РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 38-44
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.396.677.8
РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ЗЕРКАЛЬНЫХ АНТЕНН МЕТОДОМ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© 2015 г. Д. С. Клюев, Ю. В. Соколова
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики Российская Федерация, 443010 Самара, ул. Льва Толстого, 23 E-mail: klyuevd@yandex.ru Поступила в редакцию 26.09.2013 г.
Предложен метод расчета характеристик зеркальных антенн (ЗА), основанный на математическом аппарате двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений. Представлены диаграммы направленности ЗА с рефлектором в виде параболического цилиндра, а также распределения плотности токов на поверхностях рефлектора и облучателя, рассчитанные данным методом.
DOI: 10.7868/S0033849415010088
ВВЕДЕНИЕ
Электродинамический анализ любой зеркальной антенны (ЗА) основан на решении задачи дифракции возбуждаемой облучателем электромагнитной волны на рефлекторе (зеркале). Как известно, существует ряд методов решения подобных задач, среди которых можно выделить следующие: метод геометрической оптики, метод физической оптики и асимптотические методы (геометрическая теория дифракции и физическая теория дифракции). Огромный вклад в развитие физической теории дифракции внес П.Я. Уфимцев, разработавший метод краевых волн [1, 2].
Однако эти методы имеют ряд ограничений, одно из которых — невозможность в полной мере корректного расчета поля в ближней зоне излучения, что очень важно при решении задач электромагнитной совместимости.
В последние десятилетия разработаны строгие методы, основанные на решении уравнений Максвелла методом конечных разностей во временной области, например, метод FDTD (Finite-Difference Time-Domain). Он применен, в частности, в распространенных в настоящее время коммерческих программах CST MicrowaveStudio и Ansoft HFSS. Также широко применяется метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM). Однако для расчета сложных антенных систем с помощью этих методов требуются громадные вычислительные ресурсы.
Подобного рода недостатки отсутствуют в методе интегральных уравнений, развитом в работах А.С. Ильинского. Последовательное исследование математических моделей теории дифракции, вопросов существования и единственности реше-
ний задач теории дифракции, обоснование корректности математических задач проведено в [3, 4].
За рубежом широко применяется модификация метода интегральных уравнений — метод моментов (Method of Moments, MoM) и его альтернативная реализация — многоуровневый быстрый метод многополюсников (Multi-level Fast Multipole Method, MLFMM). Оба этих метода применяются в системе электромагнитного моделирования FEKO.
Электродинамический анализ одномерных излучающих структур методом сингулярных интегральных уравнений (СИУ) проведен в работах [5, 6]. Задача дифракции электромагнитной волны на незамкнутых поверхностях методом гиперсингулярных СИУ (ГСИУ) решена в работах [7, 8].
В данной статье предложен метод расчета характеристик одиночных и систем ЗА, состоящих из произвольного количества облучателей и рефлекторов, основанный на математическом аппарате ГСИУ [9, 10].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
СИСТЕМА ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Как известно сложные ЗА состоят из нескольких различных рефлекторов и облучателей, а антенные комплексы могут включать в себя десятки ЗА. Для большинства рефлекторов и облучателей можно использовать одинаковые физические модели, поэтому назовем их одним словом — излучатели. В связи с этим можно сказать, что ЗА состоит из N излучателей (рис. 1). Каждый n-й излучатель представляет собой бесконечно тонкую идеально проводящую поверхность Sn. Излучатель возбуждается суперпозицией полей электромагнитных волн, отра-
женных от других излучателей (если излучатель — рефлектор), и стороннего поля, возбужденного генератором, подключенного к данному излучателю (если излучатель — облучатель).
