ufc+i(z) = zufc(z) + tk zk uk (z-1),
|tk | < 1, k = 0,..., n - 1.
Согласно этой лемме все устойчивые полиномы любой степени, меньшей или рав-n
подхода в качестве параметров tk выбираются независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [-1,1]. Заметим, что при этом ни коэффициенты, ни корни полученного таким образом полинома не распределены равномерно в соответствующих пространствах. Следует также отметить, что процедура (4) позволяет получать коэффициенты искомого устойчивого полинома un(z) непосредственно с помощью параметров Фама-Медича tk, без перехода в пространство корней полинома. Соотношения, аналогичные (4), применяются также в задачах фильтрации и построения автокорреляционных функций авторегрессионных стохастических процессов и называются рекурсией Левинсона-Дурбнна (см., например, [11,12]).
Замечание 1. В случае непрерывной системы для перехода от шуровско-го полинома (3) к соответствующему непрерывному устойчивому полиному можно использовать дробно-линейное преобразование комплексной переменной s = = (z + 1)/(z — 1), тогда
Vn(s) = (s — 1)nun (SS—т) = sn + Vn-isn-1 + ... + vis + vo.
После применения алгоритма (4) N раз со случайными равномерно распределенными на интервале [—1,1] параметрами tk получаем N устойчивых полиномов
u£(z) = zn + un-1zn-i + ... + ujz + u0, j = 1,... , N.
2.2. Проектирование на множество характеристических полиномов замкнутой системы
Далее сгенерированные полиномы проектируются на множество характеристических полиномов p(z,q) (т.е. аффинное семейство (2)), в результате чего получаем набор параметров регулятора, минимизирующий расстояние до соответствующего устойчивого полинома-прототипа un(z).
Так, коэффициенты характеристического полинома p(z,q) определяются вектором pq = р0 + Aq, где р0 - вектор коэффициентов полинома p0(z); матрица A £ RnX составлена из коэффициентов полиномов pj(z).
Введем в рассмотрение вектор коэффициентов сгенерированного устойчивого полинома, полученного на шаге 2.1: Uj = (u^-,..., uj, u])T. Тогда задача проектирования minq ||p(z,q) — un(z)|| сводится к отысканию
arg min II Aq + p0 — uj 11 .
q
Если используется евклидова норма, то с помощью метода наименьших квадра-
A
ранг):
qj = (ATA)-1 AT (uj — p0).
При использовании других норм, например или необходимо решать соответствующую линейную программу. Можно отметить, что выбор той или иной нормы
здесь не является принципиальным, так как он фактически не влияет на качество получаемого результата.
Если на текущем шаге ] полученная проекция р(г, qj) устойчива, то найден стабилизирующий регулятор с параметрами qj. В противном случае следует продолжить генерирование устойчивых полиномов иП(г) и их проектирование до тех пор, пока не будет найден набор параметров , стабилизирующий систему, либо не исчерпается заданное число попыток N. Более того, представляется разумным не останавливать процесс генерирования-проектирования после первого же найденного стабилизирующего регулятора, а использовать все N попыток. В этом случае результатом может быть целое множество стабилизирующих регуляторов, что дает возможность провести на их основе дальнейшую оптимизацию с использованием какого-либо дополнительного критерия (например, минимизации Я^-нормы, максимизации степени устойчивости системы и т.п.).
2.3. Локальный итеративный сдвиг неустойчивых корней
Если после выполнения этапов генерирования и проектирования ни одна из проекций не является устойчивой, то предлагается по возможности улучшить часть неустойчивых проекций с помощью оптимизационной процедуры, которая итеративно сдвигает корни неустойчивого полинома к единичному кругу.
Рассмотрим аффинное семейство (2) характеристических полиномов степени n такое, что полином p(z, 0) неустойчив. Требуется найти такие q = q*, что p(z,q*) -устойчивый полином.
Предположим, что в пространстве параметров регулятора (1) существует непу-
q
стабилизирующая рассматриваемую систему, но расположенная вблизи от области устойчивости. Такие точки можно получать разными способами. Например, если после выполнения этапов генерирования и проектирования все N полиномов-проекций оказались неустойчивыми, то среди них в качестве начальных точек можно выбрать Ncand ^ N наиболее "перспективных" кандидатов с минимальными степенями неустойчивости:
(5) o-j = max |zfc|, k = 1,..., Ncand.
k
Такой выбор основывается на предположении, что проекции будут располагаться
q
Приведем алгоритм итеративного сдвига неустойчивых корней характеристического полинома, основанный на рез}шьтатах теории возмущений [13]. Этот алгоритм, предложенный в [14,15], работает непосредственно в пространстве параметров регулятора q и итеративно перемещает корни неустойчивого полинома p(z, q) к области устойчивости. Основой алгоритма является следующая лемма [14,15].
Лемма 2. Пусть p(z,q) - полином степени n от z £ C, зависящий от вещественных парам
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.