ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2013
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 621.01+531.8
© 2013 г. Евграфов А.Н., Петров Г.Н.
РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РЫЧАЖНОГО МЕХАНИЗМА С ИЗБЫТОЧНОЙ СВЯЗЬЮ
Рассмотрен шестизвенный пространственный механизм турбулентного смесителя с вращательными кинематическими парами. Показано, что одна из связей в шарнире является неосвобождающей. Выполнен геометрический и кинематический расчет механизма без избыточной связи.
Расчет рычажных механизмов, не содержащих избыточных связей, достаточно хорошо изучен и описан в обширной литературе, например, [1—7]. Однако большинство рычажных механизмов имеет избыточные связи. Наличие избыточных связей приводит к увеличению числа неизвестных, но не увеличивает число возможных независимых уравнений. Это делает расчет таких механизмов невозможным. Один из возможных путей решения проблемы — отыскание и устранение избыточных связей. В этом случае геометрия и кинематика механизма не изменится, а сам механизм становится статически определимым. Для плоских механизмов отыскание избыточных связей не представляет трудностей, поскольку в этих механизмах избыточные связи такие, которые не дают возможности звеньям механизма выйти из плоскости их движения (не-освобождающие связи [8]). В пространственных рычажных механизмах отыскание избыточных связей сложнее. В настоящей статье рассмотрен поиск избыточных связей и последующий геометрический и кинематический расчет пространственного шести-звенного механизма турбулентного смесителя.
На рис. 1 изображен турбулентный смеситель, предназначенный для смешивания до однородного состояния сухих сыпучих порошков или жидкостей. Движение от двигателя передается на входной вал 1, вилку 2, колбу 3, далее на вилку 4 и выходной вал 5. Смешивание происходит в колбе 3. Схема смесителя похожа на схему шарнира Гука (простого шарнира Кардана), в котором крестовиной является колба 3, но оси вращения в ней не пересекаются, а перекрещиваются под прямым углом, при этом входной и выходной валы параллельны.
В двух положениях звенья такого механизма располагаются в одной плоскости (рис. 2). С помощью пакета "Model Vision" создана 3D анимация шестизвенника [9]. Произвольное положение звеньев показано на рис. 3. Исследованию геометрии и кинематики пространственного шестизвенника посвящена работа [10]. В ней уравнения геометрического анализа получены из условия, что положение некоторой неподвиж-
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 3. Схема смесителя в произвольном положении
ной точки кинематической цепи известно, а система тригонометрических уравнений решена численно.
Число подвижных звеньев кинематической цепи N = 5, число одноподвижных пар р1 = 6, степень подвижности Ж = 6N — 5р1 = 0. В работе [11] показано, что кинематическая цепь становится одноподвижным механизмом (т.е. одна из связей становится избыточной) при выполнении следующих условий: оси соседних шарниров взаимно перпендикулярны;
Определим связи, которые являются неосвобождающими, другими словами те, что можно отбросить при геометрическом анализе механизма. В качестве примера исследуем связи шарнира Б.
Разомкнем шарнир Е. Свяжем с каждым из звеньев локальную систему координат, направляя z¡ по осям соответствующих шарниров. Введем относительные углы поворота звеньев ф2, ф3, ф4, ф5 (ф; — угол поворота ;-го звена относительно звена I — 1). На рис. 4 показано положение открытой кинематической цепи при ф2 = ф3 = ф4 = ф5 = 0 и значении входной координаты q = 0 (угол поворота первого звена относительно стойки). Потребуем, чтобы для данной открытой кинематической цепи выполнялись условия (1)
АВ = ВС = СБ = Ц; АБ = Х73 .
