ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 5, с. 612-620
УДК 551.466
РАСЧЕТ НАЧАЛЬНОГО ВОЗВЫШЕНИЯ В ОЧАГЕ ЦУНАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
© 2014 г. М. А. Носов, К. А. Семенцов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 2 E-mail: nosov@phys.msu.ru E-mail: sebbest@yandex.ru Поступила в редакцию 24.09.2013 г., после доработки 15.11.2013 г.
Получено аналитическое решение задачи об определении начального возвышения в очаге цунами, которое сформировано малыми остаточными деформациями плоского наклонного дна. Данное вновь полученное решение сопоставлено с известным аналитическим решением эквивалентной задачи на горизонтальном дне. Показано, что использование аналитического решения на горизонтальном дне при расчете начальных возвышений в очагах реальных цунами обеспечивает достаточную для практических целей точность.
Ключевые слова: генерация цунами, деформация дна, начальное возвышение, потенциальная теория, аналитическое решение.
DOI: 10.7868/S0002351514050095
1. ВВЕДЕНИЕ
В большинстве случаев волны цунами обязаны своим происхождением подводным землетрясениям [1—4]. Сейсмические движения дна возбуждают в водном слое не только низкочастотные гравитационные волны, но и относительно высокочастотные гидроакустические волны [3—10]. Как было показано в работах [3, 11], частоты гравитационных и гидроакустических волн, возникающих в результате подводных землетрясений, лежат в различных и непересекающихся диапазонах. Кроме того, из-за эффекта частоты отсечки гидроакустические волны не проникают на мелководье и, следовательно, не могут обеспечить прямого вклада в заплеск цунами на побережье. Нелинейная передача энергии по спектру от гидроакустических к гравитационным волнам в принципе возможна, но, как правило, малоэффективна [12—15]. Таким образом, гидроакустические волны, возбуждаемые подводными землетрясениями, следует рассматривать как независимый дополнительный эффект, который проявляется только на достаточно больших глубинах и слабо влияет на саму волну цунами. Именно поэтому для описания волн цунами водный слой целесообразно рассматривать как несжимаемую среду. Кроме того, если учесть, что скорость вспарывания разрыва в очаге землетрясения существенно превос-
ходит скорость распространения длинных гравитационных волн в океане, то развитие деформации дна можно рассматривать как мгновенный процесс.
На практике в качестве начальных условий для решения задачи об эволюции волн цунами задают нулевое поле скорости течения и начальное возвышение на поверхности воды, эквивалентное по форме вертикальной компоненте остаточной деформации дна [16—18]. Такое предположение о начальном возвышении является не вполне корректным в силу того, что оно не учитывает вклад горизонтальных деформаций наклонного дна и сглаживающий эффект водного слоя.
Роль горизонтальных деформаций наклонного дна при генерации цунами анализировалась в работах [11, 19, 20, 25—27]. Так, например, в работе [26] было показано, что при катастрофическом землетрясении 11 марта 2011 г. (Япония) вклад горизонтальных деформаций наклонного дна в энергию цунами составил около 25%.
Идея о сглаживающем влиянии водного слоя впервые была высказана Каджиурой еще до эпохи численного моделирования цунами [21]. Те или иные варианты сглаживания начального возвышения использовались при численном моделировании цунами различными авторами [11, 22—25]. В ряде случаев сглаживающий эффект проявляет-
ся довольно сильно. Например, для источника цунами 13 января 2007 г. (Центральные Курилы) амплитуда вертикальной остаточной деформации дна превосходила амплитуду сглаженного начального возвышения почти в 2 раза [11, 23—25].
Также следует отметить, что прямой перенос деформаций дна на водную поверхность приводит к искусственному насыщению спектра цунами коротковолновыми компонентами, которые не существуют в действительности [11, 25]. В численных моделях для адекватного воспроизведения этих несуществующих коротковолновых компонент требуется нерациональное уменьшение шагов по пространству и времени, что приводит к увеличению времени счета. Следовательно, учет сглаживающего эффекта не только позволяет избежать ошибок в расчете начального возвышения, но и способствует повышению эффективности численных моделей.
До конца ХХ-го века очаг землетрясения в большинстве случаев представлялся упрощенно как прямоугольная площадка разрыва с однородным распределением подвижки. Такое упрощенное представление позволяло получить приближенную оценку деформации дна в очаге цунами [28], но о точных расчетах речь не шла. В последнее десятилетие произошел прорыв в отношении восстановления структуры подвижки в очаге землетрясения [27, 29—31]. Детальные данные о структуре подвижки уже позволяют претендовать на точный расчет векторного поля деформации дна в источнике цунами. В связи с этим учет вклада горизонтальных деформаций и сглаживающего эффекта на настоящем этапе становится насущной необходимостью. Пренебрежение этими факторами будет неизменно приводить к ошибкам в определении амплитуды цунами в десятки процентов и более [27].