Запишем выражение, связывающее вектор напряженности электрического поля Еп в данной точке пространства с векторным электродинамическим потенциалом Ап, наводимым в этой точке я-м излучателем [11]:
= а0п> РП> Уп) 1у„ 'ря Р(ат = а0m, Р,^ Ут)
/юбб0Еп = к Ап + graddiv Ап,
(1)
где я — номер излучателя, ю — циклическая частота, е — относительная диэлектрическая проницаемость среды, е0 — электрическая постоянная, к = 2п/Х — волновое число, X — длина волны,
Ап — векторный электродинамический потенциал, равный
Ап —
| П п (д)О (р, д)йБ,
(2)
N
Е = X Еп
(5)
п=\
Рис. 1. Геометрия зеркальной антенны с произвольной формой рефлекторов и облучателей.
входящих в состав антенны, в данной точке пространства:
О (р, д) — функция Грина; р, q — координаты точки наблюдения и точки источника соответственно; Бп — поверхность я-го излучателя; цп (д) — плотность полного тока, наведенного на поверхности Бп (т.е. сумма плотностей токов, наведенных на обеих ее сторонах) [7].
Известно следующее соотношение [12]:
divр (П п (д) О (р, д)) =
= (gradр О (р, д), пп (д)) + О (р, д) divр пп (д).
Индекс р в операторах div и grad означает, что дифференцирование производится по координатам точек наблюдения. Так как divр цп (д) = 0, то в рассматриваемом случае
^р (пп (д)О(р,д)) = (gradрО(р,д),п„ (д)). (3)
Выражение (1) с учетом (2) и (3) можно переписать в виде
/юбб0Еп = = £ к 2п п (д)О (р, д) + (4)
+ grad р (grad рО (р, д), п
(д))] йБ.
Напряженность электрического поля Е в точке наблюдения представляет собой суперпозицию полей, создаваемых в ней каждым я-м излучателем:
/Ю880Е =
N
= ХЛ к 2п п (д )О (р, д)
(6)
Подставляя (4) в (5), получаем выражение для определения напряженности электрического поля, возбуждаемого токами всех N излучателей,
+ gradр (gradрG (р, д), пп (д))] йБ.
Для каждого я-го излучателя введем свою локальную ортогональную систему координат (ап, рп, у п) таким образом, чтобы его поверхность Бп совпадала с частью одной из координатных поверхностей. В общем случае это криволинейная система, координаты которой связаны с декартовыми следующими выражениями:
Хп = Хп (ап,Рп, У п) ,
Уп = Уп (ап,Рп, У п ), = (ап, Рп, У п ).
При переходе к скалярным выражениям необходимо учесть тот факт, что проекции векторов цп на единичные орты / , / , / в точке источника
а' в у'
д (а',р', у') и проекции вектора цп на единичные орты /а, /р, /у в точке наблюдения р (а, р, у) связаны друг с другом через матрицу ортогонального поворота (здесь и далее координаты точки источника будем обозначать со штрихами д (а', р', у'), а координаты точки наблюдения без штрихов р (а, р, у)):
Ппа (^ д)
Ппв и д)
ПпУ (р, д)
^а'а (р, д) ^р 'а (Л д) у'а ^^ д) ^а'Р (р, д) ^р'Р (р, д) $у'р (р, д)
^а'У (р, д) ^р'у (р, д) $у'у (р, д)
Ппа' (д)
V(д) V (д)
а'я = а0я
Б
п
Б
— элементы матрицы ортогонального поворота (р = а,р, у; д = а',р', у'), определяемые выражениями
^ др
1 1 | дх' дх + ду' ду + дг' дг
Кд Нр \дд др дд др дд др
(8)
где Нд и Нр — коэффициенты Ламе, равные [12] К =
Эх\2 + (§1"2
) -
2
д, р.