(1)
= НЯ ( Ч )Н\2*НК (ф2 ) Н23*НК (фз ) Н34* Нк(ф4 ) Я
,(0)
,(4)
(2)
С
В
3
Рис. 2. Схема турбулентного смесителя в двух положениях
где <
О
lJ3
0
1
- координаты точки D в мировой системе координат xyz; RD
(4)
- коор-
динаты точки D в четвертой локальной системе координат; HR(<p,) =
cos (ф,-) - sin (ф,-) О О sin(ф,-) cos(ф,-) О О _ О О 1 О
О О О 1
матрица перехода для вращательной кинематической пары (КП); H¡ i + Р — матрица перехода от начального положения (i + 1)-й локальной системы координат к i-й
О О 1 О 010 l
H12* = 1 О О О , H23 * = 0 0 10
О 1 О О 10 0 0
0 О О 1 _0 0 0 1_
О О 1 О 0 10 l
H34* = 10 0 l , H45* = 0 0 10
0 10 0 10 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
(3)
Запишем уравнение (2) во второй локальной системе координат
Я^ = hR (ф2 )H—2* hR (q)R<(0> = H23*HR (фз )H34 ,Hr^) ,
(4)
(2)
где Яв — координаты точки В во второй локальной системе координат.
Раскрывая уравнение (4), получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными (ф2, ф3, Ф4)
cos (ф3)[ cos (ф4) + 1 ] + 1 = V3cos (ф2) cos (q),
sin(ф4) = — л/3 sin(ф2)cos(q), — sin(ф3)[cos(ф4) + 1 ] = V3sin(q).
Решение этих уравнений можно записать в виде
. 2, SI
2 - 2
2
cos (ф2 )
л/3 / ч • / ч и.глД + 3sin2 (q) , ч 1 - 3sin2 (q) = —cos (q), sin (ф2) = M--ш, cos (ф3) = -,
3> 2
1 + 3sin (q)
sin
(ф3) = -MsnM, cos (ф4) = ^LtiM,
2
1 + 3 sin (q) sin (ф4) = -M^cos (q )J
2
1 + 3sin (q),
M = ±1 — конфигурация разомкнутой кинематической цепи.
Покажем, что связь, которую накладывает шарнир D на относительный поворот четвертого и пятого звеньев вокруг оси x5, является неосвобождающей. Для этого введем в рассмотрение единичный вектор п, совпадающий с осью шарнира z5. Если связь неосвобождающая, то этот вектор всегда будет находиться в горизонтальной плоскости xy, т.е. иметь нулевые проекции на ось z при любом q для решений (6) системы уравнений (5)
0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0
A12* = 1 0 0 , A23* = 0 0 1 , A34* = 1 0 0 , A45* = 0 0 1
0 1 0 .1 0 0 0 1 0 .1 0 0
Выделим в матрицах перехода (3) матрицы направляющих косинусов. Так как плоскость xy совпадает с плоскостью x1y1, то запишем проекции вектора п в первой локальной системе координат
„(1)
rn = A12* Ай(ф2) A23*AR (ф3 )А34*АЯ(ф4 )A45*
sin (ф3 ) sin ф 4
- cos(ф2) cos(ф3)sin(ф4) - sin(ф2) cos(ф4)
- sin (ф2) cos (ф3) sin (ф4) + cos (ф2) cos(ф4)
матрица поворота относительно оси z¡.
cos (ф.) - sin (ф.) 0 где Дк(ф,) = sin(ф;.) cos(ф.) 0 .0 0 1
Учитывая (6), определим проекции вектора n на ось zi
V2 2 1 + 3sin (q) 1 - 3sin ( q)
nz = - sin(ф2)cos(ф3) sin(ф4) + cos(ф2) cos(ф4) = -M-Ш-X
2 1 + 3 sin (q) x (-M^cos(q)J 1 + 3sin2(q)) + -^cos(q)3sin (q) - 1 = 0.
Очевидно, что связь, которую накладывает шарнир D на относительный поворот четвертого и пятого звеньев вокруг оси y5, является освобождающей. Ее удаление приведет к появлению дополнительной степени подвижности (дополнительный поворот
пятого звена вокруг вертикальной оси). Среди связей, которые накладывает шарнир D на линейные перемещения освобождающей является связь, устранение которой не
приводит к изменению условия (1) AD = LJ3 .