В работах [11, 25] был разработан метод расчета начального возвышения в очаге цунами по данным о векторном поле остаточной деформации дна и батиметрии. Метод предполагает решение трехмерной статической задачи. Получить аналитическое решение такой задачи в бассейне с произвольным рельефом дна не представляется возможным. Прямое численное решение возможно, но оно сопряжено с трудностями постановки условий "свободного прохода" на границах расчетной области, проходящих по океану. Кроме того, до настоящего момента не существовало аналитического решения задачи на наклонном дне, необходимого для верификации численной схемы.
В качестве альтернативы численным методам в работе [11] был предложен аналитико-числен-ный алгоритм (АЧА), использующий аналитическое решение задачи на горизонтальном дне. В реальности дно океана, конечно, не является
ровным, поэтому вопрос о корректности использования в АЧА решения на горизонтальном дне оставался открытым.
Настоящая работа преследует следующие две основные цели: 1) получение точного аналитического решения задачи о начальном возвышении на поверхности воды, которое возникает в очаге цунами в результате малых остаточных деформаций плоского наклонного дна; 2) проверка корректности применения в АЧА аналитического решения на плоском горизонтальном дне путем его сопоставления с вновь полученным аналитическим решением эквивалентной задачи на наклонном дне.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ
Будем рассматривать однородный несжимаемый водный слой переменной глубины Н. Начало прямоугольной системы координат 0 хуг расположим на невозмущенной свободной поверхности воды. Ось 0г направим вертикально вверх, оси 0х и 0у — горизонтально. До землетрясения положение дна определяется формулой гъ = -Н(х,у). После землетрясения дно перемещается в новое положение гъ = -Н(х, у) + п«(х, у), где п«(х, у) — остаточное смещение поверхности дна (^ Н). Заметим формулу, связывающую функцию п«(х, у) с компонентами вектора деформации п(х, у) = (цх, цу,), который обычно рассчитывается при решении практических задач [27]
, X дЯ дН , дх ду
(1)
В работах [11, 25] было показано, что в случае, когда на поверхности дна мгновенно возникает остаточная деформация п, начальное возвышение в очаге цунами £, можно определить из решения статической трехмерной задачи
AF = 0, (2)
F = 0 при z = 0, (3)
dF/dn = (n, n) при z = -H(x, y), (4)
2,(x, y) = OF/dz при z = 0, (5)
где F (x, y, z) — потенциал смещений, n — единичный вектор нормали к поверхности дна.
Для бассейна с горизонтальным дном (H = const) и поднятия дна прямоугольной формы с размерами 2a х 2b и амплитудой п0
П»(х, у) = П0 [б (х + a) -0 (х - a)] х х [0(y + b) -0(y - b)],
Рис. 1. Постановка задачи. Эквивалентность источников на наклонном и горизонтальном дне.
где 9 — ступенчатая функция Хевисайда, задача (2)—(5) имеет следующее аналитическое решение [11]:
£,(х, у) = ^ х
J dm J dn
о о
cos(mx) cos(ny) sin(ma) sin(nb) mnch(kH)
(7)
,2 2 2 k = m + n ,
где т и п — компоненты волнового вектора к
Аналитико-численный алгоритм (АЧА), основанный на формуле (7) и принципе суперпозиции, состоит в следующем: 1) область источника цунами в бассейне переменной глубины разбивается на одинаковые прямоугольные подобласти фиксированного размера 2а х 2Ь; 2) каждая подобласть рассматривается как независимый элементарный источник, характеризуемый определенными глубиной Н и амплитудой смещения поверхности дна рассчитываемой по формуле (1); 3) возвышение свободной поверхности, создаваемое элементарным источником в точке с координатами (х, у) относительно его центра, рассчитывается численно по формуле (7); 4) итоговое начальное возвышение определяется как суперпозиция вкладов всех элементарных источников.
Возмущение, создаваемое элементарным источником, экспоненциально быстро затухает при удалении от его границы: уже на расстоянии порядка трех глубин возмущение становится пренебрежимо малым. Этот факт дает основание рассматривать вклад только ближайших к рассматриваемой точке элементарных источников, что значительно облегчает вычислительную процедуру. Примеры применения АЧА для расчета реальных цунами можно найти в работах [11, 26, 32].
В дальнейшем для наглядности и простоты будем рассматривать эквивалентную двумерную задачу в плоскости Охг (см. рис. 1). Аналитическое решение этой задачи для бассейна постоянной глубины и деформации дна с прямоугольным пространственным распределением п»(х) = = По [б (х + а) -0 (х - а)] имеет следующий вид (аналог формулы (7)):
Р(х) = 20о Г ¿ксо§(кх)$,т(ка) (8)
п ' коЬ(кН) '
3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БАССЕЙНА С НАКЛОННЫМ ДНОМ
Для решения задачи в бассейне с плоским наклонным дном целесообразно использовать цилиндрические координаты, в которых уравнения (2)—(5) имеют вид
2 д 2F dF , д 2F n Г -7 + Г--+-r = 0,
дг2 дг дф2
F = 0 при ф = 0,
1 dF г дф
(П, n) при
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.