научная статья по теме РАСЧЕТ ИСТОЧНИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ (ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ) Физика

Текст научной статьи на тему «РАСЧЕТ ИСТОЧНИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ (ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 3, с. 280-285

ПРОЦЕССЫ ^^^^^^^^^^^^^^ ПЕРЕНОСА

УДК 533.9

РАСЧЕТ ИСТОЧНИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ (ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)

© 2014 г. Л. М. Коврижных

Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, Россия e-mail: lmkov@fpl.gpi.ru Поступила в редакцию 16.08.2013 г. Окончательный вариант получен 22.10.2013 г.

При моделировании процессов переноса необходимо знание источника заряженных частиц. Для этого требуется найти поток нейтральных атомов, направленный внутрь плазмы. Предлагается решение этой задачи, основанное на использовании гидродинамических уравнений для нейтрального газа. Найдены как средняя скорость нейтралов, так и зависимость их плотности от координат. Сравнение полученного выражения для плотности с выражением, найденным ранее из решения кинетического уравнения, показало практически полное их совпадение. Однако время счета одного варианта в предлагаемом гидродинамическом приближении существенно меньше, чем аналогичное время, необходимое для нахождения решения в кинетическом приближении.

DOI: 10.7868/S0367292114030068

1. ВВЕДЕНИЕ

В последние годы создаются достаточно сложные математические коды, позволяющие моделировать различные процессы, протекающие в высокотемпературной плазме, удерживаемой в тороидальных магнитных ловушках типа токамаков и стеллараторов. Большое внимание, в частности, уделяется математическому моделированию процессов переноса. Помимо задания различных коэффициентов переноса (диффузии, теплопроводности, проводимости, и других), такое моделирование требует знания также выражений для источников тепла и заряженных частиц, от явного вида которых существенно зависят профили плотности и температур. В некоторых случаях, когда нас интересуют такие общие характеристики, как, например, энергетическое время жизни, время жизни частиц и зависимость этих величин от параметров установки и величины магнитного моля, эти источники могут быть выбраны исходя из общих физических соображений. Однако для моделирования более "тонких" эффектов, таких, например, как форма профилей плотности и температур, и сравнение результатов теории с данными экспериментов, необходимо построение специальных моделей для нахождения этих источников. В некоторых случаях, например, при СВЧ или омическом нагреве плазмы, модели для источников тепла, более или менее адекватные эксперименту, существуют. Построение же модели для источника заряженных частиц является в определенном смысле более сложной задачей, поскольку требует учета таких процессов, как

ионизация, рекомбинация, перезарядка, а также процессов взаимодействия плазмы со стенками вакуумной камеры. Такая модель, основанная на решении кинетического уравнения и численном его решении, была предложена Ю.Н. Днестровским и Д.П. Костомаровым [1, 2] (см. также работы [3—6] и цитированную в них литературу). В этих работах было найдено распределение плотности нейтральных атомов по малому радиусу, но не потока нейтралов внутрь вакуумной камеры, который как раз и определяет источник заряженных частиц. Однако из-за математических сложностей, возникающих при численном решении кинетического уравнения, в этой модели пришлось сделать ряд упрощающих предположений. Но и после этого решение задачи требовало достаточно большого времени счета. В настоящей работе предлагается другая, более простая модель, основанная на решении гидродинамических уравнений и приводящая практически к тем же окончательным результатам, что и модель, использующая решение кинетического уравнения, но требующая существенно меньшего времени счета и позволяющая найти зависимость как плотности нейтралов, так и потока нейтральных атомов от радиуса.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Одним из основных уравнений теории процессов переноса в тороидальных магнитных ловушках является усредненное по магнитной поверх-

ности уравнение непрерывности (например, для ионов)

1 d(rSj) = 5/ r dr 5t

(1)

где = N — усредненный по магнитной поверхности диффузионный поток ионов, г — средний радиус, ий — скорость диффузии, N — плотность ионов (которые в дальнейшем мы будем считать однозарядными), а 5J/5í — источник заряженных частиц, то есть число ионов, рождающихся в единице объема в единицу времени в результате неупругих столкновений (ионизации и рекомбинации). С другой стороны, число заряженных частиц, рожденных в результате неупругих столкновений, очевидно, должно быть равно числу нейтралов, исчезающих из единицы объема в единицу времени, то есть уравнение непрерывности для нейтральных атомов, возникающих в результате инжекции газа и десорбции его со стенок вакуумной камеры, будет иметь вид

1 w = , 5/ = ViNo -vrNi, r dr 5t 5t

(2)

u • V/o(r,u) = St,

(3)

U0 имеет только радиальную компоненту, находим:

1 d(rNoU o) r dr

= m,

NoUo

dUo =-uo (st)-d(No"o)

(4)

dr

dr

+ <uSt) • er

Здесь ^о = U0N0 — радиальная компонента потока нейтралов, и0 — их средняя радиальная скорость, N0 — плотность, а VI и vг — частоты ионизации и рекомбинации соответственно. При выводе уравнения непрерывности для нейтралов (2), как и в работах [1, 2], мы пренебрегли тороидальностью, то есть считали, что камера представляет собой прямолинейный цилиндр, все величины зависят только от радиуса г, а средняя скорость направлена по малому радиусу г. Таким образом, для определения источника заряженных частиц 5J/5í нам необходимо найти распределение плотности нейтралов по радиусу N0(r) и средней скорости и0(г)при заданных параметрах плазмы. Для этого воспользуемся кинетическим уравнением для функции распределения нейтральных атомов

Л(г, и)

где moNoul = mo j"(u - Uo)2/odu/3 — давление нейтралов, uo — их тепловая скорость, mo — масса нейтрального атома, e r = r/r, а угловые скобки означают интегрирование по скоростям, (A) = JAdu.