Определим разность углов поворота выходного (пятого) и входного (первого) звеньев
д = ф — q. (7)
Очевидно, что проекции вектора n на оси x1 и y1 дадут значения косинуса и синуса этого угла
cos (Д) = sin (ф3) sin (ф4), sin (Д) = — cos (ф2) cos (ф3) sin (ф4) — sin (ф2) cos (ф4). Подставим (6), получаем
2
/л\ „Jsin(q)cos(q) • /лч ,, 1 — 3sin (q) /оч
cos(Д) = M - y-- ---, sin(Д) = M - —-. (8)
л/1 + 3sin2 ( q) Jl + 3sin (q)
Входное и выходное звенья вращаются в противоположные стороны, поэтому угол поворота пятого звена представим в виде
ф = —(q + V), (9)
где у — отклонение выходной координаты ф от закона движения входной координаты. Подставим (9) и (7) в (8)
í о ч )i,f3sin(q)cos(q) >(-2q - y) = M - v 4 ' - -'.
л/l + 3sin2 (q)
Возьмем производную от этого выражения по времени
2 4
, . ч. , ,ч ,3 (1 - 2sin (q) - 3sin (q)) . (-2q - y ) sin (A) = M---^-- '' q.
(1 + 3sin (q))
~ vf 1 - 3 • sin (q) Определим соотношение -f = -.
q 1 + 3 • sin (q)
Экстремальные значения ^vv"j = 1 при q = 0 + n • к,
q max
ívv-j = — - при q = п + n • к, к = 1, 2....
q min 2 2
Коэффициент неравномерности 8 вращения выходного звена, вызванный геометрией механизма
= ív - í vf
8 = l]J " lfJ.= ^
^ max ^ min
Полученный результат показывает, что работа механизма смесителя возможна лишь на сравнительно малых скоростях из-за больших инерционных нагрузок.
В заключение отметим, что избыточная связь рассмотренного шестизвенника появляется лишь при соблюдении условий (1). При неточности изготовления звеньев и
кинематических пар работа подобного механизма возможна только за счет зазоров в кинематической паре или упругости элементов этой пары и звеньев.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фролов К.В., Попов С.А., Мусатов А.К. и др. Теория механизмов и механика машин. Учебник для вузов / Под ред. К.В. Фролова. 6-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 688 с.
2. Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: Наука, 1982. 336 с.
3. Зиновьев В.А. Пространственные механизмы с низшими парами. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.
4. Мерцалов Н.И. Теория пространственных механизмов. М.: Гостехиздат, 1951. 206 с.
5. Мудров П.Г. Пространственные механизмы с вращательными парами. Казань: Изд-во Ка-занск. ун-та, 1976. 264 с.
6. Петров Т.Н. Алгоритм кинетостатического расчета на ЭВМ замкнутых рычажных механизмов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. № 3.
7. Uicker J.J. "Velocity and Acceleration Analysis of Spatial Mechanisms Using 4 x 4 Matrices. Northwestern Univers., the Technolog. Inst. Evanston, Illinois, 1963.
8. Евграфов А.Н., Коловский М.З., Петров Т.Н. Теория механизмов и машин. Учебное пособие / 2-е изд. СПб.: Изд-во Политехнич. ун-та, 2009. 248 с.
9. Петров Т.Н. Компьютерное моделирование механических систем в среде "Model Vision" // Теория механизмов и машин. 2004. № 1(3). Т. 2. С. 75—79.
10. Хростицкий А.А., Евграфов А.Н., Терешин В.А. Геометрия и кинематика пространственного шестизвенника с избыточными связями // Научно-технические ведомости СПбГТУ. СПб.: Изд-во Политехнич. ун-та, 2011. № 2(123). С. 170-176.
11. Овакимов А.Г. Анализ пассивной связи пространственного шестизвенного механизма с вращательными парами // Изв. вузов СССР. Машиностроение. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1970
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.