Кр др ^Ка да 1 дв,
(П ■ £ ' + П ■ £ ' )
\ в а хпу ~ уа/
+
(9)
К др
(п«р'^в'п в + ^уПв)
+
1 в
К ду
(п«в' ^впУ + Ппу' ^ у„' У )
Кв ■ Ку. ¿р; ^ у „',
где индекс р = а, в, у обозначает проекцию вектора Е на соответствующий координатный орт,
0„ =
ехр
в (а, р, у, а0„,рв', у „') = -1кЯ (а,p, y,aOв,Pв', у „')
4яЯ (а, р, у, а0„,р;, у /) ' Д (а, р, у, а0 в, р „', У ;) = (х(аp,у)-х((рв;ув') +
+ (У (а, р, у)- у (а0 в, рв', у в'))2 +
1
(г (а, р, у)- г (а0 в, р„', у в'))2 ]2,
+
где Я — расстояние от точки источника д (а0в,рв', у „') находящейся на поверхности и-го излучателя до точки наблюдения р (а, р, у).
На поверхности каждой т-й излучающей структуры должны выполняться следующие граничные условия для тангенциальных компонент напряженности электрического поля:
Е = -Ест т = в у
(10)
Уду-/
Элементы матрицы ортогонального поворота по сути являются проекциями единичных ортов г , г'р' , г ' на единичные орты га, гр , /у при переносе первых параллельно самим себе из точки источника д (а',р', у') в точку наблюдения р (а, р, у).
Совместим поверхность и-го излучателя Бп с координатной поверхностью ап = а0п. Поверхность Бп ограничена по координате рп отрезком [Рп1, Рп2 ], а по координате у п отрезком [упЪ Уп2 ]. Плотность тока цп имеет две составляющие (касательные к поверхности Бп) — ппр. и п '. С учетом
сказанного выше и выражения (7) можно от векторного выражения (6) перейти к системе скалярных, т.е. к проекциям на координатные орты в точке наблюдения р (а, р, у):
N вп2 Уп2 -
/юбб0Ер = X | | кк(П(р +Ппу'%пр +
п=1 вп1 Уп1
, 1 д ( 1 двп
где Есс%т — тангенциальная составляющая напряженности стороннего электрического поля на поверхности т-го излучателя, равная напряженности поля волны, подведенной от генератора, если структура является облучателем, и равная нулю, если структура является рефлектором.
Подставляя выражения (9) в граничное условие (10), получаем систему интегральных уравнений относительно неизвестных составляющих плотности тока на излучателях —п в. и п
»-г ст
-т&&0Еттт =
N Рл2 У п2
= Е Ц \к 1 ((Р'^В' Тт +П»У ^ У„' Тт)
вп
п=1 вп1 У п1 (
1 д
Кт дт„
1 двп
\Кат да,
чл , +л . )
V Ф В. ат 'пУ ^Ул «т/
(11)
.А. двп
Квт дРт
■((Р' ^в' Вт +Пяу ^Уп' Вт)
двп Кт дУт
1(л , + л Л < )
V пв ^Р„ут 'пу ^У„Ут)
' Ут '«У
т = 1, N,
К' пНу'п п ё У ",
где
впт = в (а0т,Рт, У т, а0„, вп', У „') = = ехр [-1кЯ (а0т, вт, У т, а0„,р „', у „')]
(а0 т, рт, У т, а0„ р ;, Уп ^т (а0т, Рт, У т, а0п, Р п , У п) _
= [(х (а0т, Рт, У т)- х (а0п, Р'п, ) +
+ (у (а0 т, Рт, У т)- У (а0п, Р \, у'п) +
1
+ (г (а0т, Рт, ут) - г (а0п, р\, у'п]2,
где — расстояние от точки источника
д(а0п, рп', уп'), находящейся на поверхности и-го излучателя до точки наблюдения р(а0т,рт, ут), находящейся на поверхности т-го излучателя.
Ядра слагаем^гх с п = т, входящих в правую часть интегральных уравнений (11), являются сингулярными и гиперсингулярными. Эти слага-
емые соответствуют полям, наводимым токами излучателей на их же собственной поверхности. Выделим эти особенности, прибавляя и вычитая в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.