Система (4) представляют собой два уравнения для двух неизвестных функций N0(r) и U0(r), найдя которые мы можем определить поток и, следовательно, учитывая формулы (1), (2), источник заряженных частиц bJ/bt. Однако для численного решения удобнее записать эти уравнения в несколько ином виде, исключив, скажем, из второго уравнения (4) с помощью первого производную плотности, а затем из первого — производную скорости. После несложных выкладок получаем:

dUo

dr

(

U o

2\

1 _iüL

2

V uo V

Uo

д ln uo

dr

Uo + Ш +

r No

+

Uo2 (Sl) _ Uo (uS7) • (

Uo2No

(5)

dNo

dr

U

2

= No

, d ln uo2 + (uSV) • er - 2Uo {St) ru2 dr U2No

i иЛ-1 1 - Uo , 2

v uo У

(6)

где через St = + Б1ех + ^Ы/ + Б1Г обозначена сумма "интегралов столкновений", в результате которых происходит изменение импульса и числа нейтральных частиц из-за упругих столкновений с ионами плазмы ), перезарядки (Stex), электронной ионизации №1) и радиационной рекомбинации (Str). Умножая уравнение (3) на 1 и и, интегрируя по скоростям и учитывая, что в силу азимутальной и трансляционной симметрии все величины зависят только от радиуса г, а скорость

Для дальнейшего нам необходимо конкретизировать выражения для различных интегралов столкновений. Не претендуя на строгие выражения (которые нам не удалось найти в литературе), мы воспользуемся достаточно простой моделью, допускающей аналитические расчеты и удовлетворяющей законам сохранения частиц и импульса. А именно, мы предположим, что интегралы столкновений имеют вид

Sto = -NoV

ovo

-3/2

exp

(Uoer - u)

■ (2nu2) / exp

(U - u)

2u2

2u

2

o

JA

я* = -N()v

0У ех

(2л«2)

2\ -3/2

exp

(Ц0ег - и)

" 2

2

0 У

(пм2) / exp

' (и - и)2л

2м,

У.

(8)

Лг 1 = -N0v I (тш2) = г (2тш2)

-3/2

exp

' (Ц0ег - и)2Л

2м,2

-3/2

exp

(и - и)

0 У 2

2

(9)

(10)

у

Ц0 (Л) - (иЛ) • ег =

= (VN + VexNo + VoNo)((0 - и • ег),

2Ц0 (Л) -(иЛ) • е г =

= (VrN¡ + VexNo + VoNo )(Ц0 - и, • ег) + + Ц0 (N1 -vrN0),

(12)

(13)

циальных уравнений первого порядка для функций Ц0(г) и ^(г), весьма удобных для численного решения:

5Цс

дг

1 Ц 2 ^ Ц 0 -1

2

V «0

Ц0

д 1п м0

дг

ц 0

--0 + V г

г

N

N0

-v^ +

+ 11 + N0

N

т0 = N0

V ех + V 0 + V,

N Ц

N0 ^ м

(14)

( 1 XI2 ^ Ц 0 -1

2

V «0

где Ы1 — тепловая, а и, — средняя скорость ионов плазмы, v0 — частота упругих столкновений ионов с нейтралами, V* — частота перезарядки, VI — частота ионизации электронами, V,. — частота радиационной рекомбинации. Используя выражения (7)—(10) и проводя несложные выкладки, находим

= -NoV;■ + N V,, (иЛ) • е, = (VN, + V е*И0 + V N0)) • е, - (11)

- (vi+Vex +Vo ))0Ц0,

дг

N ( N

+ | V -Уг-1 -1 Уг—1 + Уе,

N0 I N0

Ц0 д 1п м0

г«0

дг

»0

1+N0 ИЧ.

Ц0

(15)

Прежде чем приводить результаты решения полученных уравнений, выпишем выражения для частот соударений, входящих в (14), (15). Частоту упругих столкновений нейтральных атомов с ионами плазмы v0 мы взяли из работы [7], а частоту радиационной рекомбинации vг — из [6]

V _ 32л/я9.79 х ю-11^1''2,

Vг _ 4.524

3

13.6

Т

3/2

10-12 N.

(2 + 1)-2

х [1 - exp(-(2пz))] (1.2г + 0.28) х х exp I

13.6 2 , -1 . | -г - 4г arctgг I.

причем радиальная компонента скорости ионов плазмы и, • ег равна, очевидно, скорости диффузии плазмы Цй, которая, в свою очередь, согласно (1), (2), обычно много меньше скорости нейтралов Ц 0, поскольку плотность ионов, как правило, существенно больше плотности нейтралов. Однако в некоторых случаях вблизи границы плазмы они могут быть одного порядка величины, и скорость диффузии следует учитывать. Любопытно, что ее можно найти, не прибегая к решению уравнений для электронной и ионной компонент плазмы, а используя соотношения (1), (2). Действительно, складывая (1) и (2) и учитывая, что потоки Л ■ и 80 должны обращаться в нуль на оси плазменного шнура, находим, что 81 + 80 = 0, откуда следует, что скорость диффузии связана со средней скоростью и плотностью нейтралов и плотностью плазмы соотношением Цй = -Ц0М0 /NÍ■. Подставляя выражения (11), (12) в уравнения (5), (6) , получаем систему из двух нелинейных дифферен-

(16)

Т

^ е

Частоты даются в с-1, температуры — в эВ, плотность — в см-3. Что касается выражений для частот ионизации и перезарядки, то мы использовали аналитические форм

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком